数学必修 第一册1.3 集合的基本运算学案

第一章　集合与常用逻辑用语

第3节　集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算；

2.理解补集的含义，会求给定子集的补集；

3.能使用图表示集合的关系及运算。

1.教学重点：交集、并集、补集的运算；

2.教学难点：交集、并集、补集的运算性质及应用，符号之间的区别与联系。

一、集合运算的基本概念

1．并集的概念

一般地，由所有属于集合A     属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．

记作：       （读作：“A并B”），即： A∪B =                        。

2．    交集的概念

一般地，由属于集合A     属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．记作：         （读作：“A交B”）， 即： A ∩ B =                           。

3、补集的概念

(1)全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的       ，那么就称这个集合为全集．

记法：全集通常记作U.

(2)．补集

探究一  并集的含义

1.思考:考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝，

           C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．

（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝，

          C=｛x|x是实数｝．

2、归纳新知

（1）并集的含义

一般地，由所有属于集合A    属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．

记作：       （读作：“A并B”）， 即： A∪B =                      。

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．

Venn图表示：

（2）“或”的理解：三层含义：

（3）思考：下列关系式成立吗？

（1）   （2）

（4）思考：若,则A∪B与B有什么关系？

3、典型例题

 例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．

例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB．

【注意】由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。

探究二   交集的含义

1、思考：考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？

（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝．

（2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，

          B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝，

          C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．

2.交集的概念： 一般地，由属于集合A      属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．

记作：         （读作：“A交B”），即： A ∩ B =                     。

   说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合．

3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？

4、典型例题

例3  立德中学开运动会，设A=｛x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，B=｛ x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝，

求

例4.设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示直线的位置关系.

5、思考：下列关系式成立吗？

（1）（2）。

探究三： 补集的概念

1.在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果

问题：  在下面范围内解方程

  (1) 有理数范围  

(2)实数范围      

2、全集与补集的定义

（1）全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的         ，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

（2）对于一个集合A ，由全集U中             的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集．

记作：          ，即：=                  。

说明：补集的概念必须要有全集的限制．

3、例题

例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求．

例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，。

例7.已知全集U=R，集合

4.性质：（1）      ；（2）         。

1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝(　　)

A．{2,3}    B．{0,1}C．{0,1,4}  D．{0,1,2,3,4}

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝(　　)

A．(2,3)   B．[－1,5]  C．(－1,5)   D．(－1,5]

3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A．{－2，－1} B．{－2}

C．{－1,0,1} D．{0,1}

4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.

5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求： (1)A∪B；(2)C∩B.

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究一

 1.  集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．

2.（1）或   A∪B    {x| x ∈ A ，或x ∈ B}   （3） 成立  （4）

例1.。

例2.解：A∪B ={x|-1<x<3}

探究二

1. 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．

2.且  A∩B     {x| x ∈ A 且x ∈ B}

3.不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.

例3.解： 就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．

    所以，=｛x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝.

5. 成立

探究三

1.（1）   （2）

2.（1）所有元素   （2） 不属于集合A         {x| x ∈ U 且xA}

例5.解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，

所以：={4，5，6，7，8}，   = {1，2，7，8}．

例7.解：。

4.U  

达标检测

1.　A   2.　B  3.A   4.2   5.【解】　(1)由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：

得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．

(2)由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，

则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}