数学必修53.4 基本不等式第1课时同步达标检测题

这是一份数学必修53.4 基本不等式第1课时同步达标检测题，共8页。

课时过关·能力提升
基础巩固
1若x>0,则x+4x的最小值为( ).
A.2B.3C.22D.4
答案:D
2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是( ).
A.400B.100C.40D.20
解析:xy≤x+y22=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.
答案:A
3若0解析:∵0∴y=x(1-3x)=13×3x(1-3x)
≤13×3x+1-3x22=112.
当且仅当3x=1-3x,即x=16时取等号.
答案:B
4设a,b∈R,若a≠b,a+b=2,则必有( ).
A.1≤ab≤a2+b22B.ab<1C.ab解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a2+b22=5,则有ab<1所以排除选项A,C,D,故选B.
答案:B
5若M=a2+4a(a∈R,a≠0),则M的取值范围为( ).
A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]
C.[4,+∞)D.[-4,4]
解析:当a>0时,M=a2+4a=a+4a≥2a·4a=4,
当且仅当a=4a,即a=2时取“=”;
当a<0时,M=a2+4a
=a+4a=-(-a)+-4a
≤-2(-a)·-4a=-4,
当且仅当-a=-4a,即a=-2时取“=”.
综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).
答案:A
6若a>b>1,P=lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lga+b2,则下列结论正确的是( ).
A.RC.Q解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.
∴R=lg a+b2>lg ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>lgalgb=P.∴P答案:B
7若a>0,b>0,则2ba+ab的最小值是________________________.
解析:2ba+ab≥22ba·ab=22,当且仅当2ba=ab,
即a=2b时取“=”.
答案:22
8当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x= .
解析:当-2当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,
当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.
所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.
答案:±1
9已知2x+3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.
解∵x>0,y>0,2x+3y=2,
∴2=2x+3y≥26xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥6xy.
∴xy≥6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.
10已知x>-1,试求函数y=x2+7x+10x+1的最小值.
解∵x>-1,∴x+1>0,
∴y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1
=x+1+4x+1+5≥2(x+1)·4x+1+5=9.
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.
所以函数y=x2+7x+10x+1的最小值为9.
能力提升
1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a+1b的最小值是( ).
+22D.3+2
解析:1a+1b=2a+ba+2a+bb
=2+1+ba+2ab=3+ba+2ab.
∵a>0,b>0,∴1a+1b=3+ba+2ab
≥3+2ba·2ab=3+22,
当且仅当ba=2ab,即b=2a=2-1时“=”成立.
∴1a+1b的最小值为3+22.
答案:C
2若x+3y-2=0,则函数z=3x+27y+3的最小值是( ).
A.323B.3+22C.6D.9
解析:z=3x+27y+3≥23x·27y+3=23x+3y+3.
∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.
∴z≥23x+3y+3=232+3=9,当且仅当3x=27y,即x=3y=1时取“=”.
答案:D
3若直线ax+by=2(a>0,b>0)经过圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心,则y=1a+4b的最小值是( )
解析:依题意得1a+4b=121a+4b(a+b)=125+ba+4ab≥125+2ba·4ab=92,
当且仅当a+b=2,ba=4ab,a>0,b>0,即a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.
答案:C
4当x>12时,函数y=x+82x-1的最小值为( ).
解析:∵x>12,∴2x-1>0.
∴y=x+82x-1=x+4x-12=x-12+4x-12+12
≥2x-12·4x-12+12=4+12=92,
当且仅当x-12=4x-12,即x=52时取等号.
答案:A
5设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为_________________.
解析:因为a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是a+1+b+3=x+y,而(x+y)2=x+y+2xy≤x+y+(x+y)=18,所以x+y≤32.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,a+1+b+3的最大值为32.
答案:32
★6函数y=lga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则1m+2n的最小值为_________________.
解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n.又m,n>0,
所以1m+2n=2m+nm+2(2m+n)n=4+nm+4mn≥4+24=8.
当且仅当nm=4mn,即m=14,n=12时取等号,
则1m+2n的最小值为8.
答案:8
★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是 .
解析:因为x>0,所以x+1x≥2,
当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,
即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.
答案:15,+∞
★8已知f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较fx1+x22与f(x1)+f(x2)2的大小.
解∵f(x)=ax,∴fx1+x22=ax1+x22,
∴12[f(x1)+f(x2)]=12(ax1+ax2).
∵a>0,且a≠1,x1≠x2,
∴ax1>0,ax2>0,且ax1≠ax2,
∴12(ax1+ax2)>ax1·ax2=ax1+x22,
即fx1+x229若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.
解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,
∴xy=2x+y+6≥22·xy+6,
即xy-22xy-6≥0,
当且仅当2x=y,2x+y+6=xy时,等号成立.
∴(xy-32)(xy+2)≥0.
∵xy+2>0,∴xy≥32,xy≥18.
又2x+y+6=12×2xy≤12·2x+y22,
∴(2x+y)2-8(2x+y)-48≥0,
∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.
∵2x+y+4>0,∴2x+y≥12.
∴xy的最小值为18,2x+y的最小值为12.