第二章 2.1函数及其表示-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测




1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　×　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　×　)
(3)映射是特殊的函数．(　×　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　×　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　×　)

2、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)


答案　B
解析　A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.
3、下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
答案　D
解析　函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.
4、已知f()＝x2＋5x，则f(x)＝________.
答案　(x≠0)
解析　令＝t(t≠0)，
则f(t)＝＋5＝，
∴f(x)＝(x≠0)．
5、已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝________；若f[f(x0)]＝2，则x0＝________.
答案　6　2或－2
解析　由题意知f(0)＝4，f(4)＝6，设f(x0)＝t，则f(t)＝2，当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，当t<0时，t2＋4＝2，无解，当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，当x0≤0时，由x＋4＝8，得x0＝－2，所以x0＝2或－2.

作业检查


无
第2课时


阶段训练



题型一　函数的概念
例1　有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
答案　②③
解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
【同步练习】　
(1)下列所给图象中函数图象的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.
(2)A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.
题型二　函数的定义域问题
命题点1　求函数的定义域
例2　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
答案　(1)A　(2)[0,1)
解析　(1)由题意得解得－3＜x≤0.
所以函数f(x)的定义域为(－3,0]．
(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，
又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．
引申探究
例2(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝的定义域为________________．
答案　[，1)∪(1，]
解析　由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，
得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，
令得≤x≤且x≠1，
∴g(x)的定义域为[，1)∪(1，]．
命题点2　已知函数的定义域求参数范围
例3　(1)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)[－1,0]　(2)[0,3)
解析　(1)因为函数f(x)的定义域为R，
所以对x∈R恒成立，
即，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
(2)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0 综上所述，a的取值范围是[0,3)．
【同步练习】
(1)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为(　　)
A．[，＋∞) B．[，2)
C．(，＋∞) D．[，2)
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，)
C．[0，] D．[0，)
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)要使函数y＝有意义，
需满足⇒⇒≤x<2.
(2)要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．
①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；
②当m≠0时，要使不等式恒成立，
需
即或即
解得0


第3课时


阶段重难点梳理




1．函数与映射

函数
映射
两集合A、B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．
2．函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．
重点题型训练




题型三　求函数解析式
例4　(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
答案　(1)lg(x>1)　(2)2x＋7　(3)＋
解析　(1)(换元法)
令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
(3)(消去法)
在f(x)＝2f()·－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)·－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()·－1中，
可求得f(x)＝＋.



【同步练习】
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x)．
解　(1)设＋1＝t(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，
即k2x＋kb＋b＝4x－1，
∴∴或
故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)以－x代替x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，
∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，
代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，
可得f(x)＝－x＋.

2．分类讨论思想在函数中的应用

典例　(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．
(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．[0,1]
C. D．[1, ＋∞)
解析　(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，
可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，
解得a＝－，不合题意．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得
－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．
(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
答案　(1)－　 (2)C
思导总结



一、定义域
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．
二、函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
三、值域
(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解．
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

作业布置



1．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
答案　C
解析　A项中两函数的定义域不同；B项、D项中两函数的对应关系不同，故选C.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
答案　D
解析　要使函数f(x)有意义，
则x需满足
即
解得1 所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10]．
3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
答案　B
解析　(待定系数法)
设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g(x)＝3x2－2x，故选B.
4．设f(x)＝则f(f(－2))等于(　　)
A．－1 B. C. D.
答案　C
解析　∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝，故选C.
5．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D.
答案　B
解析　当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，
即x＝4，解得x0＝2.
当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，
即－x＝4，无解，所以x0＝2，
故选B.
*6.已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－1，)
C．[－1，) D．(0，)
答案　C
解析　要使函数f(x)的值域为R，
需使
∴∴－1≤a＜.
即a的取值范围是[－1，)．
7．已知函数f()＝x，则f(2)＝________.
答案　－
解析　令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，即f(x)＝，
∴f(2)＝＝－.
8．已知函数f(x)＝则f(f(2))＝________，值域为______．
答案　2　(－1,2]
解析　∵f(2)＝f(1)＝2，∴f[f(2)]＝f(2)＝2.
又x>1时，f(x)＝f(x－1)，
∴f(x)的值域即为x≤1时函数值的范围．
又x≤1时，－1<3x－1≤2，故f(x)的值域为(－1,2]．
9．已知函数f(x)＝
则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
答案　0　2－3
解析　∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.
*10.具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．
答案　①③
解析　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；
对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝
即f＝
故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
11．已知f(x)＝
(1)求f(－)的值；
(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．
解　(1)由题意，得f(－)＝f(－＋1)＝f(－)
＝f(－＋1)＝f()＝2×＋1＝2.
(2)当0 当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，
得a＝或a＝－(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.




12．若函数f(x)＝.
(1)求的值；
(2)求f(3)＋f(4)＋…＋f(2 017)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
解　(1)∵f(2)＝，f()＝－，
∴＝－1.
(2)∵f()＝＝＝－f(x)，
∴f(3)＋f()＝0，f(4)＋f()＝0，…，f(2 017)＋f()＝0，
故f(3)＋f(4)＋…＋f(2 017)＋f()＋f()＋…＋f()＝0.
13．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n (m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域．
解　(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n且f(0)＝f(1)，
∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x2－x＋n.
∵方程x＝f(x)有两个相等的实数根，
∴方程x＝x2－x＋n有两个相等的实数根，
即方程x2－2x＋n＝0有两个相等的实数根，
∴(－2)2－4n＝0，∴n＝1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)，知f(x)＝x2－x＋1.
此函数的图象是开口向上，对称轴为直线x＝的抛物线，∴当x＝时，f(x)有最小值f()．
∴f()＝()2－＋1＝，
∵f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，
∴当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是[，7]．