北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.4　指数与指数函数

这是一份北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.4　指数与指数函数，共14页。试卷主要包含了了解指数函数模型的实际背景，))，28，T＝6等内容，欢迎下载使用。


1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根．
(2)式子eq \r(n,a)叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
正数的负分数指数幂，a－eq \f(m,n)＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图像与性质
微思考
1．若函数y＝k·ax＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？
提示 k＝1，b＝0，a>0且a≠1.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？
提示 c>d>1>a>b>0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m题组二 教材改编
2．化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
答案 D
3．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．
答案 (1,3)
4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c解析 ∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x是R上的减函数，
∴>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0，即a>b>1，
又c＝题组三 易错自纠
5．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.
答案 2
解析 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.
6．函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝______.
答案 2或eq \f(1,2)
解析 当a>1时，f(x)＝ax为增函数，
则a1＝2，∴a＝2满足题意，
当0则a－1＝2，∴a＝eq \f(1,2)满足题意，
综上有a＝2或eq \f(1,2).
题型一 指数幂的运算
1．计算：－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))0＋eq \r(4,3－π4)＋＝______.
答案 π＋8
解析 原式＝－1＋|3－π|＋
＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
2．计算： ·eq \f(\r(4ab－13),0.1－1·a3·b－3)＝________(a>0，b>0)．
答案 eq \f(8,5)
解析 原式＝＝eq \f(8,5).
3．若＋＝3，则＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
＝3×(7－1)＝18.
∴
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图像及应用
例1 (1)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式一定不成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0答案 C
解析 如图，观察易知，a(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示．
∴当0∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华 (1)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．
跟踪训练1 (1)(2020·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
答案 A
解析 方法一 当x＝0时，y＝0，排除C.
又f(x)为偶函数，排除B，D，故选A.
方法二 y＝1－e|x|的图像可由y＝e|x|关于x轴对称得到y＝－e|x|的图像，再向上平移一个单位长度得到，故选A.
(2)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0答案 D
解析 由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上是减少的，所以0又f(0)＝a－b0，即b<0.
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例2 (1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b答案 C
解析 ∵函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，
∴1>0.60.6>0.61.5，即b∵函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，
∴1.50.6>1.50＝1，即c>1.
综上，b(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)若≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)
答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，∴2－2x＋4，
即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，
即为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)).
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
答案 eq \f(1,2)
解析 当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq \f(1,2)；
当a>1时，代入不成立．故a的值为eq \f(1,2).
命题点3 指数函数性质的综合应用
例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是________．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上是增加的，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上是减少的．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 D
解析 不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1.
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练2 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3<0.93.1 D.
答案 D
解析 ∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；
为减函数，∴，故B不正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正确；
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x为减函数，∴
又y＝在(0，＋∞)上是增加的，∴
∴故D正确．
(2)设m，n∈R，则“m1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m－n>1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m－n>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，
∴m－n<0，∴m故“m1”的充要条件．
(3)函数f(x)＝.若f(x)在(－∞，－3)上是减少的，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))
解析 令t＝ax2－4x＋3，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t，
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t为减函数，
∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上是增加的，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(2,a)≥－3，))解得a≤－eq \f(2,3).
课时精练
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1 D．
答案 D
解析 对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，，故D正确．
2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 y＝0.4x为减函数，
∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，
又20.2>1，即a>b>c.
3．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上是增加的
B．偶函数，在[0，＋∞)上是减少的
C．奇函数，且是增加的
D．奇函数，且是减少的
答案 C
解析 作出函数f(x)的图像(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数．
4．函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图像可能是( )
答案 D
解析 当a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1,0)，
当x＝0时，y＝1－a<0，故选项A，B不正确．
当0当x＝0时，y＝1－a∈(0,1)，故选项C正确，D不正确．
5．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1A．0C．1答案 C
解析 ∵当x>0时，11.
∵当x>0时，bx∴当x>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))x>1.
∴eq \f(a,b)>1，∴a>b，∴16．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)
( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
答案 B
解析 由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝eq \f(R0－1,T)＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即
所以
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
所以t2－t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8.
7．化简：(a>0，b>0)＝________.
答案 eq \f(1,a)
解析 原式＝
＝
8．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为________．
答案 eq \f(1,2)或eq \f(3,2)
解析 当0∴a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去)．
当a>1时，a2－a＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝eq \f(1,2)或eq \f(3,2).
9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的递减区间是________．
答案 [2，＋∞)
解析 由f(1)＝eq \f(1,9)，得a2＝eq \f(1,9)，
所以a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，＋∞)上是减少的，
所以f(x)在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的．
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
当a≤x<0时，f(x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，－1))，
所以eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，－1))[－8,1]，
即－8≤－eq \f(1,2a)<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3,0)．
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b·a＝6，,b·a3＝24.))所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－m≥0恒成立，
即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上是减少的，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上也是减少的，所以当x＝1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x有最小值eq \f(5,6)，所以m≤eq \f(5,6)，即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,6))).
12．已知函数f(x)＝eq \f(4x＋m,2x)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，
经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.
(2)令eq \f(4x－1,2x)＝2x＋1－a，
令t＝2x，∴t>0，
∴eq \f(t2－1,t)＝2t－a，
即a＝t＋eq \f(1,t)，
∴方程a＝t＋eq \f(1,t)有正实数根，
∵t＋eq \f(1,t)≥2，当且仅当t＝1时取等号．∴a≥2.
即实数a的取值范围是[2，＋∞)．
13．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0(2)当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．
所以014．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
答案 3或eq \f(1,3)
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，又函数y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上是增加的，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当015．(2019·全国Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,R＋r2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3).设α＝eq \f(r,R).由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，则r的近似值为( )
A.eq \r(\f(M2,M1))R B.eq \r(\f(M2,2M1))R
C.eq \r(3,\f(3M2,M1))R D.eq \r(3,\f(M2,3M1))R
答案 D
解析 由eq \f(M1,R＋r2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)，得eq \f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))2)＋eq \f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))M1.因为α＝eq \f(r,R)，所以eq \f(M1,1＋α2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq \f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)＝eq \f(M2,M1).由eq \f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，得3α3≈eq \f(M2,M1)，即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))3≈eq \f(M2,M1)，所以r≈eq \r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D.
16．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|).
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，
由2x－eq \f(1,2x)＝eq \f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－eq \f(1,2)，
因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1>0 ，所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1,2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．a>1
0图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在R上是增函数
在R上是减函数