2024高考数学第一轮复习：专题2.4 指数与指数函数（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.4 指数与指数函数（解析版），共27页。试卷主要包含了aras＝ar＋s，s＝ars，r＝arbr，已知，，，则，已知函数，则下列叙述正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

2.4 指数与指数函数
思维导图



知识点总结
知识点一　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
知识点二　实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知识点三　分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义

知识点四　有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四　指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考　为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点五　两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当0 知识点六　指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

a>1
0 图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 当x>0时，0 当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数


典型例题分析
考向一 运用指数幂运算公式化简求值
例1　计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
(2)
(3)
解　(1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝
＝
(3)原式＝＋1＝1＋1＝2.
反思感悟　一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

考向二 分数指数幂运算的综合应用
例2　(1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
解　(1)＝
＝.
(2)①∵∴
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
②∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
③

＝3×(7－1)＝18.
反思感悟　条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

考向三 指数函数的图象及应用
例1　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　D
(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
答案　(2,2)
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
解　y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示．

反思感悟　处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

考向四 比较大小
例4　(1)比较下列各题中两个值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　(1)①∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②方法一　∵1.70.3>0,1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，∴1.70.3>1.50.3.
方法二　幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
(2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)
答案　c>a>b
解析　构造幂函数(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，知aa>b.
反思感悟　比较幂值大小的3种类型及处理方法



基础题型训练

一、单选题
1．化简的结果为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式结合指数运算性质即可
【详解】因为，
，
，
，
，
所以原式=
故选：B
2．函数，则方程的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．
时，无解，
当时，成立，
由，得当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上，的取值范围是．
故选：B.
3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为
A．t≤–1 B．t<–1
C．t≤–3 D．t≥–3
【答案】A
【分析】由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．已知，，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用中间值法，将这三个数与、比较大小，从而得出这三个数的大小关系.
【详解】由于对数函数在其定义域上是增函数，则，
指数函数在上为增函数，则，即，
对数函数在其定义域上是减函数，则，即.
因此，，故选C.
【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为和，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．已知函数，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：原函数满足，函数是偶函数，当时是增函数，当时是减函数，结合函数图像可知不等式转化为，两边平方解不等式得解集为
考点：利用函数的奇偶性单调性解不等式
6．设函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出的范围．
【详解】∵，使得成立，
即和的值域有交集．
．
∵，
当时，，满足题意；
当时，在区间上单调递增，
．
∵和的值域有交集，
∴，即；
③时，在区间上单调递减，
．
∵和的值域有交集，
∴，即；
综上：；
故选D．
【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.

二、多选题
7．已知函数，则下列叙述正确的是（    ）
A．当时，函数在区间上是增函数
B．当时，函数在区间上是减函数
C．若函数有最大值2，则
D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.
【详解】对于AB选项：当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；
对于C选项：若有最大值2，显然不成立，
则函数有最小值，
所以，解得，故C正确；
对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，
当时，显然成立，
当时，由二次函数的性质可得，解得，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD
8．已知函数，则（   ）
A．为偶函数 B．是增函数
C．不是周期函数 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断D．
【详解】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；
选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知是奇函数，时， ，
时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．
故选：AD．

三、填空题
9．若为方程的两个实数解，则___________．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则将已知方程的两边写成同底数的幂的形式，根据指数函数的性质得到指数相等，转化为关于x的二次方程，由根与系数的关系得到答案.
【详解】，
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
10．若指数函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】若指数函数在上是增函数，
则，解得
故实数的取值范围是
11．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

【答案】
【详解】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（2，3）对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为b＜a＜c．
12．化简的结果是________.
【答案】
【分析】将分式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律即可得出结果.
【详解】由题意得===1.
【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.

四、解答题
13．计算：
(1)；
(2) 已知，求.
【答案】(1)； (2)11.
【分析】（1）利用指数幂运算法则代入计算求值；
（2）对等式两边平方可得答案.
【详解】（1）原式.
（2）因为，
所以.
【点睛】本题考查指数幂运算法则，考查基本运算求解能力，属于基础题.
14．计算：(1)；　
(2)
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用分数指数幂计算即可.
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式


.
（2）原式.
【点睛】本题考查分数指数幂的计算和对数的计算，属于基础题.
15．已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函数的解析式；
(2)设．若在时恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）将函数配方，进而判断出函数在[2,3]上的单调性，然后根据求出参数，最后得到答案.
（2）先进行参变分离，进而转化为求函数的最值，最后求得答案.
(1)
，∴函数的图象的对称轴方程为，                    
在区间上递增．
依题意得，即，解得，.
(2)
，
在时恒成立，即在时恒成立，
在时恒成立，只需 ，   
令，由得，设，
，当时，函数取得最小值0，
，的取值范围为.
16．已知函数的表达式为，其中、为实数.
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若方程有一个根为，且、为正数，求的最小值；
(3)若函数在区间上是严格减函数，试确定实数的取值范围，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析

【分析】（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，根据韦达定理可求得、的值，即可求得的值；
（2）由可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；
（3）令，任取、且，作差，由函数单调性的定义可得出，可得出，求出的取值范围，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为不等式的解集是，
所以，关于的方程的两根分别为、，
所以，，解得，，因此，.
（2）解：由题意可得，，
又因为、均为正数，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
（3）解：因为，
令，其中，由题意可知，函数在上为减函数，
任取、且，则，且，
所以，
，
所以，，可得，
而，则，.
因此，当函数函数在区间上是严格减函数，.



提升题型训练

一、单选题
1．函数是指数函数，则有
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据指数函数定义，构造方程解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或，
当时，不是指数函数，舍去，
所以，
故选：C.
2．已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围．
【详解】依题可知函数在上是增函数，
∴，解得．
故选：B．
3．定义在上的函数满足时，，则的值为
A．-2 B．0 C．2 D．8
【答案】A
【详解】试题分析： 由已知可得的周期
，故选A.
考点：函数的周期性.
4．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之差，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题干条件构造方程组解出函数和的解析式，再用分离参数法将对恒成立转化为对恒成立，进而求得实数的取值范围.
【详解】由，
有，
解得，，
可化为，有，
有，得，
又由，有.
故选：C
【点睛】本题考查函数奇偶性、求函数解析式等知识点以及对恒成立问题的处理，属于中档题.
5．已知函数（，且），则是（    ）
A．偶函数，值域为 B．非奇非偶函数，值域为
C．奇函数，值域为 D．奇函数，值域为
【答案】C
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的性质及不等式的性质求函数的值域即可得解.
【详解】由题可知，且函数的定义域为R，关于原点对称，所以是奇函数.
由指数函数的性质知，，，
，即函数的值域为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性，指数函数的性质，不等式的性质，判断函数的奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与的关系，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
6．已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】因为，a、b、c是正实数，
所以，，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意.
故选：D.

二、多选题
7．下列函数在区间上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；去绝对值由一次函数的性质可判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；
对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；
对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；
故选：BC.
8．若函数同时满足：对于定义域上的任意x，恒有； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】确定“理想函数”具有的两个性质，再逐一分析各个选项，判断作答.
【详解】由①知，“理想函数”是其定义域上的奇函数，由②知，“理想函数”是其定义域上的减函数，
对于A，函数定义域为，而在上不单调，A不是；
对于B，函数定义域为R，在R上单调递增，B不是；
对于C，函数定义域为R，当时，，，
当时，，，而，即，，
是R上奇函数，在上单调递减，在上单调递减，且图象连续，即是R上减函数，C是；
对于D，函数定义域是R，，是R上的奇函数，
在R上单调递减，D是.
故选：CD

三、填空题
9．函数的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.
【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.
故答案为：.
10．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为，列式求实数a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，
因为函数的值域为，所以，解得：.
故答案为：
11．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．
【答案】
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，从而可求出分段函数的值域.
【详解】由{a，b，c}={2，3，4}，可得a、b、c的取值有以下情况：
当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．
当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；
当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；
当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；
当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；
当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；
综上得，a=3、b=4、c=2，
则函数
当x＞4时，
当x≤4时，，
综上：，即函数的值域为，
故答案为：．
12．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，
又，
故不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以，即对恒成立，
当时，，
故，即实数a的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数不等式恒成立求解参数范围问题，解答时要注意判断函数的单调性以及函数满足的性质，因而解答的关键是利用函数满足的性质脱去函数符号“f”,将问题转化为，即对恒成立，即可解决.

四、解答题
13．计算：．
【答案】99
【分析】根据指数运算公式化简求值.
【详解】



14．已知函数，，若对任意，都有，求实数的取值范围
【答案】
【分析】转化为，构造函数，利用函数的单调性求出最值即可得解.
【详解】对任意的，都有，即，转化为，
令，且在上为减函数，故，
故.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
15．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
【答案】（1）；（2）5；（3）15．
【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解；
（2）由求解可得；
（3）由求解可得．
【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得；
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，
，，；
（3）设今后最多还能砍伐年，
则，
，，．
答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．
【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得．
16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．
(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；
(2)函数．若对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减，证明见详解
(2)

【分析】（1）根据题意，结合偶函数的性质以及定义法判断单调性，即可证明；
（2）根据题意，结合函数的单调性，可将转化为，令，则，
故可将转化为关于的一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，进而可求解.
(1)
函数在区间上单调递减.
证明：设，，且，则，
因为函数在区间上单调递增，所以，
又因为函数为上的偶函数，所以，
又因，所以函数在区间上单调递减.
(2)
由题意，可知，
因为，所以结合（1）易得，即.
令，由，易得，
因为，所以，故，
即对于恒成立，故.
因为，所以，
又因为，等且仅当时，等号成立，
所以.