北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.7　函数与方程试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.7　函数与方程试卷，共13页。试卷主要包含了理解函数的零点与方程的解的联系等内容，欢迎下载使用。


1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的定义
函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a)·f (b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点，即相应的方程f (x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系
微思考
1．函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点．
提示 f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．能否用二分法求任意方程的近似解．
提示 不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
答案 C
解析 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
3．已知函数y＝f(x)的图像是连续的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为( )
A．－eq \f(1,4) B．0 C.eq \f(1,4) D．0或－eq \f(1,4)
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－eq \f(1,4).
综上有a＝0或－eq \f(1,4).
6．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案 0，－eq \f(1,2)
解析 由题意知2a＋b＝0，则b＝－2a，
令g(x)＝bx2－ax＝0，
得x＝0或x＝eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2)，
所以g(x)的零点为0，－eq \f(1,2).
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.
2．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．(2020·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,x)＝eq \f(x－3,3x)，
令f′(x)>0⇒x>3，
f′(x)<0⇒0∴f(x)在(0,3)上是减少的，在(3，＋∞)上单是增加的，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq \f(1,3)>0，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e) ，1))内无零点．
又f(e)＝eq \f(e,3)－1<0，
∴f(x)在(1，e)内有零点．
4．已知2答案 2
解析 方程lgax＝－x＋b的解，
即为函数f(x)＝lgax＋x－b的零点，
∴x0为f(x)＝lgax＋x－b的零点，
∵2∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
又f(2)＝lga2＋2－b<0，f(3)＝lga3＋3－b>0，
∴x0∈(2,3)，即n＝2.
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型二 函数零点个数的判定
例1 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2，x≤0，,2x－6＋ln x，x>0))的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－eq \r(2)(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋eq \f(1,x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9 B．10 C．11 D．18
答案 B
解析 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图像，如图，再作出函数y＝|lg x|的图像，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
跟踪训练1 (1)(2021·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图像，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(2)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
答案 6
解析 在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图像，
如图所示，
由图可知，两函数图像共有6个交点，故原函数有6个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点， 则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 画出函数f(x)的大致图像如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]
和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0命题点2 根据函数零点范围求参数
例3 函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，
即k＝2x－eq \f(2,x)，
即y＝k与φ(x)＝2x－eq \f(2,x)，x∈(1,2)的图像有交点，
又φ(x)＝2x－eq \f(2,x)在(1,2)上是增加的，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0命题点3 数形结合法求解函数零点问题
例4 若函数f(x)＝|lgax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．0答案 C
解析 由题设可得|lgax|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，不妨设a>1，m1，且－lgam＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m，lgan＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n，以上两式两边相减可得lga(mn)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m<0，所以0素养提升 (1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围．
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图像的交点问题，通过画图分析图像的特征、图像间的关系解决问题，提升直观想像核心素养．
跟踪训练2 (2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x|，x≤1，,x2－3x＋3，x>1，))若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D．R
答案 C
解析 作出函数f(x)的图像如图，
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图像恰有两个交点，结合图像，
得2a>2或eq \f(3,4)<2a≤1.
解得a>1或eq \f(3,8)课时精练
1．函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x－1)的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x－1)在(1，＋∞)上是增加的，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2.(2020·青岛模拟)已知x＝a是函数f(x)＝2x－的零点，若0A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案 C
解析 f(x)＝2x－在(0，＋∞)上是增加的，且f(a)＝0，
又03．函数f(x)＝x·cs 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图像求解．f(x)＝x·cs 2x＝0⇒x＝0或cs 2x＝0，又cs 2x＝0在[0,2π]上有eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)，eq \f(7π,4)，共4个根，故原函数有5个零点．
4.(2020·济宁模拟)若函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由条件可知f(1)·f(2)<0，
即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，
解得05．已知函数f(x)＝x－eq \r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1C．x2答案 C
解析 作出y＝x与y＝eq \r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图像，如图所示，可知选C.
6．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－lg3|x|的零点有( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
答案 B
解析 分别作出y＝f(x)与y＝lg3|x|的图像如图所示，
由图可知y＝f(x)与y＝lg3|x|有4个交点，
故函数y＝f(x)－lg3|x|有4个零点．
7．已知函数f(x)＝eq \f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 依题意，f(1)＝eq \f(2,3＋1)＋a＝0，∴a＝－eq \f(1,2).
8．(2021·济南模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xln x，x>0，,x2－x－2，x≤0，))
则f(x)的零点为________．
答案 －1和1
解析 令f(x)＝0得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,xln x＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2－x－2＝0，))
解得x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和1.
9．已知函数f(x)＝|1－x2|＋a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 函数y＝f(x)有四个零点，
即y＝－a与y＝|1－x2|有四个交点，
作出函数y＝|1－x2|的图像如图，
由图可知0<－a<1，即－110．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4，x≤0，,2x－2，x>0，))若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－3，－1)
解析 令f(x)＝0⇒x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，
∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图像，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<－2－m≤4，,－1<1－m≤4，))
解得－3≤m<－1.
11．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围．
解 (1)∵2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－b＝2＋3，,c＝2×3.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－5，,c＝6.))
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,g2<0，,g4>0，))解得－eq \f(1,2)故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
解 (1)函数f(x)的图像如图所示．
(2)因为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))
故f(x)在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，
由0且eq \f(1,a)－1＝1－eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2.
(3)由函数f(x)的图像可知，当013．(2020·长沙统考)已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 A
解析 作出f(x)的图像如图所示，
令g(x)＝0，∴f(x)＝2或f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，
∴f(x)＝－a有两解．
由图知1<－a<2，
即－214．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－2x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))若x1①x1＋x2＝－1；②x3x4＝1；③1答案 ②③④
解析 由函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－2x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))作出其函数图像如图所示．
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|lg2x|＝1，有 x＝eq \f(1,2)，2，
所以eq \f(1,2)由f(x3)＝f(x4)，得|lg2x3|＝|lg2x4|，
即lg2x3＋lg2x4＝0，
所以x3x4＝1，
由图可知015．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
B．[2，＋∞)
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵f(x)＝ex－1＋x－2，∴f(x)在R上是增加的，
又f(1)＝e0＋1－2＝0，
∴f(x)有唯一零点为1，
令g(x)的零点为x0，
依题意知|x0－1|<1，即0即函数g(x)在(0,2)上有零点，
令g(x)＝0，则x2－ax＋1＝0在(0,2)上有解，
即a＝x＋eq \f(1,x)在(0,2)上有解，
∵x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，∴a≥2.
16．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,x＋1)－2，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))求函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和．
解 由题意知，当x<0时，
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,x－1)＋2，x∈－1，0，,|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，))
作出函数f(x)的图像如图所示，
设函数y＝f(x)的图像与y＝eq \f(1,π)交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图像的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
令eq \f(2,x－1)＋2＝eq \f(1,π)，解得x3＝eq \f(1,1－2π)，
所以函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为eq \f(1,1－2π).Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6