人教版新课标A必修11.2.2函数的表示法第2课时导学案及答案

第2课时　分段函数与映射

授课提示：对应学生用书第19页

[基础认识]

知识点一　分段函数

　某市空调公共汽车的票价按下列规则判定：

①5千米以内，票价2元；

②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．

已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．

(1) 从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？

提示：有函数关系．

(2) 函数的表达式是什么？

提示：y＝　　　

　知识梳理　如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．

思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？

提示：分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．

知识点二　映射

　A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．

(1)从集合A到集合B能构成函数吗？

提示：不能．

(2)从集合A到集合B的对应有什么特点？

提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．　　　

　知识梳理　设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

思考： 映射与函数是什么关系？

提示：函数是特殊的映射，其是建立在两个非空数集上的对应关系，而映射不一定是函数．

[自我检测]

1．已知映射f：A→B，对任意x∈A，则B中与x对应的元素有(　　)

A．0个　　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．无数个

解析：根据映射的定义，对于A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故选B.

答案：B

2．已知函数f(x)＝则它的定义域是__________．

解析：∵{x|x＞0}∪{0}∪{x|＜0}＝R，

∴函数f(x)的定义域是实数集R.

答案：R

3．已知函数f(x)＝则f(－2)＝__________.

解析：f(－2)＝(－2)2＝4.

答案：4

授课提示：对应学生用书第20页

探究一　分段函数求值

[例1]　(1)设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B．3

C.   D.

(2)已知函数f(x)＝，若f(x)＝－3，则x＝__________.

[解析]　(1)由题意f(3)＝，

f＝2＋1＝，

所以f(f(3))＝f＝.

(2)若x≤1，

由x＋1＝－3得x＝－4.

若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，

解得x＝2，x＝－2(舍去)．

综上可得所求x的值为－4或2.

[答案]　(1)D　(2)－4或2

方法技巧　1.求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入到不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

跟踪探究　1.已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝__________.

解析：由题意可知，f(0)＝2，f(2)＝4＋2a.

又f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，

所以a＝2.

答案：2

探究二　分段函数的图象及应用

　[阅读教材P21例5]画出函数y＝|x|的图象．

题型：分段函数图象

[例2]　若f(x)的解析式为f(x)＝

(1)求f，f，f(－1)的值；

(2)画出这个函数的图象；

(3)求f(x)的最大值．

[解析]　(1)∵＞1，

∴f＝－2×＋8＝5.

∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.

∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.

(2)如图所示：

在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，

在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，

在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．

图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．

(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值，最大值为6.

方法技巧　分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

跟踪探究　2.已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)求f(x)的定义域和值域．

解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示：

(2)由条件知，

函数f(x)的定义域为R.

由图象知，当－1≤x≤1时，

f(x)＝x2的值域为[0,1]，

当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，

所以f(x)的值域为[0,1]．

探究三　映射的概念及应用

　[阅读教材P22例7]题型：映射的概念

[例3]　判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，若是，是不是集合A到集合B的函数．

(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；

(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；

(3)A＝{北京奥运会金牌}，B＝{北京奥运会金牌获得者}，对应关系f：每枚金牌对应该项获得者．

(4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.

[解析]　(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．

(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．

(3)对于A中的每枚金牌，都对应B中的一个获得者，故是映射，A、B不是数集．不是函数关系．

(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．是函数，符合函数定义．

方法技巧　判断一个对应是否为映射的两个关键点

(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应；

(2)B中的对应元素是否是唯一的．

注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．

跟踪探究　3.设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有(　　)

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

解析：①、②满足映射定义；③中当x∈(2,3]时，找不到图象；④中x∈(0,1]时，与之对应的数不唯一，故③、④构不成映射关系．

答案：C

授课提示：对应学生用书第21页

[课后小结]

1．本节课主要学习了分段函数及映射的有关概念，明确了分段函数的特点及映射与函数的区别．

2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．

3．映射的判断应抓住三个关键词：“任意性”“唯一确定”及“非空集合”．

[素养培优]

　分段函数求值问题

　已知f(x)＝若f(a)＝，则a的值为__________．

易错分析：错误的根本原因是忽视了每一段解析式所对应的自变量的取值范围，实际在本题中，求出a的值后应注意检验．

自我纠正：因为f(a)＝

所以当|a|≤1时，令|a－1|－2＝，

解得a＝或a＝－.

又因为|a|≤1，

所以a＝和a＝－均不符合题意，舍去；

当|a|>1时，

令＝，

解得a＝±2，均符合|a|>1.

综上，符合题意的a的值为±2.

答案：±2