初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理公开课ppt课件

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1.垂径定理 2.垂径定理的推论. （重点、难点）
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交 流.
知识点1 垂径定理
如图,AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.（1）图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是 什么？（2）你能发现图中有哪些等量关 系？说一说你的理由.
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析：连接OD，如图所示.∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，∴ CH=DH= .在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.设⊙ O 的半径为r，在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（ ）2=r2.解得r= ∴ AB=3.
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.∵ AC=BD，∴ CM=DM.又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.∴△ OCD 为等腰三角形.
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
如图，∵OD⊥AB，∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．在Rt△ODA中，OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，解得R≈27.9.∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)A．CE＝DE B．AE＝OEC. D．△OCE≌△ODE
知识点2 垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD)， 交AB于点M.（1）图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
即：如图，在⊙O中，(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平 分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
连接OM，ON，OA，OC.∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .∵∠ AMN= ∠ CNM，∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）.∴ AM=CN.∴ AB=CD.
如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2， 即R2 = 3002 + (R-90)2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)A．8 cm　　 cm　　C．6 cm　　D．2 cm
垂径定理： (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： ①直线过圆心； ②直线垂直于弦； ③直线平分弦(不是直径)； ④直线平分弦所对的优弧； ⑤直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(　　)A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　　)A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m