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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课时练习，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数在区间上递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则下列四个数中最小的数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是方程的两根，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元B．16元C．24元D．32元
6．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若则函数的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
8．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
9．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D．或
12．已知非零实数满足：，下列不等式中一定成立的有（ ）
①；
②；
③.
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
13．若，，则的最小值为______.
14．若关于x的不等式的解集是，则a=______.
15．设，且，则的最大值为_________．
16．已知，且，则的最大值为_____．
三、解答题
17．求下列不等式的解集：
（1）
（2）
18．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
19．已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
20．设.
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
21．已知函数，.
（1）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）求函数的最小值的表达式.
22．已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若，
对于A，，所以，故A不成立；
对于B，，所以，故B不成立；
对于C，因为，，，故C成立；
对于D，由，所以，即，故D成立.
故选：C.
2．B
【分析】
根据二次函数的单调性列式可得结果.
【详解】
因为函数在区间上递减，
所以，即.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.
3．D
【分析】
根据可以推出、、都大于1，，故可得答案.
【详解】
因为，
所以，，，
，
所以四个数中最小的数是.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.
4．D
【分析】
由韦达定理的，，再根据即可求出.
【详解】
是方程的两根，
，，
故选：D.
5．D
【分析】
设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8x＝a－32，由此得解.
【详解】
设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则，
两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，
∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，
∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，
故选：D.
6．D
【分析】
分别对和的情况进行讨论即可.
【详解】
当时，恒成立，符合题意；
当时，需满足且，得，
综上，.
故选：D．
7．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．D
【分析】
先求对应方程的实数解，再写出不等式的解集.
【详解】
∵方程的实数解为、；
∴不等式的解集为.
故选：D.
9．A
【分析】
由解得结果即可得解.
【详解】
因为一元二次不等式对一切实数x都成立，
所以，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
10．A
【分析】
由不等式的性质，推导出的取值范围.
【详解】
因为，
可得，
所以，
即；
故选：A.
11．A
【分析】
先利用一元不等式的解得到，再化简不等式得，即解得结果.
【详解】
不等式的解集是，故，则关于的不等式即，即，故解集是或.
故选：A.
12．B
【分析】
由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解.
【详解】
对于①，若，，则，故①错误；
对于②，由可得，故②正确；
对于③，因为，若，则，故③错误.
故选：B.
13．7
【分析】
根据题中条件，由，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：7.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．6
【分析】
由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理即可求a的值.
【详解】
由题意知：的两个根分别为2，3，
∴，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.
15．
【分析】
由基本不等式可得，验证等号成立即可得解.
【详解】
因为，且，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
又，所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．
【分析】
将化为后，根据基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，且，
所以，即，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）利用绝对值不等式的解法即可求解.
（2）利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】
（1）或，
解得或，所以不等式的解集为.
（2），
解得或，
所以不等式的解集为.
18．（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
【分析】
（1）由已知可知或是方程的根，把根代入方程中可求出的值；
（2）由（1）可知不等不等式化为，然后分，和求解即可
【详解】
解：（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得
（2）由（1）可知不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用左加右减的平移原则，即可得答案；
（2）由（1）可得对称轴及函数图象的变化趋势，及根据开口方向，可得函数的最值；
【详解】
（1）配方，得
所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.
（2）由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线；
在区间（，-2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，
在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数值y在处取得最小值3，即.
【点睛】
本题考查配方法求函数的对称轴、平移变换、最值，考查运算求解能力，属于基础题.
20．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用作差法比较的大小；（2），再对分类讨论得解.
【详解】
（1）当时，，
则，
所以.
（2），
①当时，，则；
②当时，，则；
③当时，，则.
【点睛】
本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1） 或；（2） .
【分析】
（1）先求得函数对称轴，再根据在定义域内是单调函数求解.
（2）分，和三种情况讨论求解.
【详解】
（1）由题意知，函数对称轴为，
因为在定义域内是单调函数，
所以或.
（2）当时，此时函数在上单调递增，
当时，；
当时，此时函数在上先减再增，
则当时，；
当时，此时函数在上单调递减，
则当时，，
综上所述，.
22．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）即，讨论和的大小即可求解集；
（2）不等式在区间有解，即，当时，不等式为不成立；当时，，求的最小值即可.
【详解】
（1）由得：，所以，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
综上所述，
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
（2）存在，成立，
即当，成立，
当时，不等式为不成立，所以.
当时，，
即
当，
，
当且仅当即时，等号成立，
所以.
综上所述：
【点睛】
思路点睛：不等式有解问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.
一、单选题
1．若，下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数在区间上递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则下列四个数中最小的数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是方程的两根，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元B．16元C．24元D．32元
6．若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若则函数的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
8．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
9．若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D．或
12．已知非零实数满足：，下列不等式中一定成立的有（ ）
①；
②；
③.
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
13．若，，则的最小值为______.
14．若关于x的不等式的解集是，则a=______.
15．设，且，则的最大值为_________．
16．已知，且，则的最大值为_____．
三、解答题
17．求下列不等式的解集：
（1）
（2）
18．已知不等式的解集为或.
（1）求；
（2）解不等式.
19．已知一元二次函数
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
20．设.
（1）当时，比较的大小；
（2）当时，比较的大小.
21．已知函数，.
（1）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）求函数的最小值的表达式.
22．已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
若，
对于A，，所以，故A不成立；
对于B，，所以，故B不成立；
对于C，因为，，，故C成立；
对于D，由，所以，即，故D成立.
故选：C.
2．B
【分析】
根据二次函数的单调性列式可得结果.
【详解】
因为函数在区间上递减，
所以，即.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.
3．D
【分析】
根据可以推出、、都大于1，，故可得答案.
【详解】
因为，
所以，，，
，
所以四个数中最小的数是.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.
4．D
【分析】
由韦达定理的，，再根据即可求出.
【详解】
是方程的两根，
，，
故选：D.
5．D
【分析】
设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8x＝a－32，由此得解.
【详解】
设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则，
两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，
∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，
∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，
故选：D.
6．D
【分析】
分别对和的情况进行讨论即可.
【详解】
当时，恒成立，符合题意；
当时，需满足且，得，
综上，.
故选：D．
7．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．D
【分析】
先求对应方程的实数解，再写出不等式的解集.
【详解】
∵方程的实数解为、；
∴不等式的解集为.
故选：D.
9．A
【分析】
由解得结果即可得解.
【详解】
因为一元二次不等式对一切实数x都成立，
所以，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
10．A
【分析】
由不等式的性质，推导出的取值范围.
【详解】
因为，
可得，
所以，
即；
故选：A.
11．A
【分析】
先利用一元不等式的解得到，再化简不等式得，即解得结果.
【详解】
不等式的解集是，故，则关于的不等式即，即，故解集是或.
故选：A.
12．B
【分析】
由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解.
【详解】
对于①，若，，则，故①错误；
对于②，由可得，故②正确；
对于③，因为，若，则，故③错误.
故选：B.
13．7
【分析】
根据题中条件，由，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：7.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．6
【分析】
由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理即可求a的值.
【详解】
由题意知：的两个根分别为2，3，
∴，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.
15．
【分析】
由基本不等式可得，验证等号成立即可得解.
【详解】
因为，且，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
又，所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．
【分析】
将化为后，根据基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，且，
所以，即，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）利用绝对值不等式的解法即可求解.
（2）利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】
（1）或，
解得或，所以不等式的解集为.
（2），
解得或，
所以不等式的解集为.
18．（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
【分析】
（1）由已知可知或是方程的根，把根代入方程中可求出的值；
（2）由（1）可知不等不等式化为，然后分，和求解即可
【详解】
解：（1）因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
所以，解得
（2）由（1）可知不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
【点睛】
此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用左加右减的平移原则，即可得答案；
（2）由（1）可得对称轴及函数图象的变化趋势，及根据开口方向，可得函数的最值；
【详解】
（1）配方，得
所以函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.
（2）由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线；
在区间（，-2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，
在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；
函数值y在处取得最小值3，即.
【点睛】
本题考查配方法求函数的对称轴、平移变换、最值，考查运算求解能力，属于基础题.
20．（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用作差法比较的大小；（2），再对分类讨论得解.
【详解】
（1）当时，，
则，
所以.
（2），
①当时，，则；
②当时，，则；
③当时，，则.
【点睛】
本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1） 或；（2） .
【分析】
（1）先求得函数对称轴，再根据在定义域内是单调函数求解.
（2）分，和三种情况讨论求解.
【详解】
（1）由题意知，函数对称轴为，
因为在定义域内是单调函数，
所以或.
（2）当时，此时函数在上单调递增，
当时，；
当时，此时函数在上先减再增，
则当时，；
当时，此时函数在上单调递减，
则当时，，
综上所述，.
22．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）即，讨论和的大小即可求解集；
（2）不等式在区间有解，即，当时，不等式为不成立；当时，，求的最小值即可.
【详解】
（1）由得：，所以，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
综上所述，
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
（2）存在，成立，
即当，成立，
当时，不等式为不成立，所以.
当时，，
即
当，
，
当且仅当即时，等号成立，
所以.
综上所述：
【点睛】
思路点睛：不等式有解问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.
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