2021年中考数学模拟试题及答案(2)

2021年中考模拟题

数　学　试　卷（二）

*考试时间120分钟　试卷满分150分

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）

1．“比a的大2的数”用代数式表示是（      ）

    A.  a＋2      B.  a＋2    C.  a +2       D.  a－2

2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（      ）

A．2，3，4　　　B．5，5，6　　　　C．8，15，17　　　D．9，12，13

3．计算的结果是（     ）

A．2     B．  C．1    D．

4．已知⊙O1的半径为8cm，⊙O2的半径R为2cm，两圆的圆心距O1O2为6cm，则这两圆的位置关系是（    ）

    A．相交      　　 Ｂ．内含           Ｃ．内切            Ｄ．外切

5．甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍．如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可以列方程组（   ）．

Ａ．   Ｂ．    Ｃ．   Ｄ．

6．如图△AOB中，∠AOB＝120°，BD，AC是两条高，连接CD，若AB＝4，则DC的长为（　　　）

A．　　　　　B．2　　　　　C．　　　　　　D．

7． 若3ａ＋2ｂ＝2，则直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ一定经过点（　　）

A．（0，2）　　　B．（3，2）　　　　C．（－，2）　　　　D．（，1）

8． 若函数y ＝ 的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是

 A．c＜1         　 B．c＝1       　 C．c＞1                D．c≤1

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．若和互为相反数，则＝___________。

10．以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为_________.

11．一项工程，甲独做需12小时完成，若甲、乙合做需4小时完成，则乙独做需          小时完成。

12．三角形的两边长为2cm和2cm，则这个三角形面积的最大值为_____________cm2.

13．如图，已知平行四边形ABCD 中， ∠BCD的平分线 交边AD于E ，∠ABC的平分线交AD于F．若AB＝8，AE＝3，则DF＝　　　　　　．

14． 如图，△ABC中，D为BC边上一点，∠BAD＝∠C，

AD∶AC＝3∶5，　△ABC的面积为25，则△ACD的面积为　　　．

15． 如图，直线ｙ＝－ｘ＋2与ｘ轴相交于点A，与ｙ轴相交于点B，将△ABO沿着AB翻折，得到△ABC，

则点C的坐标为　　　　　．

16．如图，AB是半圆⊙O的直径，半径OC⊥AB，⊙O的直径是OC，AD切⊙O于D，交OC的延长线于E．设⊙O的半径为r，那么用含r的代数式表示DE，结果是DE＝                

三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）

17．先化简，再求值

（2ａ＋3）（ａ－1）－

18．解不等式组 

并把不等式的解集在数轴上表示出来

19．如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．

（１）用，，表示纸片剩余部分的面积；

（２）当ａ＝8，ｂ＝6，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的一半时，求正方形的边长．

20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）。

四、（每小题10分，共20分）

21．甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．

甲超市：

乙超市：

（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；

（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．

22．汶川大地震发生后，某中学八年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动. 活动结束后，班长将捐款情况进行了统计 ，并绘制成下面的统计图.

（1）求这40 名同学捐款的平均数；

（２）这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　　．

（３）该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？

五、（本题12分）

23． 如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD

（１）求证：PA＋PC＝PB＋PD

证明：作PE⊥AD于点E

（２）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．

（３）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不必说明理由）

六、（本题12分）

24．如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线ｙ＝经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE＝

（１）求双曲线的解析式；

（２）求点F的坐标；

（３）连接EF、DC，直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）

 七、（本题12分）

25．四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．设∠EAD＝∠1，∠EAB＝∠2，∠ABE＝∠3，∠CBE＝∠4，给出下列五个关系式，①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2　④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．

（１）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果ｘｘｘ，那么ｘｘｘ），并给出证明；

（２）用序号写出三个真命题（不需要证明）

（３）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由．

八（本题14分）

26．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB

（１）求点B的坐标．

（２）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式．

（３）直线ｙ＝ｘ与（２）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；

（４）在（３）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在。求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．A； 2．Ｃ； 3．Ｃ；4．Ｃ；5．Ｃ； 6．Ｂ；7．D；8．Ｃ

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．254；10．20； 11．6；12．2；　13．3； 14．16；

15．（，3）；16．．

三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）

17．解：原式=（2a＋3）(a－1)－

＝（2a＋3）(a－1)－2a2

＝a－3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分．

当a＝2－时，原式的值为－－1　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．

18． 解：由3（ｘ－2）＋4＜5ｘ得：

3ｘ－5ｘ＜6－4

－2ｘ＜2

ｘ＞－1

由得：

1－ｘ＋4ｘ≥8ｘ－4

－5ｘ≥－5

ｘ≤1

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分．

19．解：（１）剩余部分的面积为ａｂ－4ｘ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分．

（２）由题意得：4ｘ＝（ａｂ－4ｘ）

∴6ｘ＝ａｂ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．

当ａ＝8，ｂ＝6时，ｘ＝4

ｘ＝±2　ｘ＝－2不合题意，舍去　∴ｘ＝2

∴正方形的边长为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分．

 20．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6 

在Rt△ACH中，

∵DH＝1.5，∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．

在Rt△CDE中，

（米）  

答：拉线CE的长为（）米 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．

四．（每小题10分，共20分）

21．

（1）树状图为：

············4分

（2）

∵ 去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲）， ····················7分

去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙）， ···················9分

     ∴ 我选择去甲超市购物．     ············································10分

22．解：（１）

这40 名同学捐款的平均数是57.75元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．

（2）40元，15元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．

（３）57.75×1200＝69300（元）

答：估计这个中学的捐款总数大约是69300元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．

五、（本题12分）

23．

（１）证明：作PE⊥AD于点E

∵四边形ABCD是矩形

∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°

∴四边形ABPE是矩形

∴AB＝PE＝CD

∴PA＝PB＋AB

PD＝PC＋CD

∴PA＋PC＝PB＋AB＋PC

PB＋PD＝PB＋PC＋CD＝PB＋PC＋AB

∴PA＋PC＝PB＋PD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．

（２）成立

过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F

则四边形ABFE和CDEF为矩形

∴AE＝BF，DE＝CF

由勾股定理得：

则AP＝AE＋PE，PC＝PF＋CF

BP＝BF＋PF，PD＝DE＋PE

∴PA＋PC＝AE＋PE＋PF＋CF

PB＋PD＝BF＋PF＋DE＋PE

∴PA＋PC＝PB＋PD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．

（３）成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．

六、（本题12分）

24．解：（１）∵双曲线ｙ＝经过点A（2，1）

∴1＝

∴ｋ＝2

∴双曲线的解析式为ｙ＝

（２）设直线OB的解析式为ｙ＝ａｘ

∵直线ｙ＝ａｘ经过点A（2，1）

∴ａ＝

∴直线的解析式为ｙ＝ｘ

∵CE＝，代入双曲线解析式得到点Ｅ的坐标为（3，）

∴点B的横坐标为3

代入直线解析式，得到点B的坐标为（3，）

∴点F的纵坐标为

代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（，）

（３）一定．

七、

25．解：

（１）如果①②③，那么④⑤

证明：延长AE交BC的延长线于点F（如图）

∵AD∥BC

∴∠1＝∠F，∠ADE＝∠FCE

又CE＝DE

∴△ADE≌△FCE

AE＝FE，AD＝CF

∠1＝∠2＝∠F

BA＝BF

BA＝BC＋CF＝BC＋AD

AE＝EF

∴∠3＝∠4

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分．

（２）如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分．

（３）如果②③④，那么①⑤

如图，ABE和BCE和AED是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，

CE＝DE，∠DAE＝∠BAE＝∠CBE＝∠ABE＝60°，但AD与BC不平行．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．

八、（本题14分）

26． （１）解：过点B作BE⊥ｘ轴于点E

∵△OAB是等边三角形

∴OE＝2，BE＝2

∴点B的坐标为（2，2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分．

（２）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点

设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－2）＋2

当ｘ＝0时，ｙ＝0

∴0＝ａ（0－2）＋2

∴ａ＝－

∴抛物线的解析式为ｙ＝－（ｘ－2）＋2

即：ｙ＝－ｘ＋2ｘ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分．

（３）设点C的横坐标为ｘ，则纵坐标为ｘ

即点C的坐标为（ｘ，ｘ）代入抛物线的解析式得：ｘ＝－ｘ＋2ｘ

解得：ｘ＝0或ｘ＝3

∵点C在第一象限，∴ｘ＝3，∴点C的坐标为（3，）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．

（４）存在

设点D的坐标为（ｘ，－ｘ＋2ｘ），△OCD的面积为ｙ

过点D作DF⊥ｘ轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（ｘ，ｘ）

作CM⊥DF于点M

则OF＋DM＝3，DG＝－ｘ＋2ｘ－ｘ＝－ｘ＋ｘ

∴S＝（－ｘ＋ｘ）×3

∴S＝－ｘ＋ｘ＝－（ｘ－）＋

∴△OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）．．．．．．．．．．．．．．．．．14分．