2021年江苏省泰州市中考数学适应性试卷

这是一份2021年江苏省泰州市中考数学适应性试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a2•a3＝a6
C．（a+1）2＝a2+1D．a2+a2＝2a4
3．（3分）始于唐代的青花瓷给人以古朴、典雅之美．关于如图所示的青花瓷图案，下列说法正确的是（ ）
A．它是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．它是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．它既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．它既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
4．（3分）截止2021年2月3日，“天问一号”火星探测器飞行总里程已超过450 000 000km．将450 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．45×107B．45×108C．4.5×107D．4.5×108
5．（3分）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．
下列推断不正确的是（ ）
A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组
B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组
C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组
D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组
6．（3分）已知反比例函数y＝，点A（m，y1），B（m+2，y2）是函数图象上两点，且满足，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
7．（3分）计算：＝ ．
8．（3分）函数中，自变量x的取值范围为 ．
9．（3分）已知x+2y＝2，则1﹣2x﹣4y的值等于 ．
10．（3分）命题“若ac＝bc，则a＝b”是 命题．（填“真”或“假”）
11．（3分）某批篮球的质量检验结果如下：
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 ．（精确到0.01）
12．（3分）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是 ．（黄金比为0.618）
13．（3分）如图，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，则∠BED＝ ．
14．（3分）小明用彩纸给爸爸做一顶生日帽，其左视图和俯视图如图所示，其中AB＝24cm，AC＝36cm，则至少需用彩纸 cm2（接口处重叠面积不计）．
15．（3分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝ ．
16．（3分）如图，已知⊙O的半径为m，点C在直径AB延长线上，BC＝m．在过点C的任一直线l上总存在点P，使过P的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：cs30°﹣+（﹣1）﹣1；
（2）解不等式组，并写出不等式组的正整数解．
18．（8分）袋中有1个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．小明做摸球实验：他搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1球．像这样连续摸两次算一次实验．若摸出红球得2分，摸出黑球得1分．
（1）求两次摸球所得总分是4分的概率；
（2）若要使每次摸球实验所得总分不少于3分，如何改变袋中球的情况？
19．（8分）新华网2020年12月31日消息：2020年11月，国内汽车市场加快复苏，新能源汽车11月销量为20万辆，同比增长104.9%；1～11月累计销量110.9万辆，同比增长3.9%．2019年我国新能源汽车销量达120.6万辆，产业规模连续五年居世界首位（2013～2019年中国新能源汽车销量及市场占比如图所示）．
（1）求2019年汽车市场总量，并估计2013～2019年中国能源汽车市场年平均占比；
（2）能否求出2013～2020年新能源汽车市场销售总量？请说明理由．
20．（10分）如图，∠ABD＝∠CDB＝90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF．
（1）写出作图步骤，保留作图痕迹；
（2）若∠BEP的正切值为，求BP：PD．（图②供问题（2）用）
21．（10分）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论；
（2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．
（2）在（1）的情况下，若AC＝6，BC＝8，求CE的长．
23．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m＞1，n＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，以OA为半径的⊙O为与线段AB相交于点P，与x轴的正半轴相交于点C，与y轴的负半轴相交于点D．PD交AC于点Q．
（1）若m＝，求∠BDP的度数；
（2）试说明的值与n无关．
24．（10分）货车长方体货厢的净高BC为2.5m，底部B离地面的高度BD为1.2m．现欲将高为2m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为i＝1：3的坡面AB．
（1）若货物从如图所示的位置升高0.5m，则水平移动了多少？
（2）由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻松平放进货厢．请问能否达到目的？为什么？
25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+ax+b（a、b为常数）的顶点为C，与直线y＝kx﹣k+h（k、h为常数）相交于A、B两点．当k＝3、h＝6时，点A、B恰好分别在x轴、y轴上．
（1）求a、b的值；
（2）作y轴的平行线，与线段AB和抛物线的交点纵坐标分别为y1、y2．试比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数h，使△ABC为直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”．如图1﹣①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E、F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”．
（1）如图1﹣②，在内直径为6m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为 m．
（2）矩形大厅ABCD的宽AB为20m，长AD为40m，四壁都是垂直于地面的平面．在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE、PF与被投射面相交于点E、F，PF在PE关于点P的逆时针方向上．
①如图1﹣③，若光源P到点A的水平距离为10m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；
②如图1﹣④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由．
2021年江苏省泰州市中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a2•a3＝a6
C．（a+1）2＝a2+1D．a2+a2＝2a4
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得．
【解答】解：A、（a2）2＝a4，正确；
B、a2•a3＝a5，错误；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，错误；
D、a2+a2＝2a2，错误；
故选：A．
3．（3分）始于唐代的青花瓷给人以古朴、典雅之美．关于如图所示的青花瓷图案，下列说法正确的是（ ）
A．它是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．它是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．它既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．它既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：如图所示的青花瓷图案，它是轴对称图形，但不是中心对称图形．
故选：B．
4．（3分）截止2021年2月3日，“天问一号”火星探测器飞行总里程已超过450 000 000km．将450 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．45×107B．45×108C．4.5×107D．4.5×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：450000000＝4.5×108．
故选：D．
5．（3分）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．
下列推断不正确的是（ ）
A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组
B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组
C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组
D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组
【分析】结合图象，依次判断，利用排除法可求解．
【解答】解：
由图象可得：A组的客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A选项不合题意；
由图象可得：A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，
故B选项不合题意；
由图象可得：这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的从大到小排序，第10位，第11位都在B组，故选项D不合题意；
故选项C符合题意，
故选：C．
6．（3分）已知反比例函数y＝，点A（m，y1），B（m+2，y2）是函数图象上两点，且满足，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题意可以用含k的式子表示出y1和y2，然后根据，即可求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝，点A（m，y1），B（m+2，y2）是函数图象上两点，
∴y1＝，y2＝，
∵，
∴，
解得，k＝4，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
7．（3分）计算：＝ 2 ．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案为：2．
8．（3分）函数中，自变量x的取值范围为 x≥4 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案是：x≥4．
9．（3分）已知x+2y＝2，则1﹣2x﹣4y的值等于 ﹣3 ．
【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+2y＝2，
∴原式＝1﹣2（x+2y）＝1﹣4＝﹣3，
故答案为：﹣3
10．（3分）命题“若ac＝bc，则a＝b”是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据等式的性质判断即可．
【解答】解：当c＝0时，若ac＝bc，则a不一定等于b，原命题是假命题；
故答案为：假．
11．（3分）某批篮球的质量检验结果如下：
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 0.94 ．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.94．
【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．
故答案为0.94．
12．（3分）2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果．地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家．那么黄金地带纬度的范围是 34.38°～55.62° ．（黄金比为0.618）
【分析】用90°×0.618，可得结论．
【解答】解：90°×0.618＝55.62°，
90°﹣55.62°＝34.38°，
∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°．
故答案为：34.38°～55.62°
13．（3分）如图，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，则∠BED＝ 90° ．
【分析】过E作EF∥AB，可得AB∥CD∥EF，进而得到∠B+∠D＝∠BED，再根据∠B+∠D+∠BED＝180°，即可得出∠BED＝90°．
【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BED，
又∵∠B+∠D+∠BED＝180°，
∴∠BED＝90°，
故答案为：90°．
14．（3分）小明用彩纸给爸爸做一顶生日帽，其左视图和俯视图如图所示，其中AB＝24cm，AC＝36cm，则至少需用彩纸 432π cm2（接口处重叠面积不计）．
【分析】生日帽可看作一个无底面的圆锥体，根据左视图和俯视图，可知底面圆的直径为24cm，母线长36cm，根据圆锥的侧面积公式列式计算即可．
【解答】解：由题意可得，所需彩纸至少需要π×12×36＝432π（cm2），
故答案为：432π．
15．（3分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝ 8 ．
【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD＝90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′′＝60°，
∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．
∵点B′的坐标为（1，），
∴OD＝1，B′D＝，
∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，
∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，
∴A（4，2），
∴k＝4×2＝8．
故答案为：8．
16．（3分）如图，已知⊙O的半径为m，点C在直径AB延长线上，BC＝m．在过点C的任一直线l上总存在点P，使过P的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于 45° ．
【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得OP＝m，以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．
【解答】解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，
∴∠MON＝90°，
∴四边形PMON是正方形，
根据勾股定理求得OP＝m，
∴P点在以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，
以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，
∵PC是大圆⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∵OC＝2m，OP＝m，
∴PC＝＝m，
∴OP＝PC，
∴∠ACP＝45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，
故答案为45°．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：cs30°﹣+（﹣1）﹣1；
（2）解不等式组，并写出不等式组的正整数解．
【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
（2）求出每个不等式的解集，即可得出结论．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣1﹣1
＝3﹣1﹣1
＝1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴正整数解为1，2．
18．（8分）袋中有1个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．小明做摸球实验：他搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1球．像这样连续摸两次算一次实验．若摸出红球得2分，摸出黑球得1分．
（1）求两次摸球所得总分是4分的概率；
（2）若要使每次摸球实验所得总分不少于3分，如何改变袋中球的情况？
【分析】（1）画树状图，共有9个等可能的结果，两次摸球所得总分是4分的结果有1个，再由概率公式求解即可；
（2）由题意即可得出结论．
【解答】解：（1）树状图如图所示：
共有9个等可能的结果，两次摸球所得总分是4分的结果有1个，
∴两次摸球所得总分是4分的概率为；
（2）要使每次摸球实验所得总分不少于3分，将袋中的球改为2个红球和1个黑球即可．
19．（8分）新华网2020年12月31日消息：2020年11月，国内汽车市场加快复苏，新能源汽车11月销量为20万辆，同比增长104.9%；1～11月累计销量110.9万辆，同比增长3.9%．2019年我国新能源汽车销量达120.6万辆，产业规模连续五年居世界首位（2013～2019年中国新能源汽车销量及市场占比如图所示）．
（1）求2019年汽车市场总量，并估计2013～2019年中国能源汽车市场年平均占比；
（2）能否求出2013～2020年新能源汽车市场销售总量？请说明理由．
【分析】（1）根据折线图，用2019年新能源汽车销量除以市场占比得出2019年汽车市场总量，根据平均数的定义求出2013～2019年中国能源汽车市场年平均占比即可；
（2）根据2020年12月的销量未知，即可得出不能求出2013～2020年新能源汽车市场销售总量．
【解答】解：（1）120.6÷4.7%≈2566（辆），
（0.1+0.3+1.3+1.8+2.7+4.5+4.7）÷7＝2.2．
故2019年汽车市场总量约为2566辆，估计2013～2019年中国能源汽车市场年平均占比为2.2%；
（2）因为2020年12月的销量未知，
故不能求出2013～2020年新能源汽车市场销售总量．
20．（10分）如图，∠ABD＝∠CDB＝90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF．
（1）写出作图步骤，保留作图痕迹；
（2）若∠BEP的正切值为，求BP：PD．（图②供问题（2）用）
【分析】（1）根据要求写出步骤即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F；
②以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作；
（2）连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP＝x，PD＝y，
∴FD＝DB＝x+y．
∵∠EGF＝∠EFP＝∠D＝90°，
∴∠EFG+∠PFD＝90°，∠PFD+∠DPF＝90°，
∴∠EFG＝∠DPF，
∵EF＝FP，
∴△EGF≌△FDP，
∴GF＝DP＝y，
∴EB＝GD＝x+2y，
在Rt△EBP中，tan∠BEP＝＝＝，
∴x：y＝3：1，即BP：PD＝3：1．
21．（10分）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论；
（2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？
【分析】（1）设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克，则原浓度为，加盐后的浓度为，二者做差后即可证出结论；
（2）用蒸发的方法，设蒸发x克水，根据要使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】（1）证明：设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克，
则原浓度为，加盐后的浓度为，
∴＝＝＞0，
故加盐后浓度变大．
（2）解：用蒸发的方法，设蒸发x克水，
依意题得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：蒸发掉20克的水即可达到要求．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① （只要填写序号）．
（2）在（1）的情况下，若AC＝6，BC＝8，求CE的长．
【分析】（1）以②③为条件，蝴蝶型三角形CEF和BDF，可通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF＝∠CBE．
（2）作EH⊥AB于H，由角平分线性质可得EH＝EC，再通过勾股定理求直角三角形中EH的长度．
【解答】解：（1）②③，①．
证明如下：∵∠CFE＝∠CEF．∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
（2）作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，∠C＝∠EHB＝90°，∴EH＝EC．
在Rt△ABC中求得AB＝10．设CE＝HE＝x．
方法1：由△AEH∽△ABC有，
∴，解得．
方法2：由S△ABC＝S△AEB+S△CEB有＝+，
即＝+，解得．
方法3：∵EC＝EH，BE＝BE，
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），
∴BH＝BC＝8，AH＝10﹣8＝2，
∴AH2+EH2＝AE2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得x＝．
∴CE＝．
23．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m＞1，n＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，以OA为半径的⊙O为与线段AB相交于点P，与x轴的正半轴相交于点C，与y轴的负半轴相交于点D．PD交AC于点Q．
（1）若m＝，求∠BDP的度数；
（2）试说明的值与n无关．
【分析】（1）先求出一次函数与x轴和y轴交点的坐标，从而求出OA和OB的长度，进而求出∠BAO的正切值和∠BAO的度数，最后利用等腰三角形的性质求得答案；
（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠APO和∠CPD的度数，从而得到PD是角平分线，利用角平分线的性质以及三角形的面积公式可以证明的值等于tan∠BAO，由（1）可知tan∠BAO＝m，从而证明的值与n无关．
【解答】解：（1）如图1所示，连接OP，
在函数y＝mx+n中，
令x＝0，得y＝n，
令y＝0，得x＝，
∴A（，0），B（0，n），
∴OA＝，OB＝n，
∴tan∠BAO＝＝，
又∵m＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
又∵OP＝OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠DOP＝90°+60°＝150°，
又∵OP＝OD，
∴∠BDP＝．
（2）如图2，过点Q分别作QE⊥AB，QF⊥PC，E、F为垂足，过点P作PH⊥AC于点H，
∵∠APD＝∠AOD＝45°，∠CPD＝∠COD＝45°，
∴∠APD＝∠CPD，
∴PD平分∠APC，
∴QE＝QF，
∴，
∴＝tan∠BAO，
由（1）可知，tan∠BAO＝m，
∴，
∴的值与n无关．
24．（10分）货车长方体货厢的净高BC为2.5m，底部B离地面的高度BD为1.2m．现欲将高为2m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为i＝1：3的坡面AB．
（1）若货物从如图所示的位置升高0.5m，则水平移动了多少？
（2）由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻松平放进货厢．请问能否达到目的？为什么？
【分析】（1）设水平移动了xm，由i＝1：3，得＝，解得x＝1.5即可；
（2）当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，求得EH＝＜2.5，说明货物的E点碰不到货厢顶部，故工人师傅能达到目的．
【解答】解：（1）设水平移动了xm，
∵i＝1：3，
∴＝，
解得：x＝1.5，
∴货物从如图所示的位置升高0.5m，水平移动了1.5m；
（2）能达到目的，理由如下：
当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，交BF于I，过点G作GT⊥BF于T，如图所示：
此时点E到货厢底部的垂线最长，GT＝FT＝EF＝1（m），
∵货厢底部与地面平行，
∴EH∥CD，
∴∠IHT＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠IHB＝90°，
∴∠IBH＝∠BAD，
∵∠BIH＝∠EIF，∠IHB＝∠EFI＝90°，
∴∠FEI＝∠IBH＝∠BAD，
∵tan∠BAD＝，
∴＝，
∴FI＝EF＝（m），
∴EI＝＝＝（m），
∵∠ABD＝∠GBT，∠BDA＝∠GTB＝90°，
∴∠BGT＝∠BAD，
∴＝，
∴BT＝GT＝（m），
∴BF＝FT+BT＝1+＝（m），
∴BI＝BF﹣FI＝﹣＝（m），
∵＝，
∴IH2+（3IH）2＝BI2，
∴10IH2＝（）2，
∴IH＝（m），
∴EH＝EI+IH＝+＝（m），
∵＜2.5，
∴货物的E点碰不到货厢顶部，
∴工人师傅能达到目的．
25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+ax+b（a、b为常数）的顶点为C，与直线y＝kx﹣k+h（k、h为常数）相交于A、B两点．当k＝3、h＝6时，点A、B恰好分别在x轴、y轴上．
（1）求a、b的值；
（2）作y轴的平行线，与线段AB和抛物线的交点纵坐标分别为y1、y2．试比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数h，使△ABC为直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当k＝3、h＝6时，利用直线解析式求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+ax+b中，求出a、b的值；
（2）两函数作差与0比较大小．作差：y＝（﹣x2+ax+b）﹣（kx﹣k+h）＝﹣x2+（a﹣k）x+（b+k﹣h）．根据函数与方程的关系，再结合图形就可以比较出y1与y2的大小了；
（3）利用一线三垂直相似模型和韦达定理就可以算出h的值．
【解答】解：（1）当k＝3、h＝6时，直线为y＝3x+3．
当x＝0时，y＝3，则B（0，3）；
当y＝0时，x＝﹣1，则A（﹣1，0）．
把A（﹣1，0）、B（0，3）代入y＝﹣x2+ax+b，
得：
解得：a＝2，b＝3，
故a、b的值分别为2和3．
（2）y2≥y1.理由如下：
设A（xA，yA），B（xB，yB）（不妨令xA＜xB）；平行y轴的线上点的横坐标为x0（xA≤x0≤xB）．
令y＝（﹣x2+2x+3）﹣（kx﹣k+h）＝﹣x2+（2﹣k）x+（3+k﹣h）．
当y＝0时，即：﹣x2+（2﹣k）x+（3+k﹣h）＝0的两个解分别为x＝xA和x＝xB．
由二次函数的交点式，可得：y＝﹣x2+（a﹣k）x+（b+k﹣h）＝﹣（x﹣xA）（x﹣xB）．
又∵xA≤x0≤xB，
∴y0＝﹣（x0﹣xA）（x0﹣xB）≥0，
即：y0＝y2﹣y1≥0，
故y2≥y1．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故C（1，4）．
连接AC、BC，过C作x轴的平行线EF，分别过A、B作y轴的平行线，与上述直线相交于点E、F（如图1）．
当∠ACB＝90°时，∵∠ACE+∠BCF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠E＝∠F，
∴△AEC∽CFB，
∴，
∴
∴，
即：，
∴（xA﹣1）（xB﹣1）＝﹣1，
∴xAxB﹣（xA+xB）+2＝0，
将y＝﹣x2+2x+3与y＝kx﹣k+h联列有x2+（k﹣2）x+h﹣k﹣3＝0，xA、xB为方程两根，
故xA+xB＝﹣（k﹣2），xAxB＝h﹣k﹣3，
∴h﹣k﹣3+k﹣2+2＝0，
∴h＝3．
当∠ABC＝90°时，连接AB、BC，过B作y轴的平行线MN，分别过C、A作x轴的平行线，与上述直线相交于点M、N（如图2）．
∵∠BCM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠ABN＝90°，
∴∠CBM＝∠ABN，
又∵∠M＝∠N，
∴△BCM∽△ABN，
∴，
即：
∵yB＝﹣（xB﹣1）2+4，（k≠0）
∴，
∴
又∵点B在直线AB上，
∴，
∴，
∴此种情况的h不是定值．
同理可得，当∠CAB＝90°时，h也不是定值．
综上所述，当实数h＝3时，△ABC一定为直角三角形．
26．（12分）点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”．如图1﹣①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E、F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”．
（1）如图1﹣②，在内直径为6m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为 2π m．
（2）矩形大厅ABCD的宽AB为20m，长AD为40m，四壁都是垂直于地面的平面．在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE、PF与被投射面相交于点E、F，PF在PE关于点P的逆时针方向上．
①如图1﹣③，若光源P到点A的水平距离为10m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；
②如图1﹣④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由．
【分析】（1）根据弧长公式直接求解．
（2）利用三角函数先求出AE＝，然后分别求出PH、BE的长度．
（3）构造全等三角形△PAE≌△PHF，将光带长转化为AB+BH．
【解答】解：（1）∵圆周角∠EPF＝60°，
∴所对的圆心角度数为：120°．
∴＝（m）．
∴“光带长”为2π．
（2）①过P作PG⊥BC于点G，过F作FH⊥AD于点H．
∵AP＝10m，∠APE＝30°，
∴在△AEP中tan∠APE＝，AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝20﹣，∠APE＝30°，∠EPF＝90°∴∠FPH＝180﹣∠APE﹣∠BPF＝60°
在△PHF中tan，PH＝．
∴，
∴“光带长”＝EB+BF＝20﹣＝30+．
②若光源P在墙面AD中点处时，“光带长”不变．分为3种情形：
当点E在边AB上时，点F在BC上（如图①），
此时“光带长”＝EB+BF．
易得△PAE≌△PHF，
所以HF＝AE，
∴“光带长”＝EB+BF＝EB+BH+HF＝AB+BH＝40m；
点E在边BC上时，点F在CD上（如图②），同理可得“光带长”＝40m；
当点E与B重合时点F恰好与点C重合，此时，“光带长”＝BC＝40m；
综上所述：无论∠EPF怎样运动，满足条件的“光带长”皆为40m．
抽取的篮球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品的频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
抽取的篮球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品的频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940