人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系综合与测试课后作业题

评估验收卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.

答案：D

2．圆ρ＝2cos的圆心为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：由ρ＝2cos得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，

所以x2＋y2＝x－y，

所以＋＝1，

圆心的直角坐标为，极坐标为.

答案：D

3．将y＝sin x的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为(　　)

A．y＝2sinx   B．y＝sin 2x

C．y＝2sin 2x   D．y＝sin x

解析：[来源:学,科,网Z,X,X,K]

答案：D

4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)

A．(－2，2，－2)   B．(－2，2，2)

C．(－2，－2，2)   D．(2，2，－2)

解析：

答案：A

5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是(　　)

A．关于极轴所在直线对称

B．关于极点坐标对称

C．重合

D．关于直线θ＝对称

解析：因为点(－ρ，π－θ)与点(ρ，－θ)为同一个点，它与(ρ，θ)关于极轴所在的直线对称．

答案：A

6．直角坐标B化为柱坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为ρ＝＝2，tan θ＝－，θ角的终边过点(－3，，0)，故θ＝，所以化为柱坐标为.

答案：C

7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为(　　)

A．ρ＝－4cos θ   B．ρcos θ－1＝0

C．ρsin θ＝－   D．ρ＝－sin θ

解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos ，则ρcos θ＝1，经检验符合方程．

答案：B

8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最短距离等于(　　)

A.－1   B.－1

C．1   D.

解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.

答案：A

9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1与圆ρ＝cos θ的位置关系是(　　)

A．相切

B．相交但直线不经过圆心

C．相离

D．相交且直线经过圆心

解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos θ，即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．

答案：A

10．极坐标系方程θ＝，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：如图所示，

射线θ＝，θ＝(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形面积是阴影扇形的面积：×42×＝.

答案：B

11．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为(－，－)，再化为极坐标为.

答案：A

12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为(　　)

A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．0

解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，

由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.[来源:Zxxk.Com]

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．

解析：因为A，B，所以∠BOA＝，

又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，

所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．

答案：等腰直角三角形

14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．

解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1.

答案：＋y2＝1

15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．

解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9和y＝0，

所以弦长＝2＝2×＝2.

答案：2

16．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sin θ与C2：ρ＝2cos θ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．

解析：曲线C1：ρ＝2sin θ即ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0，1)；

曲线C2：ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，

化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，

标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C2(1，0)；

线段AB的垂直平分线即两圆心所在的直线C1C2，

直角坐标方程为x＋y－1＝0，

化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρsin＝.

答案：ρsin＝

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

解：在ρsin＝－中，

令θ＝0，得ρ＝1，

所以圆C的圆心坐标为(1，0)．

因为圆C经过点P，

所以圆C的半径[来源:学科网ZXXK]

PC＝ ＝1，

于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．

解：法一　设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，

则PC＝R＝.

由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos＝5.

化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，

此即为所求的圆C的方程．

法二　将圆心C化成直角坐标为(1，)，

半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入化简，

得ρ2－4ρcos－1＝0，

此即为所求的圆C的方程．

19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．

解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得·3ρsin θ＋ρsin θ＝×3×1×sin 2θ，化简得ρ＝cos θ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ.

20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．

解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，

得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，

即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.

圆心到直线的距离d＝＝>，

所以曲线C1与C2相离．

21．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.

(1)求点B的极坐标和直线AB的极坐标方程；

(2)求△AOB外接圆的极坐标方程．

解：(1)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.

则|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝，

故点B的极坐标为，k∈Z.

由于直线AB的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1.

(2)如图，△AOB外接圆的圆心C在极轴上，且CA＝CO，∠AOC＝.

故△AOC为等边三角形，

于是C(2，0)，半径r＝2，△AOB外接圆的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，

即x2＋y2－4x＝0.

因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，

所以ρ2＝4ρcos θ，故ρ＝4cos θ为所求．

22．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．

解：如图所示，(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，在△OCM中，|CM|＝1，

∠COM＝，

根据余弦定理得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos，化简整理得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，即为所求圆C的极坐标方程．

(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①

设P(ρ，θ)，则|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3或

|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ1＋ρ)＝2∶3.

当ρ1＝ρ时，又θ1＝θ，即

代入①得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，整理得

ρ2－15ρcos＋50＝0，即为所求P点的轨迹方程．[来源:学科网]

当ρ1＝2ρ时，又θ1＝θ－π，

同理可得ρ2＋3ρ·cos＋2＝0.[来源:Zxxk.Com]

所以点P的轨迹方程为ρ2－15ρcos＋50＝0或ρ2＋3ρcos＋2＝0.