新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(145页)

这是一份高中数学人教版新课标A必修1本册综合优秀学案设计，共130页。

§1.1.1集合的含义及其表示
[自学目标]
1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;
2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;
3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
[知识要点]
1． 集合和元素
(1)如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作;
(2)如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作.
2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.
3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.
4.集合的分类:有限集;无限集;空集.
5.常用数集及其记法:自然数集记作,正整数集记作或,整数集记作,有理数集记作,实数集记作.
[预习自测]
例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.
（1）小于5的自然数;
（2）某班所有高个子的同学;
（3）不等式的整数解;
（4）所有大于0的负数;
（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.
分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.







例2.已知集合中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形
一定是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形



例3.设若,求的值.
分析: 某元素属于集合A,必具有集合A中元素的性质,反过来,只要元素具有集合A中元素的性质,就一定属于集合A.








例4.已知,,且,求实数的值.



[课内练习]
1．下列说法正确的是（ ）
（A）所有著名的作家可以形成一个集合
（B）0与 的意义相同
（C）集合 是有限集
（D）方程的解集只有一个元素
2．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．方程组的解构成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．.
4．已知，，则B＝
5．若，，用列举法表示B= .
[归纳反思]
1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；
2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。这是解决有关集合问题的一种重要方法；
3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法.
4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.
[巩固提高]
1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（ ）
A． B． C． D．
3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合A=，若是集合A的一个元素，则的取值是（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
5．方程组的解的集合是---------------------------------------（ ）
A． B． C． D．
6．用列举法表示不等式组的整数解集合为：
7．设，则集合中所有元素的和为：
8、用列举法表示下列集合：
⑴
⑵





9．已知A={1，2，x2－5x＋9}，B={3，x2＋ax＋a}，如果A={1，2，3}，2 ∈B，求实数a的值.









10.设集合，集合，
集合，试用列举法分别写出集合A、B、C.












1.1.2子集、全集、补集
[自学目标]
1.了解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.了解全集的意义,理解补集的概念.
[知识要点]
1.子集的概念：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素（若,则），那么称集合A为集合B的子集（subset），记作或,.
还可以用Venn图表示.
我们规定:.即空集是任何集合的子集.
根据子集的定义,容易得到:
⑴任何一个集合是它本身的子集,即.
⑵子集具有传递性,即若且,则.
2.真子集：如果且,这时集合A称为集合B的真子集（proper subset）.
记作：A B
⑴规定：空集是任何非空集合的真子集.
⑵如果A B, B ,那么
3.两个集合相等：如果与同时成立,那么中的元素是一样的,即.
4．全集：如果集合S包含有我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集（Universal set），全集通常记作U.
5．补集：设,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
（complementary set）, 记作：（读作A在S中的补集）,即

补集的Venn图表示:


[预习自测]
例1．判断以下关系是否正确：
⑴； ⑵； ⑶；
⑷； ⑸； ⑹；

例2.设,写出的所有子集.



例3.已知集合,,其中且,求和的值(用表示).






例4.设全集,,,求实数的值.






例5.已知,.
⑴若,求的取值范围;
⑵若,求的取值范围;
⑶若 ,求的取值范围.






[课内练习]
1． 下列关系中正确的个数为（ ）
①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A）1　　　　 （B）2 　　　 　（C）3　　　 （D）4
2．集合的真子集的个数是（ ）
（A）16 (B)15 (C)14 (D) 13
3．集合，，,,则下面包含关系中不正确的是（ ）
（A） (B) (C) (D)
4．若集合 ，则．
5．已知M={x| -2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a-1}.
（Ⅰ）若MN，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若MN，求实数a的取值范围.






[归纳反思]
1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.
2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方法的巨大威力。
[巩固提高]
1．四个关系式：①；②0；③；④.其中表述正确的是[ ]
A．①，② B．①，③ C． ①，④ D． ②，④
2．若U={x∣x是三角形}，P={ x∣x是直角三角形}，则----------------------[ ]
A．{x∣x是直角三角形} B．{x∣x是锐角三角形}
C．{x∣x是钝角三角形} D．{x∣x是锐角三角形或钝角三角形}
3．下列四个命题：①；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有---------------------------------------------------[ ]
Ａ．０个　　　Ｂ．１个　　　Ｃ．２个　　　　Ｄ．３个
４．满足关系　　的集合Ａ的个数是--------------------------[ ]
Ａ．５　　　　Ｂ．６　　　　Ｃ．７　　　　Ｄ．８
５．若，，，则的关系是---[ ]
Ａ．　　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　Ｄ．
６．设A=,B={x∣1< x <6,x,则
７．U={x∣，则U 的所有子集是
８．已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围.



９．已知集合P={x∣，S={x∣，
若SP，求实数的取值集合.





１０．已知M={x∣x}，N={x∣x}
（1）若M，求得取值范围；
（2）若M，求得取值范围；
（3）若　　，求得取值范围.





交集、并集
[自学目标]
1．理解交集、并集的概念和意义
2．掌握了解区间的概念和表示方法
3．掌握有关集合的术语和符号
[知识要点]
1．交集定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}
运算性质：(1)A∩BÍA，A∩BÍB
(2) A∩A=A，A∩φ=φ
(3) A∩B= B∩A
(4) AÍ B Û A∩B=A
2．并集定义：A∪B={x| x∈A或x∈B }
运算性质：(1) A Í （A∪B），B Í （A∪B） (2) A∪A=A，A∪φ=A
(3) A∪B= B∪A (4) AÍ B Û A∪B=B
[预习自测]
1．设A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，求 A∩B和A∪B







2．已知全集U={x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩CUB=
{5，13，23}，CUA∩B={11，19，29}，CUA∩CUB={3，7}，求A，B.







3．设集合A={|a+1|，3，5}，集合B={2a+1，a2+2a，a2+2a—1}当A∩B={2，3}时，
求A∪B





[课内练习]
1．设A= ，B=，求A∩B

2．设A=，B={0}，求A∪B

3．在平面内，设A、B、O为定点，P为动点，则下列集合表示什么图形
（1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}




4．设A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，求A∩B


5．设A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}，
求A∩B，A∪C，A∪B







[归纳反思]
1．集合的交、并、补运算，可以借助数轴，还可以借助文氏图，它们都是数形结合思想的体现
2．分类讨论是一种重要的数学思想法，明确分类讨论思想，掌握分类讨论思想方法。
[巩固提高]
1． 设全集U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集合M={a，c，d}，则CU（M∪N）
等于
2．设A={ x|x＜2}，B={x|x＞1}，求A∩B和A∪B




Ì
≠
3．已知集合A=， B=，若A B，求实数a 的取值范围




4．求满足{1,3}∪A={1，3，5}的集合A



5．设A={x|x2—x—2=0}，B=，求A∩B




6、设A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且A∩B={（1，2）}，
则m= n=
7、已知A={2，—1，x2—x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且A∩B=C，求x，y的值




8、设集合A={x|2x2+3px+2=0}，B={x|2x2+x+q=0}，其中p，q，x∈R，且A∩B={}时，求p的值和A∪B





9、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数



10、设集合A={x|x2+2（a+1）x+a2—1=0}，B={x|x2+4x=0}
⑴若A∩B=A，求a的值
⑵若A∪B=A，求a的值







集合复习课
[自学目标]
1．加深对集合关系运算的认识
2．对含字母的集合问题有一个初步的了解
[知识要点]
1．数轴在解集合题中应用
2．若集合中含有参数，需对参数进行分类讨论
[预习自测]
1．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求






2．已知集合A=，集合B=，当时，求实数p的取值范围







3．已知全集U={1，3，}，A={1，|2x—1|}，若CUA={0}，则这样的实数x是否存在，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由







[课内练习]
1．已知A={x|x<3}，B={x|x （1）若BÍA，求a的取值范围
Ì
≠
（2）若AÍB，求a的取值范围
（3）若CRA CRB，求a的取值范围



2．若P={y|y=x2，x∈R}，Q={y| y=x2+1，x∈R }，则P∩Q =
Ì
≠
3．若P={y|y=x2，x∈R}，Q={（x，y）| y=x2，x∈R }，则P∩Q =
4．满足{a，b} AÍ{a，b，c，d，e}的集合A的个数是


[归纳反思]
1．由条件给出的集合要明白它所表示的含义，即元素是什么？
2．含参数问题需对参数进行分类讨论，讨论时要求既不重复也不遗漏。

[巩固提高]
1．已知集合M={x|x3—2x2—x+2=0},则下列各数中不属于M的一个是 （ ）
A．—1 B．1 C．2 D．—2
2．设集合A= {x|—1≤x＜2}，B={ x|x A．a＜2 B．a＞—2 C．a＞—1 D．—1≤a≤2
3．集合A、B各有12个元素，A∩B中有4个元素，则A∪B中元素个数为
4．数集M={x|}，N={ x|}，则它们之间的关系是
5．已知集合M={（x,y）|x+y=2 }，N={（x,y）|x—y=4}，那么集合M∩N=
6．设集合A={x|x2—px+15=0}，B={x|x2—5x+q=0}，若A∪B={2，3，5}，则A=
B=
7．已知全集U=R，A={x|x≤3}，B={ x|0≤x≤5}，求（CUA）∩B





Ì
≠

8．已知集合A={x|x2—3x+2=0}，B={x|x2—mx+(m—1)=0}，且B A，求实数m的值







9．已知A={x|x2+x—6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的取值范围







10．已知集合A={x|—2＜x＜—1或x＞0}，集合B={ x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞—2}，求a、b的值








§2.1.1函数的概念与图象（1）
[自学目标]
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；
2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则；
[知识要点]
1．函数的定义：，.
2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则.
3．函数的相等.
[预习自测]
例1．判断下列对应是否为函数：
（1）
（2）这里
补充：（1）︱，；
（2）；
（3）︱，；
（4）≤≤≤≤
分析：判断是否为函数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是元素对应的存在性和唯一性。







例2． 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[ ]
O
O
O
O









A B C D
例3． 在下列各组函数中，与表示同一函数的是------------------[ ]
A．=1，= B．与
C．与 D．=∣∣，=

（≥）
例4 已知函数 求及
（），




[课内练习]
1．下列图象中表示函数y=f(x)关系的有--------------------------------( )




A.(1)(2)(4) B.(1)(2) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)
2．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------( )
A．和 　B．和
C．和　　　　　　　　 　D．和
3．下列四个命题
（1）f(x)=有意义;
（2）表示的是含有的代数式
（3）函数y=2x(x)的图象是一直线；
（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
４．已知f(x)=，则f()= ；
5．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么=

[归纳反思]
１．本课时的重点内容是函数的定义与函数记号的意义，难点是函数概念的理解和正确应用；
２．判断两个函数是否是同一函数，是函数概念的一个重要应用，要能紧扣函数定义的三要素进行分析，从而正确地作出判断．

[巩固提高]
1．下列各图中，可表示函数的图象的只可能是--------------------[ ]









A B C D
2．下列各项中表示同一函数的是-----------------------------------------[ ]
A．与 B． =，=
C．与 D． 21与
3．若(为常数)，=3，则=------------------------[ ]
A． B．1 C．2 D．
4．设，则等于--------------------------------[ ]
A． B． C． D．
5．已知=，则= ， =
6．已知=，且，则的定义域是 ，
值域是
　　　
7．已知= ，则
8．设，求的值




9．已知函数求使的的取值范围






10．若，，求，










§2.1.1函数的概念与图象（2）
[自学目标]
掌握求函数定义域的方法以及步骤；
[知识要点]
1、函数定义域的求法：
(1)由函数的解析式确定函数的定义域；
(2)由实际问题确定的函数的定义域；
(3)不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域。
[预习自测]
例1．求下列函数的定义域：
（1） （2）=（3） （4）=
分析：如果是整式，那么函数的定义域是实数集；如果是分式，那么函数的定义域是使分母的实数的集合；如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。



例2．周长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出其定义域








例3．若函数的定义域为[
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的定义域。


[课内练习]
１．函数的定义域是―――――――――――――――――（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．Ｒ
２．函数f(x)的定义域是[,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ）
A　［0,1］　　B ［2，］　　C　［0，］　　D　
３．函数=的定义域是：
４．函数的定义域是
5．函数的定义域是


[归纳反思]
１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值；
２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组；
[巩固提高]
1．函数=+的定义域是----------------------------[ ]
A．[，] B．（ C．[0，1] D．{}
2．已知的定义域为[]，则的定义域为------------[ ]
A．[] B．[ C．[ D．[
3．函数的定义域是------------------------------------[ ]
A． B． C． D．
4．函数=的定义域是
5．函数=的定义域是 ；值域是 。
6．函数的定义域是： 。
7．求下列函数的定义域
(1) =； （2）=； （3）





8．若函数的定义域为，则的定义域.





9．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（）表示为矩形一边长的函数，并画出函数的图象.






10．已知函数=，若，求的表达式.









§2.1.1函数的概念与图象（3）
[自学目标]
掌握求函数值域的基本求法；
[知识要点]
函数值域的求法
函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：
（1）观察法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法。
[预习自测]
例1． 求下列函数的值域：
（1）；


（2）;


（3）；


（4）；

（5） 变题： ≤≤）；



（6）


分析：求函数的值域，一种常用的方法就是将函数的解析式作适当的变形，通过观察或利用熟知的基本函数（如一次函数、二次函数等）的值域，从而逐步推出所求函数的值域（观察法）；或者也可以利用换元法进行转化求值域。
例2． 若函数的定义域为，值域为，求的取值范围





[课堂练习]
1．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数y=2x2-4x-3，0≤x≤3的值域为 ( )
A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞)
3．函数的最大值是 ( )
A． B． C． D．
4．函数的值域为
5．求函数y=x+的定义域和值域






[归纳反思]
求函数的值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用的方法，如观察法、图象法、配方法、换元法等，在以后的学习中还会有一些新的方法（例如运用函数的单调性、配方法、分段讨论法、不等式法等等），可以逐步地深入和提高。

[巩固提高]
1.函数=的值域是---------------------------------------[ ]
A．（ B．R C．（0，1） D．(1,走
2.下列函数中，值域是(0,)的是--------------------------------[ ]
A．= B．=2（ C． D．
3.已知函数的值域是,则函数的值域是--------[ ]
A. B. C. D.
4.={}，则的值域是: .
5.函数的值域为: .
6.函数的值域为: .
7.求下列函数的值域
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）=




8.当时，求函数的值域




§2.1.1函数的概念与图象（4）
[自学目标]
1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；
2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力．
[知识要点]
1．函数图象的概念
将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为即，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2．函数图象的画法
画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．
3．会作图，会读（用）图
[预习自测]
例1．画出下列函数的图象，并求值域：
(1)=，[1，2]； (2)= (),{0,1,2,3}；
(3)=； 变题：； (4)=









例2．直线y=3与函数y=|x2-6x |图象的交点个数为 （ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个


例3.下图中的A. B. C. D四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)





时间（min） 时间（min）
A B




离开家的距离(m) 离开家的距离(m)





时间（min） 时间（min）
C D
(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学；
(2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。


[课堂练习]
1．下列四个图像中，是函数图像的是 （ 　 　）












（1）
（2）
（3）
（4）


A、（1） 　 B、（1）、（3）、（4） 　 C、（1）、（2）、（3） 　　 D、（3）、（4）
2．直线和函数的图象的交点个数 ( )
A 至多一个 B 至少有一个 C 有且仅有一个 D 有一个或两个以上
3．函数y=|x+1|+1的图象是 　 ( )
4．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（　 ）（年增长率=年增长值/年产值）
A）97年 B）98年
C）99年 D）00年



5．作出函数或）的图象；




[归纳反思]
１． 根据函数的解析式画函数的图象，基本方法是描点法，但值得指出的是：一要注意函数的定义域，二要注意对函数解析式的特征加以分析，充分利用已知函数的图象提高作图的速度和准确性；
２． 函数的图象是表示函数的一种方法，通过函数的图象可以直观地表示与的对应关系以及两个变量变化过程中的变化趋势，以后我们会经常地运用函数解析式与函数图象两者的有机结合来研究函数的性质．
[巩固提高]
1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在　　　下图中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是 （　 　）　
d d d d



O t O t O t O t
A B C D
2．某工厂八年来产品C（即前t年年产量之和）与时间t(年)的函数如下图，下列四种说法：（1）前三年中，产量增长的速度越来越快； 　
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
（3）第三年后，年产量保持不变；　　　 　　
（4）第三年后，年产量逐步增长．
其中说法正确的是 （ ）
A．（2）与（3）　　B．（2）与（4）　　C．（1）与（3）　　D．（1）与（4）


3.下列各图象中，哪一个不可能是函数的图象 （ ）




0

0



A． B．






0


0



C． D．
4.函数的图象不通过第一象限，则满足-----------[ ]
A． B． C． D．
y
y
y
y
5.函数与（的图象只可能是---------[ ]
x
0
0
0
x
x
x
0

A． B． C． D．
y
y
y
y
6.函数的图象是----------------------------------------[ ]
0
x
0
x
0
x
x
0

A． B． C． D．
7.函数≤≤2）的图象是
8.一次函数的图象经过点（2,0）和（-2，1），则此函数的解析式为
9.若二次函数的图象的对称轴为，则
10.在同一个坐标系中作出函数=与=的图象
（1）问：的图象关于什么直线对称？
（2）已知，比较大小：


§2.1.2 函数的表示方法
[自学目标]
1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内在的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.
2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.
3.了解简单的分段函数的特点以及应用.
[知识要点]
1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.
在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解析法是通过函数解析式表示函数.
2.求函数的解析式,一般有三种情况
⑴根据实际问题建立函数的关系式;
⑵已知函数的类型求函数的解析式;
⑶运用换元法求函数的解析式;
3．分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;
注意:
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是的不同取值范围的并集;其值域是相应的的取值范围的并集
[例题分析]
例1． 购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示x()成的函数，并指出该函数的值域．







例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)的表达式；
（2）已知f(2x-3)= +x+1，求f(x)的表达式；







例3．画出函数的图象，并求，，，


变题① 作出函数 的图象



变题② 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象





变题③ 求函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域


变题④ 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是否存在使得f()=?
通过分类讨论，将解析式化为不含有绝对值的式子．

作出f(x)的图象
　　
由图可知，的值域为，而，故不存在，使





例4．已知函数
(1)求f(-3)、f[f(－3)] ；　　（2）若f(a)= ,求a的值．











[课堂练习]
1．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S（）表示为矩形一边长x（cm）的函数，并画出函数的图象．



2.若f(f(x))=2x－1，其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式．



3.已知f(x-3)＝，求f(x+3) 的表达式．




4．如图，根据y=f(x) ()的图象，写出y=f(x)的解析式．





[归纳反思]
1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;
2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域;
3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式.
[巩固提高]
1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( )





2．已知,则等于--------------------------------------------------( )
A. B. C. D.
3．已知一次函数的图象过点以及，则此一次函数的解析式为------（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，且，则实数的值为---（ ）
A．1 B． C． D．
5．若函数则
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元） 由如图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为
7．画出函数 的图象，
并求f()+f(的值．
8．画出下列函数的图象
(1) y=x－︱1－x︱ (2)





9．求函数y=1－︱1－x︱的图象与x轴所围成的封闭图形的面积．　　　




10．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，它沿着折线　　　　　　　　　　　　
BCDA由点B（起点）向A（终点）运动．设点P运动的路程为x，　　　　　　　　　　　　　
△APB的面积为y.
(1)求y关于x的函数表示式，并指出定义域；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）画出y=f(x)的图象．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　







函数的单调性（一）
[自学目标]
1．掌握函数的单调性的概念
2．掌握函数单调性的证明方法与步骤
[知识要点]
1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法
2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值 ， 作差 ， 变形 ， 定号 ， 判断）
3．函数的单调性与单调区间的联系与区别
[预习自测]
1．画出下列函数图象，并写出单调区间：
⑴ ⑵







2．证明在定义域上是减函数





3．讨论函数的单调性











[课内练习]
1．判断在（0，+∞）上是增函数还是减函数
2．判断在（ —∞，0）上是增函数还是减函数
3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y= （B） y=2x-1 （C） y=1-x （D）y=
4． 函数y=-1的单调 递 区间为
5．证明函数 f（x）=-+x在（，+）上为减函数




[归纳反思]
1．要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性
2．函数的单调性是对区间而言的，它反映的是函数的局部性质
[巩固提高]
1．已知f（x）=（2k+1x+1在（-，+）上是减函数，则（ ）
（A）k＞ （B）k＜ （C）k＞- （D k＜-
2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
（A）y=2x+1 （B）y=3 +1 （C）y= （D） y=3+x +1
3．若函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，4）上为增函数，则实数a的
取值范围是 （ ）
（A） a -3 （B）a-3 （C）a 3 （D）a3
4．如果函数f（x）是实数集R上的增函数，a是实数，则 （ ）
（A）f（）＞f（a+1） （B）f（a）＜ f（3a）
（C）f（+a）＞f（） （D）f（-1）＜f（）
5．函数y=的单调减区间为
6．函数y=+的增区间为 减区间为
7．证明：在（0，+∞）上是减函数





8．证明函数在（0，1）上是减函数





9．定义域为R的函数f（x）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t都有，那么f（—1），f（9），f（13）的大小关系是
10．若f（x）是定义在上的减函数，f（x-1）＜f（-1），求x的取值范围







函数的单调性（二）
[自学目标]
1．理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义
2．会求简单函数的最值
[知识要点]
1．会用配方法，函数的单调性求简单函数最值
2．会看图形，注意数形语言的转换
[预习自测]
1．求下列函数的最小值
（1） ， （2），







2．已知函数，且f(-1)= -3，求函数f(x)在区间[2，3]内的最值。







3．已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b，当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值。










[课内练习]
1．函数f(x)=-2x+1在[-1，2]上的最大值和最小值分别是 （ ）
（A）3，0 （B）3，-3 （C）2，-3 （D）2，-2
2．在区间上有最大值吗？有最小值吗？
3．求函数的最小值
4．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则f(x)在[a,d] 上
最小值为
5．填表已知函数f(x),的定义域是F，函数g(x)的定义域是G，且对于任意的，，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
增
增


增
减


减
增


减
减



[归纳反思]
1．函数的单调形是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中
起着十分重要的作用
2． 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一
[巩固提高]
1．函数y=-x+x在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （ ）
（A）0，-6 （B） ，0 （C），-6 （D）0，-12
2．已知二次函数f(x)=2 x-mx+3在上是减函数，在上是增函数，
则实数m 的取值是 （ ）
（A） -2 （B） -8 （C） 2 （D） 8
3．已知函数f(x)=a x-6ax+1 (a＞0)，则下列关系中正确的是 （ ）
（A） f() ＜f() （B） f()＜ f(3) （C）f(-1)＜ f(1) （D）f(2) ＞ f(3)
4． 若f(x)是R上的增函数，对于实数a,b,若a+b＞0,则有 （ ）
（A） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b)
（C） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b)
5．函数y=-+1在[1，3]上的最大值为 最小值为
6．函数y=- x+2x-1在区间[0，3]的最小值为
7．求函数y=-2 x+3x-1在[-2，1]上的最值





8．求 上的最小值





9．已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x+x) ＞ f(a-x)对一切x∈R都成立，
求实数a的取值范围






10．已知二次函数(b、c为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数x，都有f(3+x)=f(3-x)。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若当f(x)的定义域为[m，8]时，函数y=f(x)的值域恰为[2m，n]，求m、n的值。







函数的奇偶性
[自学目标]
1．掌握奇函数、偶函数的定义
2．会判断和证明函数的奇偶性
[知识要点]
1．奇、偶函数的定义
2．奇偶函数的图象与性质（等价性）
3．函数奇偶性的判断方法和步骤
[预习自测]
例1．判断下列函数是否具有奇偶性
(1) (2)
（3） (4)
（5） (6)







例2．已知函数
⑴判断奇偶性
⑵判断单调性
⑶求函数的值域







例3．若f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式



[课内练习]
1．奇函数y=f(x),x∈R的图象必经过点 （ ）
A．（a,f（-a）） B．（-a,f（a）） C．（-a, -f（a）） D．（a, f（））
2．对于定义在R上的奇函数f(x)有 （ ）
A．f(x)+f(-x)＜0 B．f(x) -f(-x)＜0 C．f(x) f(-x)≤0 D．f(x) f(-x)＞0
3．已知且f(-2)=0，那么f(2)等于
4．奇函数f(x)在1≤x≤4时解吸式为，则当-4≤x≤-1时，f(x)
最大值为
5．f(x)=为奇函数，y=在（-∞，3）上为减函数，
在（3，+∞）上为增函数，则m= n=
[归纳反思]
1．按奇偶性分类，函数可分为四类：（1）奇函数 （2）偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数
2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1）判断定义域是否关于原点对称
（2）验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)
3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性
[巩固提高]
1．已知函数f(x)在[-5，5]上是奇函数，且f(3) ＜f(1),则 （ ）
（A）f(-1) ＜f(-3) （B）f(0) ＞f(1)
（C）f(-1) ＜f(1) （D）f(-3) ＞f(-5)
2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ ）
（A）y= （B）y=
（C）y=0 , x ∈[-1，2] （D）y=
3．设函数f(x)=是奇函数，则实数的值为 （ ）
（A） -1 （B） 0 （C） 2 （D） 1
4．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在
区间[-7，-3]上是 （ ）
（A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5
（C）减函数且最大值为-5 （D）减函数且最小值为-5
5．如果二次函数y=ax+bx+c (a≠0)是偶函数，则b=
6．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则 f(0)=
7．已知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且为偶函数，则f(-)，f(-),
f(3)之间的大小关系是
8．f(x)为R上的偶函数，在（0，+∞）上为减函数，则p= f()与q= f()
的大小关系为
9．已知函数f(x)=x+mx+n (m,n是常数)是偶函数，求f(x)的最小值





10．已知函数f(x) 为R上的偶函数，在[0，+∞）上为减函数，f(a)=0 (a>0)
求xf(x)<0的解集









映射的概念
[自学目标]
1．了解映射的概念，函数是一类特殊的映射
2．会判断集合A 到集合B的关系是否构成映射
[知识要点]
1．正确理解“任意唯一”的含义
2．函数与映射的关系，函数是一类特殊的映射
[预习自测]
例题1.下列图中，哪些是A到B的映射？
1
2
3
a

b





1
2
3
a

b
（A） （B）
1
2
3
a

b
1

2
a
b
c





（C） （D）


例2.根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素

⑴f:x→ 2x+1 ⑵f:x→ x2-1

A B A B
1
2
3

1
2
3









例3.（1）已知f是集合A={a,b}到集合B={c,d}的映射，求这样的f的个数
（2）设M={-1,0,1},N={2,3,4}，映射f：M→N对任意x∈M都有x+f(x)是奇数，这样的映射的个数为多少？






[课内练习]
1.下面给出四个对应中，能构成映射的有 （ ）

b1
b2
b3
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
a1

a2
b1
b2
b3
b4
a1
a2
a3
a4
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3





⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

2.判断下列对应是不是集合A到集合B的映射？
（1） A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方”
（2） A=N,B=N+,对应法则是“ f:x→|x-3|”
（3） A=B=R,对应法则是“f:x→3x+1”
（4） A={x|x是平面α内的圆}B={x|x是平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”
3.集合B={-1,3，5}，试找出一个集合A使得对应法则f: x→3x-2是A到B的映射




4.若A={(x,y)}在映射f下得集合B={（ 2x-y,x+2y）}, 已知C={（a,b）}在 f下得集合D={(-1,2)},求a,b的值





1 2
2
1
O
y
x
1 2
2
1
O
y
x
1 2
2
1
O
y
x
1 2
2
1
O
y
x
5.设集A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图中能表示从集A到集B的映射的是（ ）




A． B． C． D．
[归纳反思]
1.构成映射的三要素：集合A ， 集合B ，映射法则f
2.理解映射的概念的关键是：明确“任意”“唯一”的含义

[巩固提高]
1.关于映射下列说法错误的是 （ ）
(A) A中的每个元素在 B 中都存在元素与之对应
(B) 在B存在唯一元素和 A 中元素对应
(C) A中可以有的每个元素在 B 中都存在元素与之对应
(D) B中不可以有元素不被A中的元素所对应。
2.下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是 （ ）
(A) A={0,2} , B={0,1},f:xy=2x
(B) A={-2,0,2},B={4},f:xy=2x
(C) A=R ,B={y│y<0},f:xy=
(D) A=B=R , f:xy=2x+1
3.若集合P={x│0≤x≤4} ,Q={y│0≤y≤2},则下列对应中，不是
从P到Q的映射的 （ ）
(A) y=x (B) y=x (C) y=x (D) y=x
4.给定映射f：（x，y）®(x+2y，2x—y)，在映射f作用下(3，1)的象是
5.设A到B的映射f1：x®2x+1，B到C的映射f2：y®y2—1，则从A到C的映射是f：

6.已知元素(x，y)在映射f下的原象是（x+y,x—y），则(1，2)在f下的象
7.设A={—1，1，2}，B={3，5，4，6}，试写出一个集合A到集合B的映射
8．已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5}，则从集合A到B的映射有 个。
9．设映射f：A®B，其中A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）®（3x-2y+1，4x+3y-1）
(1)求A中元素(3，4)的象
(2)求B中元素（5，10）的原象
(3)是否存在这样的元素（a，b）使它的象仍然是自己？若有，求出这个元素。










10．已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x®y=3x+1是定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。











2.2.1 分数指数幂(1)
【自学目标】
1.掌握正整数指数幂的概念和性质；
2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；
3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】
1．方根的概念
若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；
当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。
注意：0的n次实数方根等于0。
2．根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质
（1）；
（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，
【预习自测】
例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根 ； ⑵ 27的三次方根 ；
⑶－32的五次方根 ； ⑷ 的三次方根 ．

例2．求下列各式的值：
⑴ ； ⑵ ；



⑶ ； ⑷ 。




例3．化简下列各式：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ；




例4．化简下列各式：
⑴；
⑵。





【课堂练习】
1．填空：
⑴0的七次方根 ；⑵的四次方根 。
2．化简：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ 。
3．计算：





4．若，，求的值




5．




【归纳反思】
1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；
2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
【巩固提高】
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论中，正确的命题的个数是（ ）
①当a<0时，；②；
③函数的定义域为；④若与相同。
A．0 B．1 C．2 D．3
3．化简的结果是( )
A．1 B．2a－1 C．1或 2a－1 D．0
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．当8 6．若，则= 。
7．若有意义，则x∈
8．计算的值


9．若，用a表示





10．求使等式成立的实数a的取值范围。





2.2.1 分数指数幂(2)
【自学目标】
1．理解分数指数幂的意义，熟练掌握根式与分数指数幂的互化方法；
2．掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。
【知识描述】
1．分数指数幂
规定：
（1）（，m，m均为正整数）；
（2）（，m，m均为正整数）；
（3）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。
2．有理数指数幂的运算性质
设，，，则有：
⑴；⑵；⑶。
【预习自测】
例1．求下列各式的值：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷



例2．化简下列各式：
⑴； ⑵。





例3．已知，求下列各式的值：
⑴ ； ⑵；
⑶ ； ⑷。







例4．将 ，，，用“<”号联接起来。






【课堂练习】
1．填空：
⑴ ；⑵ 。
2．若，则 。
3．化简：÷




4．化简




5．化简




【归纳反思】
1．分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行，解题时一般要遵循先化简再计算的原则；
2．在进行指数幂运算时，采取的方法是：化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算可以达到化繁为简的目的。
【巩固提高】
1．若a=(2+),b=(2)，则(a+1)+(b+1)的值是 ( )
A．1 B． C． D．
2．下列结论中，正确的命题的是（ ）
A． = (0) B．a=-
C．=(<0) D．()= (a,b)
3．化简的结果是( )
A． B．ab C． D．a2b
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则 。
6．将 ，，，用“<”号联接起来是 。
7．计算的值





8．解方程






9．化简





10．化简÷×







2.2.2指数函数(1)
【自学目标】
1. 掌握指数函数的概念、图象和性质；
2. 能借助于计算机画指数函数的图象；
3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。
【知识描述】
1．指数函数的定义。
2．指数函数的性质



x
O
y=1
(0, 1)
y
y =a x
(a > 1)
图象

(0, 1)
y
x
O
y=1
y =a x
(0










性质
（1）定义域：R
（2）值域：(0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时y=1
（4）在R上是增函数
（4）在R上是减函数

【预习自测】
例1．下列函数中是指数函数的是 。
⑴； ⑵；
⑶； ⑷；
⑸； ⑹；
⑺； ⑻（，）

例2．已知指数函数的图象经过点（1，），求下列各个函数值：
⑴； ⑵； ⑶。



例3．比较大小：
⑴和； ⑵与； ⑶与。





例4．作出下列函数的图象，并说明它们之间的关系：
⑴； ⑵； ⑶。











【课堂练习】
1．在下列六个函数中： ①；②；③；④；⑤；⑥。若，且，则其中是指数函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．函数恒过定点 。
3．函数和的图象关于 对称。
4．已知函数（，）在[0，1]上的最大和最小值之和是3，求实数a的值。





5．设，求x的取值范围。



【归纳反思】
1．要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质，并根据需要，对底数a分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合和分类讨论思想；
2．注意图象的的平移变换的方法和规律，并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解。

【巩固提高】
1．若集合，，则 （ ）
A．A B B． C．B A D．
2．已知，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限




1
O
y
x
3．图中曲线分别是指数函数的图象，则与1的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．


4．已知，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．M、N大小关系不确定
5．函数的值域是 ；
6．若指数函数在R上是减函数，则a的取值范围是 。
7．把函数y=f(x) 的图象向左、向下分别平移2个单位得到的图象，则f(x)= 。
8．比较的大小







9．已知函数（，）在[1，2]上的最大值比最小值大2，求实数a的值





10．试比较与（，且）的大小






2.2.2指数函数(2)
【自学目标】
1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质，能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质解决有关指数函数的问题；
2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题，提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
【知识描述】
1．性质
⑴定义域：与的定义域相同。
⑵值域：其值域不仅要考虑的值域，还要考虑还是。
求的值域，先求的值域，再由指数函数的单调性求出的值域。
⑶单调性：单调性不仅要考虑的单调性，还要考虑还是。若，则与有相同的单调性；若，则与有相反的单调性。
⑷奇偶性：奇偶性情况比较复杂。若是偶函数，则也是偶函数；若是奇函数，则没有奇偶性。
2．类型的函数的性质
可采用换元法：令，注意t的取值范围，根据与的的性质综合进行讨论。
【预习自测】
例1．将六个数按从小到大的顺序排列。




例2．求函数和的单调区间。







例3．求下列函数的定义域和值域。
⑴； ⑵.





例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）（2）； （2）（，）；





例5．若，求函数的最大值和最小值。






【课堂练习】
1．函数的定义域为( )
A．（－2，+∞） B．[－1，+∞）
C．（－∞，－1] D．（－∞，－2]
2．函数是（ ）
A．奇函数，且在（－∞，0]上是增函数
B．偶函数，且在（－∞，0]上是减函数
C．奇函数，且在[0，－∞）上是增函数
D．偶函数，且在[0，－∞）上是减函数
3．函数的增区间是
4．求的值域。





5．已知函数y＝4x－3·2x＋3的定义域是(－∞，0],求它的值域





【归纳反思】
1．指数函数是单调函数，复合函数的单调性由和的单调性综合确定；
2．比较两个幂式的大小主要是利用指数函数的单调性，但是在应用时要注意底数与1的关系。
3．利用指数函数的性质比较大小
⑴同底数幂比较大小直接根据指数函数的单调性比较；
⑵同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1得结论；
⑶既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介（通常是1或是0），或用作差法，作商法。

【巩固提高】
1．函数（，）对于任意的实数x，y都有（ ）
A．f(xy)=f(x)f(y) B．f(xy)=f(x)+f(y)
C．f(x+y)=f(x)f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y)
2．下列函数中值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数y＝a|x|(a＞1)的图像是 ( )
x
y
1
0
x
y
1
0
y
x
1
0
x
y
0





A. B. C. D.
4．若集合，，则是（ ）
A．P B．Φ C．Q D．R
5．若函数是奇函数，则实数a的值为 。
6．函数在区间（－∞，3）内递减，则实数a的取值范围是 。
7．已知函数的图象与直线的图象恰有一个交点，则实数a的值为 。
8．若函数（，）的图象不经过第一象限，求a，b的取值范围




9．已知，求函数的值域




10．设，若，求：
；









2.2.2指数函数(3)(习题课)
【自学目标】
1.掌握分数指数幂的概念与运算性质，根式与分数指数幂的互化方法，能正确地进行有关根式和分数指数幂的化简、求值等问题，提高恒等变形的能力；
2.掌握指数函数的定义、图象和性质及其应用，体会利用函数图象研究函数性质的思想方法以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，充分认识指数函数是一类重要的函数模型，了解指数函数在现代科技、生产、生活实际中的广泛应用，培养数学应用的意识和能力。
【知识描述】
1．利用整体替换的思想,根据复合函数及对数函数的性质解决有关对数函数的复合问题。平时常常遇见一次、二次函数与指数函数、对数函数的复合。换元法是求解复合函数的常用方法。
2．函数图象的应用,如利用指数函数与对数函数图像的对称性来解题。
3．指数对数方程与不等式的解法。这类问题应特别注意自变量的取值范围和底数大于1，还是大于0小于1的讨论。
【预习自测】
例1．函数的定义域为，求a的取值范围








例2．已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）求证：函数是R上的增函数








例3．有纯酒精20升，从中倒出1升，再用水加满；然后再倒出1升，再用水加满；如此反复进行。问第九次和第十次各倒出多少升纯酒精？









例4．2005年人才招聘会上，有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准，甲公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，若某大学生年初被甲、乙两家公司同时录取，试问：
⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
⑵该人打算连续在一家公司工作3年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准（不记其他因素），该人应选择哪家公司，为什么？










【课堂练习】
1．函数是（ ）
A. R上的增函数 B. R上的减函数
C. 奇函数 D. 偶函数
2．某厂1991年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2003年的产值是（ ）
A. B.
C. D.
3．一产品原价为a元，连续两年上涨x%，现欲恢复原价，应降价 %。
4．求函数的单调区间





5．已知函数(＞0且≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，求的值






【归纳反思】
解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，正确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题；二是要合理选取变量，设定变元后，寻找它们之间的内在联系，建立相应的函数模型。
【巩固提高】
1．若，则等于（ ）
A．1 B．5 C．5或1 D．2或5
2．已知，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．函数()的值域是( )
A．(0，+∞） B．（0，9） C．[，27] D．（，27）
4．函数f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2
5．若函数的定义域是，则函数的定义域是______________.
6．已知a>0且a≠1，f（x）=x2－ax，当x∈（－1，1）时均有，则实数a的取值范围是 ；
7．函数（a>0且a≠1）的最小值是 。
8．已知函数，当x∈[1，3]时有最小值8，求a的值





9．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每年利率为r，设存期为x年，本利和（本金加上利息）为y元。
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5年后的本利和





10．已知定义在R上恒不为0的函数y=f(x)，当x>0时，满足f(x)>1，且对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)f(y)。
⑴求f(0) 的值； ⑵证明； ⑶； ⑷证明函数y=f(x) 是R上的增函数







对数的概念
【自学目标】
1. 通过实例展示了解研究对数的必要性
2. 理解对数的概念及其运算性质，会熟练地进行指数式与对数式的互化
3. 理解并掌握常用对数与自然对数的概念及表示法
【知识要点】
1. 对数的概念
一般地，如果 的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数，记作。其中，叫做对数的底数，叫做真数。
2. 常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数简记为
3. 自然对数
在科学技术中，常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数，是一个无理数，正数的自然对数一般简记为
【预习自测】
例1.将下列指数式改写成对数式
（1） （2） （3） （4）





例2.将下列对数式改写成指数式
（1） （2）
（3） （4）






例3.不用计算器，求下列各式的值
（1） （2） （3） （4）






【课堂练习】
1.求下列各式的值
（1） （2）- （3）




2.求值:（1） （2） （3）





【归纳反思】
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段
【巩固反思】
1. 已知，则＝＿＿＿
2. 已知，则＝＿＿＿
3. 已知集合，，问是否存在的值，使，并说明理由



4. 已知，，试求的值





对数的运算性质
【自学目标】
1. 理解并掌握对数的运算性质
2. 能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算
3. 了解对数恒等式以及换底公式,并会用换底公式进行一些简单的化简与证明
【知识要点】
1. 对数的两个运算性质

其中
2. 对数的换底公式
一般地,,其中 这个公式称为对数的换底公式.
【预习自测】
例1. 求值











例2. 求值
(1)
(2)




例3. 已知均为正数,且,求证:




【课堂练习】
1. 已知_________
2. 求值________
3. 已知,求






【归纳反思】
1. 本课时的重点是对数的运算性质,包括两个运算性质及换底公式
2. 掌握运算性质的关键在于准确记忆公式,常见的错误:
3. 对数换底公式的灵活应用是解决对数计算,化简问题的重要基础,学习与解题过程中一定要熟记由换底公式推导出的一些常用结论
【巩固反思】
1. 若,则下列各式中错误的是 ( )
(1) (2) (3) (4)
A(2)(4) B(1)(3) C(1)(4) D(2)(3)
2. 若的值等于 ( )
A B C D
3. 若 则a=_______
4. 已知 则=_______________
5. 求值:





6. 已知,求





7. 已知,求的值.







对数函数（1）
【自学目标】
1.初步理解对数函数的概念
2通过观察对数函数的图像，发现并了解对数函数的性质，并在进一步应用函数性质过程中，加深对对数函数性质的理解
【知识要点】
1.对数函数的概念
一般地，叫做对数函数，它的定义域是
2．对数函数与指数函数的关系
的定义域和值域分别是函数的值域和定义域，它们互为反函数
3．对数函数的图像与性质（图略）
【预习自测】
例1． 求下列函数的定义域
（1） （2）




例2． 利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小
（1）， （2）， （3），





【课堂练习】
1.（1）求函数的定义域


（2）求函数的定义域


2.比较下列三数的大小（1），，

（2），，


【归纳反思】
1. 理解对数函数的概念,应特别重视真数与底数的取值范围;
2. 对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域与值域互换;
3. 利用对数函数性质比较大小是一类常见题型,学习中要注意对不同的方法进行归类和体会.
【巩固反思】
1． 已知，，且，则的取值范围是________
2． 若，则的取值范围是________
3． 求函数的定义域





4． 已知，设，，，试比较、、的大小




5． 已知，求的值





对数函数（2）
【自学目标】
1.进一步巩固对数函数的概念
2.利用对数函数单调性解决相关问题，深入理解对数函数的性质
【知识要点】
1. 对数函数的单调性
2. 不同底数对数函数图像的关系（图略）
3. 对数不等式
解对数不等式的实质是将不等式两边化为同底的对数函数，利用对数函数单调性进行等价转化，进而通过比较真数的大小解不等式
【预习自测】
例1． 求下列函数的单调区间
（1） （2）






例2． 解下列不等式
(1)
(2)





例3． 求函数，的最小值和最大值






【课堂练习】
1. 已知，那么的取值范围是_________
2..求函数的定义域和值域



3.已知
(1) 求定义域
(2) 求的单调区间
(3) 求的最大值，并求取得最大值时的的值






【归纳反思】
解对数不等式一定要注意函数定义域及隐含条件
利用对数单调性解题，要重视数形结合的思想，利用函数图像帮助简化思考过程，降低思维难度
对数函数与二次函数有两种典型的复合形式，学习中应注重掌握对形式的识别
【巩固反思】
1. 设，若,则的取值范围是__________
2. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则＝______
3. 若，求的最大（小）值以及取得最大（小）值时的相应的的值




对数函数(3)
【自学目标】
1. 理解函数图像变换与函数表达式之间的联系
2. 深入体会数形结合思想,逐步学会灵活运用函数图像研究函数性质
【知识要点】
1. 函数与图像的关系
时,函数的图像向左平移个单位,得函数的图像
时, ,函数的图像向右平移个单位, 得函数的图像
2. 函数与图像的关系
有函数为偶函数易知,时=此时函数图像记为;时, =,即得关于轴对称的图像
【预习自测】
例1.函数的图像只可能是 ( )





例2.将函数的图像向左平移一个单位得到,将向上平移一个单位,得到,再作关于直线的对称图形,得到,求的解析式







例3.在函数的图像上有A,B,C三点,它们的横坐标分别是
(1) 若的面积为,求
(2) 判断的单调性











【课堂练习】
1. 若,则函数的图像过定点_______,函数的图像过定点____________
2. 函数的单调增区间为_____________
3. 若函数的对称轴为,则实数=___________
【归纳反思】
1. 研究对数函数图像,一定要抓住底数大于1还是小于1这个关键,其次是要注意图像和坐标轴的交点及图像的渐近线
2. 图像变换是数学中经常研究的问题,熟练掌握图像变换和解析式之间的关系能帮助我们快速了解某个具体函数的草图,从而帮助思考
【巩固反思】
1.已知,函数和的图像只可能是 ( )




2.已知,其中,则下列各式正确的是 ( )
A B
C D
3. 若函数的图像经过第一,三四象限,则下列结论中正确的是 ( )
A B C D
4. 作出函数的图像







5. 怎样利用图像变换,由的图像得到的图像







6. 若函数的图像的对称轴是,求非零实数的值.








幂函数（一）
[自学目标]
1.了解幂函数的概念
2.会画出几个常见的幂函数的图象
3.了解几个常见的幂函数的性质,并能简单应用
[知识要点]
1.　幂函数的定义．
2. y=x, y=x2, y=x3, , 的图象．
3 .幂函数的性质．
[预习自测]
例1：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
（1） （2） （3）　　（４）



变式引申：
求函数的定义域。




例2：画出下列函数，，的图象







例3：比较下列各组数的大小
（1）和
（2）和



例４：求出函数的定义域和单调区间．





例５：已知，当取什么值时，
（1）为正比例函数；
（2）为反比例函数；
（3）为幂函数。










[课内练习]
1.求下列幂函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
（1）（2）（3）（4）





２.已知幂函数y=f(x)的图象经过（3，），则f(x)=
３.下列函数图象中,表示函数的是（ ）





４.画出函数的图象，并指出其单调区间。







５.比较下列各组数中两个值的大小：
（1）（2）（3）





[归纳反思]
１.关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较
②异底同指，用幂函数单调性比较
③异底异指，构造中间量（同底或同指）进行比较
２.性质：对于幂函数：①当a>0时，图象经过点（１，１）和（０，０），在第一象限内是增函数.
②当a＜0时，图象经过点（１，１），在第一象限内是减函数，并且图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.
[巩固提高]
1.在下列函数中，定义域为R的是（ ）
A B C D
2.下面给出了5个函数，其中是幂函数的是（ ）
A B C D
3下列命题中正确的是（ ）
A当m=0时,函数的图象是一条直线
B幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
C幂函数图象不可能在第四象限内
D若幂函数为奇函数,则是定义域内的增函数
4. 下列函数中,既是奇函数，又在上是减函数的是（ ）
A B C D
5.函数与函数的图象（ ）
A 关于原点对称 B 关于y轴对称
C 关于x轴对称 D 关于直线y=x对称

6.函数图象的大致形状是（ ）




A B C D
7.如图,曲线分别是函数和在第一象限的图象,那么一定有
A n
C m>n>0 D n>m>0




8.用“〈”或“〉”连接下列各式

9.幂函数的图象过点( 2 , ),则它的单调递增区间是
10.函数在区间 上是减函数
11.比较下列各组数的大小
(!) (2)
(3)






12.函数的定义域是全体实数,求实数m的取值范围?




2.4 幂函数（二）
[自学目标]
. 进一步理解幂函数的定义、图象和性质，能熟练的运用幂函数的定义、图象和性质解决有关问题
[知识要点]
1幂函数的单调性
2幂函数的图象
[预习自测]
例1：求下列各式中参数的取值范围
（1）
（2）



例2：讨论函数的定义域，奇偶性，作出它的图象，并根据图象，
说明函数的增减性。








例3: 已知是幂函数，且当时是减函数，求实数及相应的幂函数。







例4：已知函数
（1） 求函数的定义域，值域；
（2） 判断函数的奇偶性；
（3） 求函数的单调区间。









[课内练习]
1.当成立时,x的取值范围是 ( )
A x<1且x0 B 01 D x<1
2.函数的图象形状如图所示,依次大致是( )





① ② ③
A B C D
3．求函数的单调区间。



4．若，，求函数的单调区间。



5.已知幂函数y=f(x)的图象过点( 2 , ), 试求出此函数的解析式,并判断奇偶性,单调性.





[归纳反思]
1.确定幂的范围，可根据所需值的大小关系及幂函数的单调性。
2.绘制图象与研究性质时，可先由性质，特别是奇偶性绘制出图象，再由图象观察性质，是研究函数的常用方法。
[巩固提高]
1.当时，的大小关系。

2.图中曲线是幂函数在第一象限的图象,已知n取四个值,则相对于曲线 的n依次为( )




3 .已知幂函数y=(x)的图象过点( 2 , ) ,则该函数的图象( )

A 关于原点对称 B 关于y轴对称
C 关于x轴对称 D 关于直线y=x对称
4.如图为的图象,求a ,b





5.将，，，，，，，填入对应图象的下面。
y
y
y
y
y
y



O
x
x
x
O
O
x
x
O



(4)
(3)
(2)
(1)


y
y
y
y

O
O
x
x
x
x
O
O





(8)
(7)
(6)
(5)



6.已知，求的取值范围。



7. 将下列各组数按从大到小顺序排列
(1),, (2)



8. 下列关于幂函数的命题中不正确的是( )
A 幂函数的图象都经过点(1,1)
B 幂函数的图象不可能在第四象限内
C 当的图象经过原点时,一定有n>0
D 若（n<0）是奇函数,则在其定义域内一定是减函数
9. 讨论函数的定义域,值域,单调区间, 奇偶性







10. 一个幂函数y=f(x)的图象过点( 3 , ) ,另一个幂函数y=g(x)的图象过点(-8,-2)
1)求这两个幂函数的解析式
2)判断这两个函数的奇偶性
3)作出这两个函数的图象,观察得f(x)






二次函数与一元二次方程（一）
[自学目标]
1． 掌握二次函数与对应方程的关系
2． 理解函数的零点的概念
3． 初步了解判断函数零点所在区间的方法
4． 会用函数图象的交点解释方程的根的意义
5． 能结合二次函数图象与x轴的交点个数判断一元二次方程根的存在性和根的个数
6． 了解函数的零点与对应方程根的关系
[知识要点]
1.函数的零点：一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于0，即f(a)=0，则a叫做这个函数的零点。对于函数的图象，零点也就是这个函数的图象与x轴的交点的横坐标。
2.二次函数的零点性质：
（1） 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。
（2） 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
3．方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数f(x)=0有零点。
[预习自测]
例1．求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根








1
-3
y
4
2
1
3
-1
x
-4
0
例2．如图，是一个二次函数y=f(x)的图象。
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)写出这个二次函数的解析式；
(3)试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系。







例3．二次函数f(x)= ax2+bx+c (x R)的部分对应值如下：
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值，可判断ax2+bx+c=0的两根所在区间是 （ ）
A（-3，-1）（2，4）B（-3，-1）（-1，1） C（-1，1）（1，2）D（-，-3）（4，+）

例4．若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 （ ）
A a<-1 B a>1 C –1
[课内练习]
1．函数f(x)= x2-3x-4的零点是 （ ）
A 1，-4 B 4，-1 C 1，3 D 不存在
2．函数f(x)=x-的零点的个数是 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个
3．已知函数f(x)= mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 （ ）
A （ 0，1 ） B C （-，1） D
4． 关于x的方程|x2-4x+3|-a=x有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________.
5． 对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点。现给定一个实数a(a（3，4）)，则函数f(x)=x2+ax+1的不动点共有______________________________个。
6． 若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求实数a的取值范围。







7． 已知关于x的函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6，当函数图象经过点（0，1）时，试证明函数有两个不等的零点，且分别在（0，1）和（6，7）内。





[归纳反思]
1． 方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式。例如求方程根的个数，就是看对应的函数图象与x轴有几个交点。反过来求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根。
2.函数零点的存在性的判断方法是本节的重点和难点，它指出了函数零点的一种寻找方法。对于连续不断的函数，只需找到一个区间，使区间两端点的函数值异号，就可确定在此区间内至少有一个零点。它的几何意义是函数的图象在此区间上与x轴有交点。如果图象是间断的，虽然在区间两端函数值异号，但图象与x轴不一定有交点，因此不一定有零点。
3.函数在某一区间上单调对零点个数的判断很重要。
[巩固提高]
1．函数f(x)=的零点个数有 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 不确定
2．二次函数y=与x轴至多有一个交点，则k的取值范围是
A B C D
3.函数f(x)=在（-1，1）上零点的个数为 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 不确定
4．无论m取何值时，方程的实根个数为 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
5．函数f(x)=的零点所在的大致区间是 （ ）
A （1，2） B （2，3） C （e, 3 ） D （e + ）
6.函数f(x)=的一个零点为1，则它的另一个零点为____________
7．f (x)=在区间[-3，2]的最值是4，则实数a的值为_________________
8．求下列函数的零点：
（1） y= (2) y=
(3) y=(x-1)() (4) y=()()




9.求下列函数的零点，图象顶点坐标，画出个函数简图，并指出函数值在哪些区间大于零，哪些小于零。
（1）y= (2)y=








10.已知二次函数f(x)= ax2+bx+c
(1)若a>b>c且f(1)=0,证明：f(x)有两个零点。
(2)证明：若对x1, x2R且f(x1,)≠f(x2),则方程f(x)=必有一实数根在区间（x1, x2）内。









二次函数与一元二次方程（二）
[自学目标]
1． 进一步熟悉函数零点的概念
2． 握二次函数根的分布情况
3． 根据函数在零点两侧函数值乘积小于0这一结论解决有关问题。
4． 通过二次函数与一元二次方程的关系掌握二次函数的性质，运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，增强理性思维和逻辑思维能力。
5． 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，表达交流能力。
[知识要点]
1.对二次函数的认定
2.由二次函数图象掌握二次函数的性质
3.二次函数根的分布情况
【预习自测】
例1．已知二次函数y=f(x)的图象过点（0，-8），（1，-5），（3，7）
（1） 求函数f(x)的解析式。
（2） 求函数f(x)的零点。
（3） 比较f(2)f(4),f(1)f(3),f(-5)f(1),f(3)f(-6)与0的大小关系。







例2．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围
（1） 方程x2-ax+a-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2。
（2） 方程ax2+3x+4=0的根都小于1
（3） 方程x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在区间[-1，3]上
（4） 方程7x2-（a+13）x+2a-1=0的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上











例3．关于x的二次方程7x2-(p+13)x+p2-p-2=0的两根满足0，求实数p的取值范围。








例4．若二次函数y=的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m 的取值范围。










[课内练习]
1．二次函数y= x2-4x-(k-8)与x轴至多有一个交点，则k 的取值范围是 （ ）
A （-，4） B（4，+） C（-，4 ] D [ 4，+ ）
2．函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点为 （ ）
A 1 B 0 C 2或0 D 2
3．直线y=kx+与曲线y2-2y-x+3=0只有一个公共点，则k的值为 （ ）
A 0，-， B 0， - C -， D 0，， -
4．已知方程x2-k x+2=0在区间（0，3）中有且只有一解，则实数k的取值范围是______.

5．①关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m的范围。
②关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在内，求m的范围。
③关于x的二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且在[1，3]之外，求m的范围。

④关于x的二次方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m的范围。








Δ6.设二次函数f(x)= x2+x+a(a>0)若f(m)<0, 试判断函数f(x)在（m , m+1 ）内零点的个数。








[归纳反思]
1． 二次函数与二次方程均不能忽略前的系数不为零
2． 方程的根与图象关系
3． 求二次函数最值时要注意讨论。
[巩固提高]
1．设f(x)=的最大值是u(t)，当u(t)有最小值时，t的值为 （ ）
A B C - D -
2．如果函数f(x)=对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么 （ ）
A B
C D
3．已知函数f(x)=，对称轴是x=-2，若时，函数f(x)有最大值5，最小值1，则实数m的取值范围为 （ ）
A m-2 B -4m-2 C -2 m 0 D -4 m 0
4.如果函数f(x)=在区间上减函数，则a的取值范围是 （ ）
A a -3 B a 3 C a -3 D a3
5.若函数f(x)=(m-1)是偶函数，则在区间上f(x) ( )
A可能是增函数，可能是常数函数 B是增函数 C 是常数函数 D 是减函数
6．已知y= 在区间[-2，2]上恒非负，求实数a的取值范围。








7．方程在（-1，1）上有实根，求k的取值范围。







8．方程的两根均大于1，求实数a的取值范围。








9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）。
（1） 若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式
（2） 若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。








10．已知二次函数f(x)=(a,b为常数)且满足条件：f(-x+5)=f(x-3),f(x)=x有等根
（1） 求f(x)的解析式
（2） 是否存在实数m,n使f(x)的定义域和值域分别为[m.n]和[3m,3n],如果存在，求出m,n的值，如果不存在说明理由。












用二分法求方程的近似解
[自学目标]
1.掌握二分法的概念
2.利用二分法求方程的近似解及判断函数零点个数
3.理解二分法，了解逼近思想、极限思想。
4.会利用二分法求方程的近似解
5.会利用二分法求函数零点个数
[知识要点]
１．二分法概念：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
２．用二分法求方程近似解：

选定初始区间
取区间的中点
中点函数
值为零
选取新区间
方程的解满足精确度
结束
是
否
否
是








【预习自测】
例１．利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解（精确到0.1）





例２．用二分法求函数f(x)=x3-3的一个正实数零点（精确到0.01）




例３．求函数y= x3-2x2-x+2的零点，并画出它的图象。






例４．求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确到0.1）





例５．求方程lgx=3-x的近似解。





[课内练习]
1．方程log3x+x=3的近似解所在区间是 （ ）
A （0，2） B （1，2） C （2，3） D （3，4）
2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 （ ）
A y= x2-x x(-∞ ,0) B y=∣x∣-2 x[-1,1]
C y= x5+x-5 x[1,2] D y=x3-1 x( 2,3 )
3. 方程2x+的解在区间 （ ）
A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D以上均不对
4．方程logax=x+1 (0 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
5．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）

0
x
y
0
x
y






A

B
0
x
y

0
x
y







C

D

6．证明：方程2x-的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。








[归纳反思]
二分法求方程的解时需要选定初始区间，它往往需要考虑函数性质，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，还有函数增长速度差异发等等。
[巩固提高]
1．方程的实根个数为 （ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2．方程在区间（2，3）内，根的个数为 （ ）
A 0 B 1 C 2 D 不确定
3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内
A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）
4．函数f(x)= 的函数零点的近似值（精确到0.1）是 （ ）
A 2.0 B 2.1 C 2.2 D 2.3
5．三次方程在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）
A –2与-1之间 B –1与0之间 C 0与1之间
D 1与2之间 E 2与3之间
6．函数y=与函数y=的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）
A 1.3 B 1.4 C 1.5 D 1.6
7．方程在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________
8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b）等分的次数至多是____________
9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。







10．已知函数f(x)= .
(1)证明：f(x)在（-1，+）上为增函数。
（2）证明：方程f(x)=0没有负实数根。
(3)若a=3，求方程f(x)=0的根（精确到0.01）









函数的模型及应用（1）
【自学目标】
1． 能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答；
2． 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感受世界；
3． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.
【知识要点】
解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法，建立恰当的数学模型；能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步骤：
第一步：阅读理解、认真审题；
第二步：引进数学符号，建立数学模型；
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果；
第四步：再转化成具体问题作出规范解答.
【预习自测】
例1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本（万元）、单位成本（万元）、销售收入（万元）、以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式.












例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一 定时间后的 温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.
现在一杯用88热水冲的速溶咖啡，放在24的房间里，如果咖啡降温到需要，那么降温到时，需要多长时间？














例3.在经济学中，函数的边际函数定义为。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1） 求利润函数及边际利润函数；
（2） 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？













例4．如图所示，有一块半径为的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙o的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形的周长与腰长之间的函数式，并写出它的定义域.







【课内练习】
1.某物体一天中的温度T是时间t 的函数T(t)=t3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是0C，当t=0时表示中午12：00，其后t值去为正，则上午8时的温度是（ ）
A.80C B.1120C C.580C D.180C
2.某商店卖A、B两种不同的价格的商品，由于A连续两次提价20℅，同时B连续两次降价20℅，结果都以每件23.04元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ）
A.多赚5.92元 B.少赚5.92元 C. 多赚28.92℅ D.盈利相同
3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示，每付出100元的广告费，所得销售额是1000元，问该企业应投入 广告费，才能获得最大的广告效应。
4.生产某商品x吨的费用是1000+5 +元，出售这种商品x吨的价格是每吨元，其中a、b是常数，若生产的产品都被卖掉，并且当生产量是150吨时利润最大，这时每吨价格是40元，则a、b的值分别是 。
【归纳反思】
１.审好题，审题注意取准自变量与函数值，不要盲目取变量，另外，审题时，切不可在一些规定的专用名词上纠缠。
２.列出函数解析式时，注意实际问题对自变量取值范围的限制。
３.建立函数模型后，需解答函数模型，解答主要是方程求解，函数性质的讨论，有时用到不等式，因此，对计算能力要求较高，另外，在涉及近似计算时，要注意问题的实际意义，切不可采取简单处理的方法，是用四舍五入法，还是用进位法或取整法，都应视实际情况而定。
【巩固提高】
1.某种菌种在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过3小时，一个菌种可繁殖为（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
2.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致是（ ）






3.用活动拉门（总长为a）靠墙围成一矩形场地（一边利用墙），则可以围成的场地的最大
面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知镭经过100年剩留质量是原来质量的0.9567，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y关于x的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
5.某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率是
6.某厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：，则总利润L（Q）的最大值是 万元，这时产品的生产数量为 （总利润=总收入-成本）.
7.从盛满aL（a是常数）纯酒精的容器中倒出1L，然后用水填满，再倒出1L混合液后又用水填满，这样继续下去，如果倒第n次（n1）时共倒出纯酒精xL，设倒第（n+1）次时共倒出f（x）L，则函数f（x）的表达式为 .
8.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆没月需要维护费50元。
（1） 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？





（2） 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？









9.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）＝假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律。
（１） 要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
（２） 工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？












函数模型及其应用（2）
【自学目标】
1.学会分析问题，准确地选择函数模型；
2. 学会解决常见的函数问题，如增长率问题、最佳效益问题；
3. 培养分析问题、解决问题的能力.
【知识要点】
1.用已知函数模型解决实际问题
数学应用题一般文字叙述较长，反映的时间背景新颖，知识涉及广，
这就要求 有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力.
2.增长率问题
在实际问题中，常常遇到平均增长率问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值为y，用公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率，要用这个公式.
3.最佳效益问题
实际问题中中的最佳效益问题，即函数的最值问题.求函数最值的方法
较多.
【预习自测】
例1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的费用分别为400元和800元，从乙地调运一台到A地、B地的运费分别是300元和500元
（1） 若从乙地要调运x台至A地，求总运费y（元）与x之间的函数关系式
（2） 若总运费不得超过9000元，问共有几种调运方案
（3） 求出总运费最低的调运方案及最低的运费









例2.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨与空闲率和实际增长量x 的乘积成正比，比例系数为k（k>0）。（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）
（1） 写出y 关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2） 求鱼群年增长量的最大值；
（3） 当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.











例3.在某服装批发市场，季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每天削价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1） 试建立价格p（元）与周次t之间的函数关系；
（2） 若此服装每周进价q（元）与周次t 之间的关系式为，试问该服装第几周每件销售利润最大？







例4.某城市现有人口数为100万人，如果年增长率为1.2%，试解答以下问题：
（1） 写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2） 计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3） 计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）
（4） 如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？








【课内练习】
1.某种植物生长发育的数量y与时间x 的关系如下表：
x
1
2
3
……
y
1
3
8
……
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知A、B两地相距150km，某人开车以60km/h的速度从A到达B地，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间变化的关系式是
3.某厂年生产化肥8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨，
则平均每年增长的百分数是（精确到0.1%）
参考数据：





4. 设距地面高度x（km）的气温为y（℃），在距地面高度不超过11km时，y随着x的增加而降低，且每升高1km，大气温度降低6℃；高度超过11km时，气温可视为不变。设地面气温为22℃，试写出的解析式，并分别求高度为3.5km和12km的气温。





【归纳反思】
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了.
【巩固提高】
1.（一次函数模型）某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（ ）
A310元 B300元 C290元 D280元









2.（二次函数模型）将进货单价为8元的某商品按10元一个售出时，能卖出200个，已知这种商品每涨价1元，其销售量减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（ ）
A11元 B12元 C13元 D14元
3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率之间的关系如下：
每间每天定价/元
20
18
16
14
住房率
65℅
75℅
85℅
95℅
要使每天收入达到最高，每天定价应为（ ）
A20元 B18元 C16元 D14元
4.（分段函数模型）电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象（如下图）可表示为（ ）



















5.某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天长成4米，那么长成0.25米要（ ）
A1.25天 B5天 C16天 D12天
6.有一批材料可以建成长200米的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积是 .



7.十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：，各种家庭的n如下表所示：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60℅
50℅ ≤60℅
40℅ ≤50℅
30℅ n≤30℅
根据某地区家庭抽样调查统计预测1998年至2005年间每户家庭支出总额每年平均增加1000元，其中食品消费支出总额每年平均增加300元。
（1）若1998年该地区家庭刚达到温饱，且该年度消费支出总额为10000元，问2003年能否达到小康？请说明理由。
（2）若2003年比1998年的消费支出总额增加40%，而其中食品消费支出总额增加20%，问2005年能否达到小康？请说明理由。










8.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水前吨，水厂每小时向池中注入2千吨水，同时向全市供水，小时内供水总量为，问：
（1）多少小时时池内水量最少？
（2）当蓄水池水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么出现这种紧张情况有多长时间？
（3）为了保证生产，生活的需要，决定扩大生产每小时向池内注水3千吨，能否消除供水紧张现象？为什么？








9.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征收8元（收税率为8个百分点，即8%），计划可收购万担，为减轻农民的负担，决定税率降低个百分点，这样收购量预计可增加个百分点。
（1）写出税收（万元）与的函数关系式；
（2）当不低于2个百分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要减少多少个百分点？











函数的模型及应用（3）
【自学目标】
1. 学会分析问题，思考问题，准确地选择解决问题的方法和模型；
2. 学会解决常见的函数应用问题，如图表问题、拟合函数问题；
3. 进以步培养分析问题、解决问题的能力.
【知识要点】
1.拟合模型
2.离散点问题

【预习自测】
例1.如右图所示，表示一位骑自行车者
和一位骑摩托者在相距为80km的
两城镇间旅行的函数图象，由图可
知：骑自行车者用6小时(含途中
休息的1小时)，骑摩托者用了2
小时，有人根据这个函数图象，突
出了关于这两个旅行者的如右信息：
(1) 骑自行车者比骑摩托者早出发3小时，晚到1小时；
(2) 骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动；
(3) 骑摩托者在出发1.5小时后追上了骑自行车者
其中正确信息的序号是
例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过800元的部分
5％
超过800元至2000元的部分
10％
超过2000元至5000元的部分
15％
……
……
某人一月份应交纳此项税款26.78远，则他的当月工资、薪金得介于（ ）
A.800—900元 B.900—1200元 C.1200—1500元 D. 1500—2800元

例3.现测得的两组值为，现有两个拟合模型甲：，乙：，若又测得的一组对应值为，则应选用 作为拟合模型较好

例4.某厂1月、2月、3月、生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量与月份的关系。模拟函数可选择二次函数或函数（为常数），已知四月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作模拟函数较好？








【课内练习】
1.今有一组实验数据如下：

1.99
3.0
4.0
5.1
6.12

1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
2.画出以下4个点：(15，7)，(50，25)，(60，34)，(100，80)，根据散点图，以下四种趋势，不应该选用（ ）
A.指数 B. 乘幂 C.二次函数 D.对数
3.设本金为a元，每期利率为r，本利和为为y，存期为x，按复利计算利息，则本利和y随存期x变化的函数式为
4.下图是一份统计图表，根据此图表可以得到的以下说法中，正确的有 （ ）








①这几年人民生活水平逐年得到提高；
②人民生活费收入增长最快的一年是2000年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；
④虽然2002年生活费收入增长较缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
【归纳反思】
常见的函数模型的应用实例主要包括两个方面：建立确定性函数模型解决实际问题与建立拟合函数模型解决实际问题。
（1）确定性函数模型
这类应用题中提供的变量关系是确定的，求解时按下面的步骤：①认真审题，通过阅读理解，读懂题意，关键找出题目中的自变量与函数值所满足的等式；②赋于自变量与函数值符号，常用x，y表示，由已分析出的等式列出y关于x的函数关系式，这个函数关系中可能含有待定的系数，则需进一步由已知条件求出待定系数；③利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答；④转译为具体问题作答，简单的说即审题-建模-求模-还原。
（2）不确定性函数模型，或称拟合函数模型
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出两个变量的几组对应值，求解这类函数模型的一般步骤为：画散点图选择函数模型用待定系数法求函数模型检验，若符合实际，可用此函数模型解决实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作以上过程。另外，以上过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合，在“添加趋势线”工具栏中，提供了线性、对数、指数、多项式等多种数学模型，可供择优选用。
常见函数模型可分为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型，对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型等。

【巩固提高】
1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y（km）与时间t（h）之间的函数关系式是（ ）
A.y=2t B.y=120t C.y=2t (t>=0) D.y=120t (t>=0)
2.用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是 .
3.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两天每天收0.8元，以后每天收0.5元.那么一张光盘在租出后的第n天（）应收的租金是 元。
4.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，如果“十五”期间（2001年-2005年）每年我国国内生产总值按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A115000亿元 B120000亿元 C 127000亿元 D135000亿元
5.有一个空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地
注水，直至把容器注满，在注水过程中，水面的高
度曲线如图29-1所示，其中PQ为一线段，则与图
相对应的容器的形状是（ ）





6.如下图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，为公路，图中所示线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为3：2：1：5，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比，现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）
(A) P (B) Q (C) R (D) S




7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量(桶)
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？










8.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少，能获得的最大利润是多少？













9.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间(小时)之间近似满足右图所示曲线
(1)写出服药后与的函数关系；








(2) 据测定：每毫升血液中含药量不少于4时治疗疾病有效，假如病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共四次)效果最佳？

参考答案
§1.1.1集合的含义及其表示
预习自测:
例1．
解:（1）可以表示为;
（2）其中的对象没有明确的标准,不具备确定性,故不能组成一个集合;
（3）可以表示为;
（4）空集,;
（5）可以构成集合,集合是.
例2． 选D 例3. 例4. 或
课内练习:
1．D 2．D 3．A； 4．{0,1,2}； 5．{4，9，16}；
巩固提高：
1．A 2.D 3.B 4.B 5.C 6. 7.
8.⑴;⑵; 9.a=或.
10.;;



1.1.2子集、全集、补集
预习自测:
例1．⑴、⑵、⑶、⑷都是正确的，而⑸和⑹是错误的.
例2．的所有子集为,,.
例3．
例4．的值为.
例5．⑴由，得≤； ⑵由，得≥；
⑶因为=，，由 ，得.
课内练习:
1．B； 2．B； 3．C； 4．2；
5．（Ⅰ）由于MN，则，解得a∈Φ.
（Ⅱ）①当N=Φ时，即a＋1＞2a－1，有a＜2；
②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，
综合①②得a的取值范围为a≤3.
巩固提高：
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6. 7. 8.
9. 10.⑴ ⑵ ⑶


交集、并集
[预习自测]
例1、，R，例2、A={2，5，13，17，23} B={2，11，17，19，29}，例3、{2，3，5，—5}
[课内练习]
1、[2，3] 2、[0，1] 3、（1）直线（2）圆 4、{（1，2）} 5、A或B，Z，A或B
[巩固提高]
1、f 2、（1，2），R 3、 a≥4 4、{5}，{3，5}，{1，5}，{1，3，5} 5、A
6、1，5 7、3， 8、，{2，，—1} 9、66，36，98，80 10、a=1或a≤—1， a=1

集合复习课
[预习自测]
例1、 —1， 例2、 P≥4 ，例3、 x= —1
[课内练习]
1、（1）a≤3 ，（2）a≥3，（3）a＜3 2、{y|y≥1} 3、f 4、7个
Ì
≠
[巩固提高]
1、 D 2、C 3、20个 4、M N 5、{(3，—1)} 6、{3，5}，{2，3} 7、
8、2 9、0，或 10、—1，0


§2.1.1函数的概念与图象（1）
预习自测：
例1：略； 例2：选； 例3：选； 例4：；；
课内练习:
1．D 2．A 3．D 4． 5．
巩固提高：
1.D 2.D 3.B 4.A
5. =5; ; 6.;
7. 8. =9 9. 10.;

§2.1.1函数的概念与图象（2）
预习自测：
例1：（1）定义域；（2）；（3）；（4）
例2：分析：本题注意到矩形的长2、宽都必须满足2和，
因此所求解析式（表达式）是，定义域是。
例3：（1）[]； （2）[。
课内练习:
1.A 2.B 3. 4. 5.
巩固提高：
1.D 2.B 3.C 4. 5. R; 6.
7.⑴ ⑵ ⑶ 8.
9. ; 图略 10.

§2.1.1函数的概念与图象（3）
预习自测：
例1:（1）值域：;（2）值域：[1，）；（3）{︱且}；
（4）值域：（-1，1];（5）值域：（；变题的值域：[-12，3]； （6）值域：[，
例2:
课内练习:
1.C 2.C 3.A 4. 5.;
巩固提高：
1.C 2.D 3.C 4. 5. 6.
7.⑴;⑵;⑶;⑷;
⑸⑹
8.

§2.1.1函数的概念与图象（4）
预习自测：
例1:（1）值域是[2，5]；
(2)值域是{-1，1}；



(3)值域是[0，；(4)值域是[-3，







(1) (2)







(3) (4)
例2:选A

例3:输入值是离开家的时间，函数值是离开家的距离。
结合图象（1）选D；(2)选A；（3）选B。

课内练习:
1．B 2.C 3.A 4.B 5.图略
巩固提高：
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.图略 8.
9. 10.⑴; ⑵; 图略
§2.1.2 函数的表示方法
预习自测：
例1:　解：（1）解析法：y=2x，．
　　　(2)　列表法：
x/听
1
2
3
4
y/元
2
4
6
8
(3) 图象法：

函数的值域是｛2，4，6，8｝
例2: 解：（1）设f(x)＝kx+b，用待定系数法求出f(x)＝－2x＋1，或f(x)＝2x－．
　　 （2）令2x－3＝t，则x=，f(t)= ，
　　　　即f(t)＝，所以f(x)＝
例3: 略;
例4:(1)　f(-3)＝2　　 f[f(－3)]＝4; （2）a的值为－或
课内练习:
1. ; 图略;
2.或; 3.;
4.
巩固提高：
1.D 2.B 3.A 4.D 5.29
6.19 7. 8. 图略
9.面积为1
10.⑴ 定义域为 ⑵图略.


函数的单调性（一）
[预习自测]
例1、（1）图略，增区间减区间 （2）增区间和
例2、证：定义域为{x|x≥0} 设0≤x1＜x2 则
∵x1—x2＜0，，∴∴f(x)在定义域上为减函数。
例3、 略
[课内练习]
1、增 2、增 3、B 4、减，和 5、略
[巩固提高]
1、D 2、C 3、A 4、D 5、和 6、， 7、略 8、略 9、f(9)＜f(—1)＜f(13) 10、（0，1）

函数的单调性（二）
[预习自测]
例1、（1） （2）当a＞0时，最小值为a+1，当a＜0时，最小值为3a+1
例2、最大值17，最小值9
例3、略
[课内练习]
1、 B 2、无，有 3、3 4、f(c) 5、略
[巩固提高]
1、D 2、B 3、D 4、A 5、，—1 6、—4 7、ymax=，ymin=—15 8、当a＜0时fmin= —1 ，当0≤a≤ 2时，fmin= —1—a2，当a＞2时，fmin= 3—4a 9、a＜—1
10、f(x)=x2—6x+10 ，m=，n=26

函数的奇偶性
[预习自测]
例1、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）偶函数 （4）非奇非偶函数
（5）非奇非偶函数 （6）奇函数
例2、（1）奇函数（2）增函数（3）
例3、


[课内练习]
1、C 2、C 3、—16 4、—1 5、0，—6
[巩固提高]
1、A 2、C 3、D 4、B 5、0 6、0 7、 8、q≤p 9、m=0，fmin= n 10、

映射的概念
[预习自测]
例1、 AD 例2、（1）3，5，7 （2）0，3，8例3、 4个
[课内练习]
1、B 2、⑴ Ö ⑵Í⑶Ö ⑷Í3、A={} 4、a = 0 ，b=1 5、D
[巩固提高]
1、D 2、D 3、D 4、（5，5）5、f：x® 4x2+4x 6、
7、f：x®x+4 8、8
9、⑴（2，23），⑵（2，1），⑶（0，）
10、a=2，k=5，A={1，2，3，5}B={4，7，16，10}

2.2.1 分数指数幂(1)
例1
例2
例3
例4 0;
课堂练习:
1. 0;
2.
3.
4.
5. 0
巩固提高:
1-4 AACC
5. 2x-18
6. -3
7.
8. 6
9.
10.

2.2.1 分数指数幂(2)
例1
例2
例3 7；47；8；3
例4 <<<
课堂练习:
1. 4；
2. 18
3.
4. 1
5.
巩固提高:
1-4 DDCB
5. -1或2
6. <<<
7. 1
8. x=-1
9. 24
10. a

2.2.2指数函数(1)
例1 (2)(6)(8)
例2 (1) 1； (2) ； (3)
例3 < < >
课堂练习:
1. B
2. (3,4)
3. y轴
4. a = 2
5.
巩固提高:
1-4 AADA
5.
6.
7.
8.
9. a = 2
10. 当时， >；当时，>
2.2.2指数函数(2)
例1

例2 (1) 增，(2,+)减； (2)(- ,-1)增，(-1,+ )减
例3 (1)定义域; 值域;
(2)定义域R；值域(1,+ )
例4 (1) 偶函数；(2)奇函数
例5 最大值13，最小值4
课堂练习:
1-2 BD
3. (-,3]
4. (-1,1)
5. [1,3)
巩固提高:
1-4 CBBA
5.
6.
7. 0
8.
9.
10. (1) 1； (2) 500

2.2.2指数函数(3)
例1
例2 奇函数
例3 第九次 ； 第十次
例4 (1)甲: 230n+1270;
乙: 2000(1+5%)
(2)乙公司
课堂练习:
1-2 DB
3.
4. (-,]增; (,+)减 5. 或3
巩固提高:
1-4 CBCD
5. [-1,0]
6. 7.
8. a=16
9. (1)
(2)
10. (1)令x=y=0,f(0)=1;
(2)令y=-x;
(3)由(2)知f(x-y)=f(x)f(-y)=; (4)设,则,
>1,得证.

对数的运算性质
答案:
【课堂练习】1. 2.-2 3.1
【巩固反思】1.B 2.D 3. 4.1000 5. 6. 7.2

对数函数(3)
答案: 【课堂练习】1.(1.0) (2,-1) 2. 3. 1
【巩固反思】1.D 2.B 3.D 4.略 5. 略 6.

幂函数（一）
课内练习答案：
1）
（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数
2） 3） D 4）图略
5） （1） （2）
（3）
巩固提高答案：
1） C
2） （2）（4）
3） C
4） C
5） D
6） D
7） A
8）
9）
10）
11） （1） （2）
（3）
12）解：由题得 对恒成立
（1）当时，


得：或
又因为

（2）当时 不可能
（3）当时 不可能
综上所述：
幂函数（二）
课内练习
1） A
2） B
3） 单调增区间：
单调减区间：
4）单调增区间：
单调减区间：
5）
非奇非偶函数
在上单调递减
巩固提高
1）
2）



3）B
4）
5) 略
6）
7）（1）
（2）
8） D
9）定义域：
值域：
单调减区间：
奇偶性：非奇非偶函数
10）（1）
（2）：非奇非偶函数；：奇函数
（3）图略


二次函数与一元二次方程（一）
例题：
1．方程有两个不相等的实数根。
2．（1）零点是
（2）令f(x)=a(x+3)(x-1) f(-1)=4 a=-1
f(x)=-(x+3)(x-1) 即f(x)=--2x+3
(3) f(-4)f(-1)<0, f(0)f(2)<0
3.(A)
4.(B)
课内练习：
1：B 2：C 3：B 4：-1和 5：2个 6：a=0或a=
7：∵f(x)过点（0，1） ∴2m+6=1
∴m= ∴f(x)=
∴△=49-4=45>0 ∴f(x)有两个不等的零点。
又∵f(0)=1,f(1)=-5, f(6)=-5,f(7)=1
∴f(0)•f(1)<0, f(6)•f(7)<0
∴f(x)在（0，1）和(6,7)内分别各有一个零点。

巩固提高：
1：C 2：C 3：B 4：C 5：B 6：-2 7：5或-4
8：（1）7和-2 （2）4和-5 （3）1和 （4）和1和2
9：（1）零点：3 顶点（3，-2） 图象略
当时，y<0,当时，y>0.
(2) 零点: 顶点（-1,3） 图象略
当时，y<0,当时，y>0.

10: （1）f(1)=0, ∴a+b+c=0
令f(x)=0,则 ∴△=
又a>b>c ∴△>0∴f(x)有两个零点。
（2）令F（x）=f(x)-则F（）=f()-=
F（）=f（）-=
∴F（）F（）=<0 ∴F(x)=0在（）上必有一个实数根，
∴方程f(x)=必有一实数根在区间（x1, x2）内。


二次函数与一元二次方程（二）
例题：

1． -8=c a=1
(1)设f(x)=a+bx+c,则 -5=a+b+c b=2
7=9a+3b+c c=-8

f(x)= +2x-8
(2)零点为
（3）f(2)f(4)=0 f(1)f(3)<0 f(-5)f(1)<0 f(3)f(-6)>o
2．（1）a>-3 (2) 3 f(0)>0
f(1)<0 3 f(2)>0

4.m<或
课内练习：
1：C 2：D 3：A 4：k>或k= 5：(1) (2)
(3) (4) 6：1个零点
巩固提高：
1：D 2：A 3：B 4：A 5：A 6： 7：
8： 9： （1）f(x)= (2) 10：(1) f(x)= (2)存在，m=-4,n=0.
用二分法求方程的近似解
例题：
1．x
2 .x
3.零点是x=2,x=-1,x=1 (图略)
4．x0.7
5.x2.6
课内练习：
1：C 2：C 3：A 4：B 5：A 6：略.

巩固提高：
1：D 2：B 3：B 4：C 5：ABD 6：D 7：1.32 8：10次 9：2.54
10：（1）用函数单调性定义法证明（略）
（2）当时，f(x)恒大于0， 所以方程f(x)=0在内无解。
由（1）知方程f(x)=0在上至多有一个实数根，由f(0)=-1<0,f(2)=>0,所以f(x)=0在（0，2）内必有一个实数根，因此方程没有负实数根。
（3）当a=3时，方程为，设f(x)=, 可用二分法求得方程的根为0.28.

参 考 答 案
函数的模型及应用（1）
【预习自测】
例1. 例2. 例3.（1）（2）不具有相同的最大值 例4

【课内训练】
1.A. 2.B. 3.2500元. 4.37.5；60.
【巩固提高】
1.B. 2.D. 3.C. 4.A. 5..6.250，300.7..8.（1）88.（2）4050元，307050元.9.（1）大于100台，而小于820台.（2）生产400台时赢利最大，每台240元.


函数的模型及应用（2）
【预习自测】
例1.（1）（2）有3种 （3） 例2.（1）（2）（3） 例3.（1）（2）第5周，利润最大 例4（1） （2）112.7万 （3）15 （4）

【课内训练】
1.B 2..3..4.当时， 当时.
【巩固提高】
1. 2. 3. 7.略 8.（1）4小时（2）8小时 9.（1）（2）22


函数的模型及应用（3）
【预习自测】
例1.（1）（2） 例2 例3.甲 例4选用较好

【课内训练】
1. 2. 3. 4.
【巩固提高】
1. 2. 3.4. 5. 6. 7.元 8.甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元 9.（1）（2）第二次11：00，第三次16：00，第四次20