2023年江苏省泰州市中考数学试卷

这是一份2023年江苏省泰州市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）计算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
2．（3分）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若a≠0，下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a）0＝1 B．a6÷a3＝a2 C．a﹣1＝﹣a D．a6﹣a3＝a3
4．（3分）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　）
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
5．（3分）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（　　）
x
1
2
4
y
4
2
1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
6．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
8．（3分）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为 　 　．
9．（3分）两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为 　 　．
10．（3分）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 　 　．
11．（3分）半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 　 　cm．
12．（3分）七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh，则m　 　2.6．（填“＞”“＝”“＜”）
​

13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根之和为 　 　．
14．（3分）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 　 　.（填一个值即可）
15．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 　 　里．

16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）．
（2）解方程：＝2﹣．
18．（8分）如图是我国2019～2022年汽车销售情况统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的 　 　%（精确到1%）；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是 　 　年；
（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
19．（8分）某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．
20．（8分）如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且 　 　，　 　，则 　 　．
给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB＝AE；③BC＝DE．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

21．（10分）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…​
​任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 　 　；
（2）3种方法都运用了 　 　的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论
B．转化思想
C．特殊到一般
D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
22．（10分）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）

23．（10分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？

24．（10分）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD＝AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
（1）请你证明游戏1中发现的结论；
（2）请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．

26．（14分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
​
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．

2023年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）计算等于（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．（3分）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）若a≠0，下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a）0＝1 B．a6÷a3＝a2 C．a﹣1＝﹣a D．a6﹣a3＝a3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（﹣a）0＝1（a≠0），故此选项符合题意；
B．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
C．a﹣1＝，故此选项不合题意；
D．a6与a3无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　）
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【分析】根据频率的稳定性解答即可．
【解答】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5．（3分）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（　　）
x
1
2
4
y
4
2
1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【解答】解：A、若直线y＝ax+b过点（1，4），（2，2），则，
解得，
所以y＝﹣2x+6，
当x＝4时，y＝﹣2，故（4，1）没在直线y＝ax+b上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，a＝4＞0，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入y＝ax2+bx+c得，
解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点评】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD'与CE的长，再根据重叠部分的面积＝△ABC的面积﹣△D'EC的面积求解即可．
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3﹣．
【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，
∴DO＝1，AO＝DO＝，
∴AC＝2，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，
∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，
∴A，D'，C三点共线，
∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2，
又∵∠ACB＝30°，
∴D'E＝﹣1，
CE＝D'E＝3﹣，
∵重叠部分的面积＝△ABC的面积﹣△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积＝×＝3﹣；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
8．（3分）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为 　2.8×10﹣9　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000028＝2.8×10﹣9．
故答案为：2.8×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（3分）两个相似图形的周长比为3：2，则面积比为 　9：4　．
【分析】由两个相似图形，其周长之比为3：2，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似图形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故答案为：9：4．
【点评】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10．（3分）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 　﹣6　．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：2（2a+b）﹣4b
＝4a+2b﹣4b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b），
∵2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
11．（3分）半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 　2π　cm．
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm的圆周长的五分之一即可．
【解答】解：由题意得，半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm的圆周长的五分之一，
所以×2×π×5＝2π（cm），
故答案为：2π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12．（3分）七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh，则m　＜　2.6．（填“＞”“＝”“＜”）
​

【分析】根据中位数的意义解答即可．
【解答】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第1﹣5组的人数分别为5，7，12，9，7，
所以第20、21个数据都在第3组，即2.0～2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，
故答案为：＜．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根之和为 　﹣2　．
【分析】利用根于系数的关系进行求值．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
x1+x2＝﹣＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系．
14．（3分）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 　﹣3（答案不唯一）　.（填一个值即可）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，
即二元一次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，
∵一次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，
∴x1，x2为异号，
∴n＜0，
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
15．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 　9　里．

【分析】由AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC＝＝12，由tanA＝＝，求出OD＝4.5（里），即可得到答案．
【解答】解：如图，⊙O表示圆形城堡，
由题意知：AB切圆于D，BC切圆于C，连接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，
∵AD＝6里，
∴AB＝AD+BD＝15里，
∴AC＝＝12，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴OD＝4.5（里）．
∴城堡的外围直径为2OD＝9（里）．
故答案为：9．

【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到＝，求出OD长即可．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　22.5°或67.5°或45°　．

【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，
分三种情况：
当A′D＝A′E时，如图：

∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°；
当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图：

∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°；
当DA′＝DE时，
∴∠A′＝∠DEA′＝30°，
∵∠DEA′是△ACE的一个外角，
∴∠DEA′＞30°，
∴此种情况不成立；
当ED＝EA′时，如图：

∴∠EDA′＝∠A′＝30°，
∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°，
∵∠A′ED是△ACE的一个外角，
∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°；
综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°，
故答案为：22.5°或67.5°或45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）．
（2）解方程：＝2﹣．
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
（2）方程两边都乘2x﹣1得出x＝2（2x﹣1）+3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）
＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣9y2）
＝x2+6xy+9y2﹣x2+9y2
＝6xy+18y2；

（2）＝2﹣，
方程两边都乘2x﹣1，得x＝2（2x﹣1）+3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2x﹣1≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣．
【点评】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
18．（8分）如图是我国2019～2022年汽车销售情况统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的 　26　%（精确到1%）；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是 　2022　年；
（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【分析】（1）将图中数据分别计算2019～2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；
（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
【解答】解：（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：×100%≈26%，
2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：×100%≈13%，
2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：×100%≈5%，
2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：×100%≈5%，
∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．
故答案为：26，2022年；
（2）不同意．理由如下：
2022年新能源汽车销售量的增长率为：×100%≈96%，
2021年新能源汽车销售量的增长率为：×100%≈157%，
∴2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．
【点评】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19．（8分）某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．
【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
20．（8分）如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且 　②　，　③　，则 　①　．
给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB＝AE；③BC＝DE．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

【分析】（1）根据题意补全图形，连接AC、AD；
（2）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC＝AD，在求证三角形全等得出角相等，求得∠BAM＝∠EAM，进而得出结论AM平分∠BAE；
（3）根据三边相等得出△ACM≌△ADM，进而得出∠CAM＝∠DAM，再根据AM平分∠BAE可得出∠BAC＝∠EAD，在依据两边及其夹角相等求得△ABC≌△AED，最后得出BC＝DE．
【解答】证明：根据题意补全图形并连接AC、AD，如图所示：

（1）且②③则①：
∵AM垂直平分CD，
∴CM＝DM，AC＝AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在△ACM与△ADM中，
，
∴△ACM≌△ADM（SSS），
∴∠CAM＝∠DAM，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SSS），
∴∠BAC＝∠EAD，
又∵∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAC+∠CAM＝∠EAD+∠DAM，
即∠BAM＝∠EAM＝∠BAE，
∴AM平分∠BAE．
（2）且①②则③：
∵AM垂直平分CD，
∴CM＝DM，AC＝AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在△ACM与△ADM中，
，
∴△ACM≌△ADM（SSS），
∴∠CAM＝∠DAM，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠EAM，
又∵∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAM﹣∠CAM＝∠EAM﹣∠DAM，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC与△AED中，

∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC＝DE．
故答案为：②③①或①②③．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及判定、线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21．（10分）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝3，可得函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可变形为x2＜x+6，问题转化为研究函数y＝x2与y＝x+6的图象关系．画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是﹣2、3；y＝x2的图象在y＝x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．问题转化为研究函数y＝x﹣1与y＝的图象关系…​
​任务：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集为 　﹣2＜x＜3　；
（2）3种方法都运用了 　D　的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A．分类讨论
B．转化思想
C．特殊到一般
D．数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
【分析】（1）利用题干中的方法1，画出函数的图象，观察图象解答即可；
（2）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
（3）画出函数y＝x﹣1和函数y＝的大致图象，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0，
得x1＝﹣2，x2＝3，
∴函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2、3，
画出二次函数y＝x2﹣x﹣6的大致图象（如图所示），

由图象可知：当﹣2＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣x﹣6＜0．
所以不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
故答案为：﹣2＜x＜3；
（2）上述3种方法都运用了数形结合思想，
故答案为：D；
（3）当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x﹣1＜；当x＜0时，不等式变为x﹣1＞．
画出函数y＝x﹣1和函数y＝的大致图象如图：

当x＞0时，不等式x﹣1＜的解集为0＜x＜3；当x＜0时，不等式x﹣1＞的解集为﹣2＜x＜0，
∵当x＝0时，不等式x2﹣x﹣6＜0一定成立，
∴不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为：﹣2＜x＜3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
22．（10分）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【分析】过B作BH⊥AE于H，设BH＝4xm，AH＝3xm，根据勾股定理得到AB＝＝5x＝10m，求得AH＝6m，BH＝8m，过B作BF⊥CE于F，则EF＝BH＝8mm，BF＝EH，设DF＝am，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥AE于H，
∵坡度i为1：0.75，
∴设BH＝4xm，AH＝3xm，
∴AB＝＝5x＝10m，
∴x＝2，
∴AH＝6m，BH＝8m，
过B作BF⊥CE于F，
则EF＝BH＝8，BF＝EH，
设DF＝am，
∵α＝26°35′．
∴BF＝＝＝2a，
∴AE＝6+2a，
∵坡度i为1：0.75，
∴CE：AE＝（20+a+8）：（6+2a）＝1：0.75，
∴a＝12，
∴DF＝12（米），
∴DE＝DF+EF＝12+8＝20（米），
答：堤坝高为8米，山高DE为20米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角，解直角三角形的应用﹣坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售800千克时利润为多少元？
（2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？

【分析】（1）用销售量×利润计算即可；
（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据（2）中解析式，令y＝22100，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000，
∴当一次性销售800千克时利润为16000元；
（2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，
∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000x）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，
∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750，
∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500，
∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元；
（3）①当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元，
∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100，
解得x1＝1700，x2＝1300；
②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售，
设此时函数解析式为y＝kx，
由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝21875，
∴B（1750，21875），
把B的坐标代入解析式得：21875＝1750k，
解得k＝12.5，
∴当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y＝12.5x，
当y＝22100时，则22100＝12.5x，
解得x＝1768
综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意确定二次函数解析式．
24．（10分）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD＝AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
（1）请你证明游戏1中发现的结论；
（2）请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．

【分析】（1）由折叠的性质可得AF⊥BD，根据题意可得∠BAG＝∠ADB＝∠GBF，再设AB＝a，然后表示出AD、BD，再由锐角三角函数求出BF即可；
（2）由折叠的性质可知∠GBH＝∠FBH，BF＝HF，从而可得出∠GBH＝∠BHF，进而得到BD∥HF，∠DGH＝∠GHF，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在Rt△GFH中求出∠GHF的正切值即可解答．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得AF⊥BD，
∴∠AGB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠BAG＝∠ADB＝∠GBF，
∵AD＝AB，
设AB＝a，则AD＝a，BD＝a，
∴sin∠BAG＝sin∠ADB，
即，
∴，
解得BG＝，
根据勾股定理可得AG＝a，
cos∠GBF＝cos∠BAG，
即，
∴．
解得BF＝a，
∵BC＝AD＝a，
∴BF＝BC，
∴点F为BC的中点．
（2）解：∠AGH＝120°，理由如下：
连接HF，如图：

由折叠的性质可知∠GBH＝∠FBH，BF＝HF，
∴∠GBH＝∠FBH，∠FBH＝∠FHB，
∴∠GBH＝∠BHF，
∴BD∥HF，
∴∠DGH＝∠GHF，
由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，
∴∠AGD＝90°，
设AB＝a，则AD＝a＝BC，BF＝HF＝a，
∴BG＝，
∴GF＝a，
在Rt△GFH中，tan∠GHF＝＝＝，
∴∠GHF＝30°，
∴∠DGH＝30°，
∴∠AGH＝∠AGD+∠DGH＝90°+30°＝120°．
【点评】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）、B（m﹣a，0）（a＞m＞0）的位置和函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＜0）的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y1的图象相交于点E，CD边与函数y1、y2的图象分别相交于点G、H，一次函数y3的图象经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
（1）若m＝2，a＝4，求函数y3的表达式及△PGH的面积；
（2）当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．

【分析】（1）先确定E、G两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数y3的表达式，进而求出点P的坐标，结合H点求△PGH的面积；
（2）按（1）的思路求解；
（3）用a，m表示直线PH与BC边的交点，验证是否在函数y2的图象上．
【解答】（1）∵m＝2，a＝4，
∴点A（2，0），B（﹣2，0），y1＝，y2＝，
∴点E（2，1），G（，4），H（﹣，4），
∵一次函数y3的图象经过点E、G，
∴设y3＝kx+b，则
，
∴，
∴函数y3的表达式为y3＝﹣2x+5，
∴P（0，5），
∴PM＝OP﹣OM＝1，
∴S△PGH＝×HG×PM＝×1×1＝．
（2）∵点A（m，0），B（m﹣a，0），y1＝，y2＝，
∴点E（m，1），G（，a），H（，a），
设y3＝k1x+b1，则
，
∴b1＝a+1，
∴P（0，a+1），
∴PM＝OP﹣OM＝1，
∴S△PGH＝×HG×PM＝×（）×1＝．
∴当a、m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积不变化．
（3）设直线PH与BC边的交点为N，设直线PH为y＝k2x+a+1，代入H（，a），得+a+1＝a，
∴k2＝，
∴y＝x+a+1，
当x＝m﹣a时，y＝1，
∴N（m﹣a，1），
∴点N在y2＝（x＜0）的图象上．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
26．（14分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
​
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【分析】（1）①根据∠AOB+∠C＝135°，结合圆周角定理求∠C的度数；
②构造直角三角形；
（2）只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；
（3）根据CD＝CB﹣CA，构造一条线段等于CB﹣CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．
【解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C，
∴3∠C＝135°，
∴∠C＝45°．
②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，
∵∠C＝45°，AC＝8，
∴△ACM是等腰直角三角形，且AM＝CM＝4，
∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝5，
在直角三角形ABM中，BM＝＝3，
∴BC＝CM+BM＝4+3＝7．

（2）延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，
∵∠APB＝2∠C，
∴∠APB＝2∠N，
∵∠APB＝∠N+∠PBN，
∴∠N＝∠PBN，
∴PN＝PB，
∵PA＝PB，
∴PA＝PB＝PN，
∴P为该圆的圆心．

（3）过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，
∵∠APB＝90°，
∴∠C＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝BC，
∵BP⊥AF，PA＝PF，
∴BA＝BF，
∵AF是直径，
∴∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF＝90°，
∴∠EBA＝∠CBF，
∴△EBA≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CD＝CB﹣CA＝CE﹣CA＝AE，
∴CD＝CF，
∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．
．
【点评】本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于CB﹣CA是关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/21 21:22:57；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.com；学号：39221433