卷5-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•1月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·1月卷
第五模拟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）比小的数是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较法则进行比较即可得出答案．
【详解】负数的绝对值越大反而小，
所以，比小的数是-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数>0>负数，负数的绝对值越大反而小．
2．（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 268×103 B. 26.8×104 C. 2.68×105 D. 0.268×106
【答案】C
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大数的形式为 （其中，n为正整数），只要确定a,n即可.
【详解】用科学记数法表示较大数的形式为 ，其中，所以，万=，有6位，所以，所以26.8万用科学记数法表示为
故选C
【点睛】本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键.
3．（河南省洛阳市第二外国语学校2020年中考数学二模试卷）下列问题中，不适合采用全面调查方式的是(　　)
A. 调查全班同学对东台通高铁的了解程度
B. “冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测
C. 为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计
D. 了解江苏省全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度
【答案】D
【解析】
分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【详解】解：A、了解全班同学对东台通高铁的了解程度适合采用全面调查方式，故不符合题意；
B、“冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测适合采用全面调查方式，故不符合题意；
C、为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计适合采用全面调查方式，故不符合题意；
D、了解江苏省全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度不适合采用全面调查方式，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，了解这两种调查方法的性质是解题关键．
4．（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC， CE⊥BE．若∠BCD=50°，∠BCE的度数为（ ）

A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后三角形的内角和定理即可得．
【详解】

BE平分

又，即

故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5．（2020年河南省许昌市长葛市中考数学一模试题）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（　　）

A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. 4：13
【答案】B
【解析】
分析】
由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴＝，AC∥DF，
∴＝＝，
∴＝．
故选B．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

6．（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）在春节运动会中，有9名学生参加100米比赛，并且最终成绩各不相同，若一名学生想知道自己能否进入前5名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】B
【解析】
分析】
9人成绩的中位数是按照从小到大排列后第5名的成绩，参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有9个人，且他们最终成绩各不相同，9人的成绩按照从小到大排列后第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计量的选择，属于基础概念题型，熟知众数、中位数、平均数和方差的意义是正确判断的关键．
7.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A. AB=AD B. OA=OB C. AC=BD D. DC⊥BC
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
8．（2020年河南省许昌市长葛市中考数学一模试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①c＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①如图所示，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
故①正确；
②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0．
故②正确；
③如图所示，当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0．
故③正确；
④如图所示，抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0．
故④错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．

【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以可求出BE，AE，进而可求出BC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，


垂直平分，
，
，

四边形BEDF是菱形，
∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．又EF=AE+FC，
∴EF=2AE=2CF，
又EF=2OE=2OF，AE=OE，
∴△ABE≌OBE， ∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE= ＝，
∴BF=BE=，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=，
故选B ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．
10．（2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．
解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）计算：___________．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义和零指数幂的法则进行计算即可．
【详解】解：原式=3×3-1
=9-1
=8．
故答案为：8．
12．（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）有张质地大小、背面完全相同卡片，它们正面分别写着“武”、“汉”、“加”、“油”、“中”、“国”、“加”、“油”这个汉字，现将卡片正面朝下随机摆放在桌面上，从中随机选取张，抽出的卡片上的汉字恰好能组成“加油”的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
列出所有等可能的情况，然后求概率即可．
【详解】解；列表为：
二
张
武
汉
加
油
中
国
加
油
武
武武
武汉
武加
武油
武中
武国
武加
武油
汉
汉武
汉汉
汉加
汉油
汉中
汉国
汉加
汉油
加
加武
加汉
加加
加油
加中
加国
加加
加油
油
油武
油汉
油加
油油
油中
油国
油加
油油
中
中武
中汉
中加
中油
中中
中国
中加
中油
国
国武
国汉
国加
国油
国中
国国
国加
国油
加
加武
加汉
加加
加油
加中
加国
加加
加油
油
油武
油汉
油加
油油
油中
油国
油加
油油

∴共有56种等可能情况，其中抽出的卡片上的汉字恰好能组成“加油”的情况有8种，
∴P=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，列出所有等可能的情况是解题关键．
13．（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________.
【答案】8⩽a<13；
【解析】
【分析】
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，
解不等式5x−a⩽12,得：x⩽ ，
∵不等式组有2个整数解，
∴其整数解为3和4，
则4⩽<5，
解得：8⩽a<13，
故答案为8⩽a<13
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键
14．（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)

【答案】6π﹣
【解析】
【分析】
连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD=3 ，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
【详解】连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝

∴阴影部分的面积为6π﹣，
故答案为6π﹣．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算折叠的性质，将不规则图形面积转化为规则图形的面积、记住扇形面积的计算公式是解题的关键．
15.（2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　 　．

【答案】：．
【解析】
【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，
∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，
又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC＝DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE＝30°，AD＝2，
∴AE＝＝，
设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣
∵AE2+AD2＝DE2，
∴（）2+22＝（x+x﹣）2，
解得，x1＝（负值舍去），x2＝，
故答案为：．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）（8分）先化简后求值：，其中．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x＝－1代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2－6x+9－x2+4x+x2－9 =x2－2x
　　将x=－1代入
原式=（－1）2 － 2×（－1）=3

17．（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）（9分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图．

（1）该班共有　 　名留守学生，B类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）已知该校共有2400名学生，现学校打算对D类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？
【答案】（1）10，144；（2）详见解析；（3）96
【解析】
【分析】
（1）依据C类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据B类型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数；
（2）依据D类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整；
（3）依据D类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益．
【详解】解：（1）2÷20%＝10（人），
×100%×360°＝144°，
故答案为10，144；
（2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人），
如图所示：

（3）2400××20%＝96（人），
答：估计该校将有96名留守学生在此关爱活动中受益．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
18.（2020年河南省郑州市省实验中学九年级第三次模拟考试数学试题）（9分）如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．


（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①10；②
【解析】
【分析】
（1）连接OD，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）①利用等腰三角形的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到，再用勾股定理求出OE，从而得到BC；
②添加条件，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，再加上一个直角就是正方形了．
【详解】解：（1）证明：如图，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，OD是半径，
∴DE是切线；


（2）①证明：∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即E是AC中点，
∵O是AB中点，
∴，
在中，，
∴BC=2OE=10，
故答案是：10；
②当时，四边形AODE正方形，
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
由（2）得AO=AE，
∵AO=DO=AE=DE，
∴四边形AODE是菱形，
∵，
∴四边形AODE是正方形，
故答案是：．
【点睛】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理并结合题目条件进行证明．
19．（2020年河南省平顶山市九年级中招二模数学试题）（9分）某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角是，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角是，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点在一条直线上，试求小明与楼BE间的水平距离AE，（结果保留整数），，，．

【答案】347米
【解析】
【分析】
过点B作于点G，解直角三角形BCG得BG=218米，解直角三角形ACD得AD=565米，再根据求得结果即可．
【详解】过点B作于点G，如图，

易知四边形BEDG是矩形．所以BG=ED，BE=GD．
在中，（米）
所以（米）
在△CAD中，
（米）
（米）
答：小明与楼BE间的水平距离AE为347米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
20．（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）（9分）如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点．点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）6；（3）存在，点的坐标为．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，BD即可解决问题．
（3）设B，由平行四边形的性质可得，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得B点坐标．
【详解】（1）将代入得：
，解得：
∴反比例函数的表达式为（x＞0）．
（2）∵过作轴，点，
∴
∴
∵
∴
当时，，
即点坐标为．
∵轴
∴．
设直线的表达式为
将、代入得：，解得：
∴直线的表达式为
当时，，解得：，即点坐标为
∴
∴
（3）存在
设点坐标为，则点坐标为
∴，
∵过作轴，点，
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∴
∵，
∴
∴，即
解得：
∴点的坐标为．

【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想等知识．在（1）中用待定系数法，在（3）中由平行四边形的性质得到相似三角形，从而得到关于a的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
21．（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）（10分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w=（x-20-a）（-10x+500）=-10x2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a≤38，则当时，取得最大值，解方程得到a1=2，a2=58，于是得到a=2．
【详解】解：（1）根据题意得，；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元．

对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a ≤38，
则当时，取得最大值，
∴
∴（不合题意舍去），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
22．（2020年河南省濮阳市九年级下学期6月模拟数学试题）（10分）在中，，．点是平面内不与，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点，点是的中点．

（1）问题发现,如图1，当时，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ；
（2）类比探究，如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；
（3）解决问题，如图3，当时，若点是的中点，点在直线上，，请直接写出点，，在同一条直线上时的长．
【答案】（1），60；（2），直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数为30°；（3）PD的长为2－2，或2+2
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．证明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图设MN交AC于F，延长MN交PC于E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP＝∠AMN，可得结论．
（3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．

∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵AP＝AD，
∴△PAC≌△DAB（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵AN＝ND，AM＝BM，
∴BD＝2MN，
∴＝．
∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，
∴∠CKG＝∠BAG＝60°，
∴BK与PC的较小的夹角为60°，
∵MN∥BK，
∴MN与PC较小的夹角为60°．
故答案为，60°．
（2），直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数为30°
如图设MN交AC于F，延长MN交PC于E．

∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，
∴△PAD∽△CAB，
∴
∵AM＝MB，AN＝ND，
∴
∴△ACP∽△AMN，
∴∠ACP＝∠AMN，
∵∠CFE＝∠AFM，
∴∠FEC＝∠FAM＝30°．
（3）PD的长为2－2，或2+2
由题意可知MN＝，
∴PC＝2
∵ME是△ABC的中位线，∠ACB＝90°，
∴ME是线段BC的中垂线，
∴PB＝PC＝2，
∵MN是△ADB的中位线，
∴DB＝2MN＝2，
如图3﹣1中，当点P在线段BD上时，PD＝DB﹣PB＝（2﹣）×=2－2，

如图3﹣2中，PD＝DB+PB＝（2+）×=2+2，
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（2020年河南省洛阳市第二外国语学校中考数学二模试题）（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标；
（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣；（2）(2，4)或(，)；（3），Q(，)
【解析】
【分析】
（1）根据题意直接利用待定系数法进行分析解答即可；
（2）由题意根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可；
（3）根据题意先利用待定系数法计算AC和FQ的解析式，因为Q是FQ与BC的交点，列方程组可得Q的横坐标，从而可以得G的坐标，根据两点的距离公式可得FG2，利用二次函数的最值可得结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣；
（2）如图1，

令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，
∵∠BOC＝∠PDE＝90°，
∵，
∴当△PDE和△BOC相似时，
∴＝或，
∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，
①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，
4m2﹣﹣8m＝0，
m＝0（舍）或2，
∴P（2，4），
②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，
解得：m＝0（舍）或，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；
（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），
同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，

设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，
∵FQ⊥AC，
∴kFQ＝﹣＝﹣，
同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，
则，解得：x＝﹣t，
∴G（﹣t，0），
∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，
∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，
∴FG的最小值是，
此时Q（，）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键，第三问表示F和G的坐标，根据两点的距离得出FG的长是解题的关键．