第二章 2.4二次函数和幂函数-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
(4)函数y＝2x是幂函数．( )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
.题型一 求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有
f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知m∈R，函数f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m.
(1)若0(2)对任意的m∈(0,1]，若f(x)在[0，m]上的最大值为h(m)，求h(m)的最大值．
命题点3 二次函数中的恒成立问题
例4 (1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．
(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
题型三 幂函数的图象和性质
例5 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))
C．(－1,2) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，2))
幂函数的图象经过点(4,2)，若0A．f(a)B．f(eq \f(1,a))C．f(a)D．f(eq \f(1,a))第3课时
阶段重难点梳理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
2.幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②幂函数的图象过定点(1,1)；
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
重点题型训练
典例 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
1．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＜－3 D．a≤－3
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．
思导总结
【知识拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0))时恒有f(x)>0，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0.
2．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
作业布置
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
2．幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－eq \f(25,4)，－4]，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B．[eq \f(3,2)，4]
C．[eq \f(3,2)，＋∞) D．[eq \f(3,2)，3]
5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
6．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)D．与a值有关
7．若函数f(x)是幂函数，则f(1)＝________，若满足f(4)＝8f(2)，则f(eq \f(1,3))＝________.
8．当09．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
*10.若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
12．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
13．设函数f(x)＝x2＋px＋q(p，q∈R)．
(1)若p＝2，当x∈[－4，－2]时，f(x)≥0恒成立，求q的取值范围；
(2)若不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解，试求所有的实数对(p，q)．
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减；
对称性
函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称