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高一上学期寒假作业 数学
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这是一份高一上学期寒假作业 数学，共10页。试卷主要包含了认真核对答案，红笔纠错，学习升学e网通上推送的视频，5元C．5元D．5等内容，欢迎下载使用。
目录
数学2020-2021学年寒假数学作业任务 1
第2章章测基础（新教材A版） 3
第3章章测基础（新教材A版） 5
第4章章测基础（新教材A版） 7
第5章章测基础（新教材A版） 9
综合测基础（新教材A版） 12
第6章6.1 平面向量的概念（新教材A版） 16
第6章6.2.1 向量的加法运算 21
第6章6.2.2 向量的减法运算 27
第6章6.2.3 向量的数乘运算 31
6.2.4 向量的数量积 37
数学2020-2021学年寒假数学作业任务
一、 完成高一寒假作业6套数学试题，要求：
1.独立完成每套题后，将答案上传到升学e网通
2.认真核对答案，红笔纠错
二、预习必修2《平面向量》第一章的前5节，要求：
1.认真阅读教材内容，对于重难点内容要反复阅读，力争理解
2.独立完成预习作业
3.学习升学e网通上推送的视频
20-21学年寒假数学必修1
第1章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是( )
A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形
2．若集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}，则B＝中元素的个数为( )
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
3．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列说法中，正确的个数是( )
①存在一个实数x，使－2x2＋x－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知p：0＜x＜1，那么命题p的一个充分条件是( )
A．1＜x＜3 B．－1＜x＜1 C．＜x＜ D．＜x＜5
6．已知集合A＝{(x，y)|x＋2y－4＝0}，集合B＝{(x，y)|x＝0}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{(0,2)} C．(0,2) D．∅
7．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩≠∅，则( )
A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3 C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3
8．已知方程ax2＋x＋b＝0，若方程的解集为{1}，则实数a，b的值分别为________．
9．命题“∃x∈{x|x＞0}，使＜x”的否定为________命题．(填“真”或“假”)
10．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝________.
11．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
12．写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性．
(1)末位数是0的整数，可以被5整除；
(2)负数的平方是正数；
(3)梯形的对角线相等．
13．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．
第2章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．若a，b∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2
3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )
A． B． C． D．
4．若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
6．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
8．若实数a、b满足＋＝，则ab的最小值为________．
9．当x＞3时，求的取值范围．
10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
11．已知：a，b，c∈(0，＋∞)．求证：··≤.
12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
第3章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关于的说法中正确的是（ ）
A．的图象都过定点（0,0）和（1,1） B．的图象一定不经过第四象限
C．为奇函数或偶函数 D．在其定义域内都是单调函数
3．下列表示相等函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与.
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
4．设是定义在上的偶函数，则( )
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．函数的值域是( )
A． B． C． D．
6．2020年初，“新冠肺炎”疫情来势汹汹，口罩等防疫物资紧缺。某工厂响应政府号召，春节不放假生产口罩.前3个月产量逐步增长，后3个月产量趋于稳定，则该厂半年来口罩的总产量与时间（月）的函数关系图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若在上是单调增函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二． 填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．已知函数，若，则________.
10．定义则函数的最小值为________.
三． 解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．已知函数
（1）在下图的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
（2）求不等式的解集。
12．已知的定义域为，且满足：，．当时，.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）求不等式的解集.
第4章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则
A． B． C． D．
2．函数是
A．上的增函数 B．上的减函数
C．R上的增函数 D．R上的减函数
3．已知，则
A． B． C． D．
4．已知函数则
A．1 B．2 C．3 D．
5．已知，若a是函数的一个零点，则a的值为
A．4 B． C．16 D．
6．设函数与的图象关于直线对称，其中且．则a，b满足
A． B． C． D．
7．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出9万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本，若使提价后的销售总收入不低于27万元，则提价后的价格至多是
A．3元 B．4.5元 C．5元 D．5.5元
8．表示不超过的最大整数，例如．已知是方程的根，则
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．函数图象所过的定点坐标是 .
10．函数，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
12．已知函数的图象经过点．
（1）求a，并比较与的大小；
（2）求函数的值域．
第5章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．下列角的终边可以落在轴非正半轴上的有（ ）
①；②；
③；④.
A．②③ B．②④ C．①②④ D．①②③
4．已知角的终边与单位圆的交点为,则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．函数的图象的一部分如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于点对称
C．是函数的一条对称轴
D．函数的最小正周期为
7．函数，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的两个相邻零点距离为，当时，方程恰有三个不同的实数根，则（ ）.
A．1 B．2 C． D．4
四. 填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．已知，，则______.
10．已知函数与的图象完全一致，为了得到函数的图象，需将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则的单调增区间为_______.
四． 解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．已知函数.
（1）求的振幅和最小正周期；
（2）求不等式的解集.
12．已知.
（1）化简；
（2）若，且，求；
（3）若，求
20-21学年寒假数学必修1
综合测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个备选项只有一
项符合要求）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上最小值为，则（ ）
A．1或2 B．1 C．1或 D．
6．设定义在上的奇函数满足，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的图象与函数的图象没有公共点，则实数的值可以为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．以下有关命题的说法错误的命题的序号是（ ）
（1）．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球
（2）．已知,是实数，那么“”是的必要不充分条件；
（3）．若则
（4）．幂函数在时为减函数，则2
10．若正数满足，则的最小值为（ ）
11．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若存在，使得则=（ ）
12．函数 在单调递增，则的最大值是（ ）.
三、解答题：本题共3小题，第13题10分，第14~15题各15分，共40分。
13．已知函数，（常数），，且图像与函数的图像关于直线对称，对任意都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）当时恒成立，求m的取值范围
14．已知函数，
（1）用“五点作图法”作出函数的图象，并求函数的周期及对称中心
（2）解不等式
15．定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，则称函数具有性质P.
（1）判断函数，是否具有性质P？请说明理由；
（2）若函数具有性质P，求证：，并证明函数在至少有7个零点
20-21学年寒假数学必修2
第6章6.1 平面向量的概念（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
[新知初探]
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有 又有 的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素： 、 、 ．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作 ．
④长度：线段AB的 也叫做有向线段的长度，记作 .
(3)向量的表示
■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向 或 的非零向量，也叫做 ．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量 ，即对任意向量a，都有 ．
(2)相等向量：长度 且方向 的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．( )
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( )
(3)向量的模是一个正实数．( )
(4)向量就是有向线段．( )
(5)向量与向量是相等向量．( )
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(7)零向量是最小的向量．( )
已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________．
【探究互动】
探究点一 向量的相关概念
【例1】给出下列命题：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
【跟踪训练】
1．下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
2．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
探究点二 向量的表示
【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【规律方法】
用有向线段表示向量的步骤
【跟踪训练】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
探究点三 共线向量与相等向量
【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
【互动探究】
1．[变条件、变问法]本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
2．[变问法]本例条件不变，与共线的向量有哪些？
【规律方法】
共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
【跟踪训练】
1．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
第6章6.2.1 向量的加法运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
平面向量加法的几何意义
理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义
数学抽象、直观想象
平行四边形法则
和三角形法则
掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，
会用它们解决实际问题
数学抽象、直观想象
平面向量加法的运算律
掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算
数学抽象、数学运算
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
2．向量加法的运算律有哪两个？
[新知初探]
1．向量加法的定义及运算法则
定义
求 的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝ ＝
图形
法则
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB
结论
对角线就是a与b的和
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0 ＝
■名师点拨
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b 时等号成立．
3．向量加法的运算律
交换律
a＋b＝
结合律
(a＋b)＋c＝
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( )
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝( )
A．a B．B C．0 D．a＋b
在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝________．
【探究互动】
探究点一 平面向量的加法及其几何意义
【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【规律方法】 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
【跟踪训练】如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
探究点二 平面向量的加法运算
【例2】化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
【跟踪训练】
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b； ②＋＝0； ③＝＋＋.
A．②③ B．② C．① D．③
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
探究点三 向量加法的实际应用
【例3】某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【规律方法】
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
【跟踪训练】如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
【达标反馈】
1．化简＋＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
4.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，
求作：(1)＋；
(2)＋.
第6章6.2.2 向量的减法运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的概念
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
数学抽象、直观想象
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？
[新知初探]
1．相反向量
(1)定义：与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向差，记作 ，并且规定，零向量的相反向量仍是 ．
(2)结论
①－(－a)＝ ，a＋(－a)＝(－a)＋a＝ ；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝ ，b＝ ，a＋b＝ ．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝ ．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
■名师点拨
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量．( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝ C.－＝ D.＋＝0
设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
【探究互动】
探究点一 向量的减法运算
【例1】化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1．下列四个式子中可以化简为的是( )
①＋－；②－；③＋；④－.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
2．化简下列向量表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
探究点二 向量的减法及其几何意义
【例2】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
【跟踪训练】如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
探究点三 用已知向量表示其他向量
【例3】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.
【跟踪训练】
1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试证明：a－b＋c＝.
【达标反馈】
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A. B.
C. D.
2．化简：－＋－＋＝________．
3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
第6章6.2.3 向量的数乘运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【课标要求】
【知识导学】
知识点一 向量的数乘
知识点二 实数与向量的积的运算律
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【新知拓展】
1．对λa的理解
(1)可以将a的长度扩大(|λ|>1时)，也可以缩小(|λ|<1时)；同时可以不改变a的方向(λ>0时)，也可以改变a的方向(λ<0时)，与a的方向相反．
(2)当λ＝0时，λa＝0，而当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：λ＋a，λ－a无意义．
2．对两向量共线的条件的理解
(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量．可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题．
(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a＝0，b≠0时，不存在实数λ使得b＝λa；若a＝0，b＝0，则存在不唯一的实数满足等式．
(3)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μ a＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若λ≠0，则b＝a，若μ≠0，则a＝b，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有λ＝μ＝0.
(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ使μa＋λb＝0，则a与b共线．
【评价自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(3)若a＝4e，b＝－8e，则a＝－2b.( )
2．做一做
(1)下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
(2)下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
(4)已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________(填“共线”或“不共线”)．
【题型探究】
题型一 向量的数乘运算
例1 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[规律方法] 向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[跟踪训练1]
(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
题型二 向量的线性运算的应用
例2 如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
[互动探究] 在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
[规律方法] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
[跟踪训练2]
如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
题型三 共线向量定理的应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[变式探究] 本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定k的值．
[规律方法] 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
[跟踪训练3]
(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
【随堂达标】
1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
2．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
4. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
5．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.2.4 向量的数量积
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
向量的夹角
理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
理解平面向量数量积的含义并会计算
数学抽象、数学运算
投影向量
理解a在b上的投影向量的概念
数学抽象
向量数量积的性质和运算律
掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用
数学运算、逻辑推理
【问题导学】
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
【新知初探】
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b ；
②当θ＝时，向量a与b ，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b ．
■名师点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .
规定零向量与任一向量的数量积为 ．
■名师点拨
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e.
■名师点拨
当θ＝0时，＝|a|e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－|a|e.
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔ ． (3)当a与b同向时，a·b＝ ；
当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝ 或|a|＝ (4)|a·b| |a||b|.
■名师点拨
对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)．
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．
■名师点拨
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.( )
(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．( )
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．
【探究互动】
探究点一 平面向量的数量积运算
【例】(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·.
【互动探究】
[变问法]若本例(2)的条件不变，求·.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
【跟踪训练】
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________．
探究点二 向量模的有关计算
【例2】(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2 C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【跟踪训练】
1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
探究点三 向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
【例3】(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．
命题角度二：证明两向量垂直
【例4】已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
【例5】(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B．
C．± D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
【跟踪训练】若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．
【达标反馈】
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B. C. D.
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
目录
数学2020-2021学年寒假数学作业任务 1
第2章章测基础（新教材A版） 3
第3章章测基础（新教材A版） 5
第4章章测基础（新教材A版） 7
第5章章测基础（新教材A版） 9
综合测基础（新教材A版） 12
第6章6.1 平面向量的概念（新教材A版） 16
第6章6.2.1 向量的加法运算 21
第6章6.2.2 向量的减法运算 27
第6章6.2.3 向量的数乘运算 31
6.2.4 向量的数量积 37
数学2020-2021学年寒假数学作业任务
一、 完成高一寒假作业6套数学试题，要求：
1.独立完成每套题后，将答案上传到升学e网通
2.认真核对答案，红笔纠错
二、预习必修2《平面向量》第一章的前5节，要求：
1.认真阅读教材内容，对于重难点内容要反复阅读，力争理解
2.独立完成预习作业
3.学习升学e网通上推送的视频
20-21学年寒假数学必修1
第1章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是( )
A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形
2．若集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}，则B＝中元素的个数为( )
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
3．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列说法中，正确的个数是( )
①存在一个实数x，使－2x2＋x－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知p：0＜x＜1，那么命题p的一个充分条件是( )
A．1＜x＜3 B．－1＜x＜1 C．＜x＜ D．＜x＜5
6．已知集合A＝{(x，y)|x＋2y－4＝0}，集合B＝{(x，y)|x＝0}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{(0,2)} C．(0,2) D．∅
7．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩≠∅，则( )
A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3 C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3
8．已知方程ax2＋x＋b＝0，若方程的解集为{1}，则实数a，b的值分别为________．
9．命题“∃x∈{x|x＞0}，使＜x”的否定为________命题．(填“真”或“假”)
10．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝________.
11．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
12．写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性．
(1)末位数是0的整数，可以被5整除；
(2)负数的平方是正数；
(3)梯形的对角线相等．
13．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围．
第2章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．若a，b∈R，则下列命题正确的是( )
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2
3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )
A． B． C． D．
4．若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
6．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________．
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
8．若实数a、b满足＋＝，则ab的最小值为________．
9．当x＞3时，求的取值范围．
10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
11．已知：a，b，c∈(0，＋∞)．求证：··≤.
12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
第3章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列关于的说法中正确的是（ ）
A．的图象都过定点（0,0）和（1,1） B．的图象一定不经过第四象限
C．为奇函数或偶函数 D．在其定义域内都是单调函数
3．下列表示相等函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与.
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
4．设是定义在上的偶函数，则( )
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．函数的值域是( )
A． B． C． D．
6．2020年初，“新冠肺炎”疫情来势汹汹，口罩等防疫物资紧缺。某工厂响应政府号召，春节不放假生产口罩.前3个月产量逐步增长，后3个月产量趋于稳定，则该厂半年来口罩的总产量与时间（月）的函数关系图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若在上是单调增函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二． 填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．已知函数，若，则________.
10．定义则函数的最小值为________.
三． 解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．已知函数
（1）在下图的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
（2）求不等式的解集。
12．已知的定义域为，且满足：，．当时，.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）求不等式的解集.
第4章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则
A． B． C． D．
2．函数是
A．上的增函数 B．上的减函数
C．R上的增函数 D．R上的减函数
3．已知，则
A． B． C． D．
4．已知函数则
A．1 B．2 C．3 D．
5．已知，若a是函数的一个零点，则a的值为
A．4 B． C．16 D．
6．设函数与的图象关于直线对称，其中且．则a，b满足
A． B． C． D．
7．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出9万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本，若使提价后的销售总收入不低于27万元，则提价后的价格至多是
A．3元 B．4.5元 C．5元 D．5.5元
8．表示不超过的最大整数，例如．已知是方程的根，则
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．函数图象所过的定点坐标是 .
10．函数，则的取值范围是 .
三、解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
12．已知函数的图象经过点．
（1）求a，并比较与的大小；
（2）求函数的值域．
第5章章测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．下列角的终边可以落在轴非正半轴上的有（ ）
①；②；
③；④.
A．②③ B．②④ C．①②④ D．①②③
4．已知角的终边与单位圆的交点为,则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．函数的图象的一部分如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于点对称
C．是函数的一条对称轴
D．函数的最小正周期为
7．函数，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的两个相邻零点距离为，当时，方程恰有三个不同的实数根，则（ ）.
A．1 B．2 C． D．4
四. 填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9．已知，，则______.
10．已知函数与的图象完全一致，为了得到函数的图象，需将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则的单调增区间为_______.
四． 解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．已知函数.
（1）求的振幅和最小正周期；
（2）求不等式的解集.
12．已知.
（1）化简；
（2）若，且，求；
（3）若，求
20-21学年寒假数学必修1
综合测基础（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个备选项只有一
项符合要求）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在上最小值为，则（ ）
A．1或2 B．1 C．1或 D．
6．设定义在上的奇函数满足，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的图象与函数的图象没有公共点，则实数的值可以为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．以下有关命题的说法错误的命题的序号是（ ）
（1）．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球
（2）．已知,是实数，那么“”是的必要不充分条件；
（3）．若则
（4）．幂函数在时为减函数，则2
10．若正数满足，则的最小值为（ ）
11．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若存在，使得则=（ ）
12．函数 在单调递增，则的最大值是（ ）.
三、解答题：本题共3小题，第13题10分，第14~15题各15分，共40分。
13．已知函数，（常数），，且图像与函数的图像关于直线对称，对任意都有恒成立.
（1）求的解析式；
（2）当时恒成立，求m的取值范围
14．已知函数，
（1）用“五点作图法”作出函数的图象，并求函数的周期及对称中心
（2）解不等式
15．定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，则称函数具有性质P.
（1）判断函数，是否具有性质P？请说明理由；
（2）若函数具有性质P，求证：，并证明函数在至少有7个零点
20-21学年寒假数学必修2
第6章6.1 平面向量的概念（新教材A版）
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
[新知初探]
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有 又有 的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素： 、 、 ．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作 ．
④长度：线段AB的 也叫做有向线段的长度，记作 .
(3)向量的表示
■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向 或 的非零向量，也叫做 ．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量 ，即对任意向量a，都有 ．
(2)相等向量：长度 且方向 的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．( )
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( )
(3)向量的模是一个正实数．( )
(4)向量就是有向线段．( )
(5)向量与向量是相等向量．( )
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(7)零向量是最小的向量．( )
已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________．
【探究互动】
探究点一 向量的相关概念
【例1】给出下列命题：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
【跟踪训练】
1．下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
2．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
探究点二 向量的表示
【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【规律方法】
用有向线段表示向量的步骤
【跟踪训练】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
探究点三 共线向量与相等向量
【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
【互动探究】
1．[变条件、变问法]本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
2．[变问法]本例条件不变，与共线的向量有哪些？
【规律方法】
共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
【跟踪训练】
1．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
第6章6.2.1 向量的加法运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
平面向量加法的几何意义
理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义
数学抽象、直观想象
平行四边形法则
和三角形法则
掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，
会用它们解决实际问题
数学抽象、直观想象
平面向量加法的运算律
掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算
数学抽象、数学运算
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
2．向量加法的运算律有哪两个？
[新知初探]
1．向量加法的定义及运算法则
定义
求 的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝ ＝
图形
法则
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB
结论
对角线就是a与b的和
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0 ＝
■名师点拨
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b 时等号成立．
3．向量加法的运算律
交换律
a＋b＝
结合律
(a＋b)＋c＝
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( )
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝( )
A．a B．B C．0 D．a＋b
在正方形ABCD中，||＝1，则|＋|＝________．
【探究互动】
探究点一 平面向量的加法及其几何意义
【例1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【规律方法】 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
【跟踪训练】如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
探究点二 平面向量的加法运算
【例2】化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
【跟踪训练】
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b； ②＋＝0； ③＝＋＋.
A．②③ B．② C．① D．③
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
探究点三 向量加法的实际应用
【例3】某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【规律方法】
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
【跟踪训练】如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
【达标反馈】
1．化简＋＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
4.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，
求作：(1)＋；
(2)＋.
第6章6.2.2 向量的减法运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的概念
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
数学抽象、直观想象
【自主预习】
[问题导学]
预习教材内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？
[新知初探]
1．相反向量
(1)定义：与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向差，记作 ，并且规定，零向量的相反向量仍是 ．
(2)结论
①－(－a)＝ ，a＋(－a)＝(－a)＋a＝ ；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝ ，b＝ ，a＋b＝ ．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝ ．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
■名师点拨
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量．( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A.－＝0 B.－＝ C.－＝ D.＋＝0
设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
【探究互动】
探究点一 向量的减法运算
【例1】化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1．下列四个式子中可以化简为的是( )
①＋－；②－；③＋；④－.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
2．化简下列向量表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
探究点二 向量的减法及其几何意义
【例2】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
【跟踪训练】如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
探究点三 用已知向量表示其他向量
【例3】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.
【跟踪训练】
1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试证明：a－b＋c＝.
【达标反馈】
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A. B.
C. D.
2．化简：－＋－＋＝________．
3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
第6章6.2.3 向量的数乘运算
姓名：___________班级：___________学号：__________
【课标要求】
【知识导学】
知识点一 向量的数乘
知识点二 实数与向量的积的运算律
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【新知拓展】
1．对λa的理解
(1)可以将a的长度扩大(|λ|>1时)，也可以缩小(|λ|<1时)；同时可以不改变a的方向(λ>0时)，也可以改变a的方向(λ<0时)，与a的方向相反．
(2)当λ＝0时，λa＝0，而当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：λ＋a，λ－a无意义．
2．对两向量共线的条件的理解
(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量．可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题．
(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a＝0，b≠0时，不存在实数λ使得b＝λa；若a＝0，b＝0，则存在不唯一的实数满足等式．
(3)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μ a＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若λ≠0，则b＝a，若μ≠0，则a＝b，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有λ＝μ＝0.
(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ使μa＋λb＝0，则a与b共线．
【评价自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(3)若a＝4e，b＝－8e，则a＝－2b.( )
2．做一做
(1)下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
(2)下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
(4)已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________(填“共线”或“不共线”)．
【题型探究】
题型一 向量的数乘运算
例1 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[规律方法] 向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[跟踪训练1]
(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
题型二 向量的线性运算的应用
例2 如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
[互动探究] 在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
[规律方法] 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
[跟踪训练2]
如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
题型三 共线向量定理的应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[变式探究] 本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定k的值．
[规律方法] 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
[跟踪训练3]
(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
【随堂达标】
1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
2．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
4. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
5．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.2.4 向量的数量积
【导学聚焦】
考点
学习目标
核心素养
向量的夹角
理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
理解平面向量数量积的含义并会计算
数学抽象、数学运算
投影向量
理解a在b上的投影向量的概念
数学抽象
向量数量积的性质和运算律
掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用
数学运算、逻辑推理
【问题导学】
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
【新知初探】
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b ；
②当θ＝时，向量a与b ，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b ．
■名师点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .
规定零向量与任一向量的数量积为 ．
■名师点拨
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e.
■名师点拨
当θ＝0时，＝|a|e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－|a|e.
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔ ． (3)当a与b同向时，a·b＝ ；
当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝ 或|a|＝ (4)|a·b| |a||b|.
■名师点拨
对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律)．
(2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)．
(3)(a＋b)·c＝ (分配律)．
■名师点拨
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【自我检测】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.( )
(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．( )
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．
【探究互动】
探究点一 平面向量的数量积运算
【例】(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·.
【互动探究】
[变问法]若本例(2)的条件不变，求·.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
【跟踪训练】
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________．
探究点二 向量模的有关计算
【例2】(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2 C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【跟踪训练】
1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
探究点三 向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
【例3】(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．
命题角度二：证明两向量垂直
【例4】已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
【例5】(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B．
C．± D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
【跟踪训练】若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．
【达标反馈】
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B. C. D.
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
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