初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数精品复习练习题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数精品复习练习题，共12页。

【巩固练习】


一、选择题


1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cs 30°的结果是( )．


A．2 B． C． D．1


2．如图所示，△ABC中，AC＝5，，，则△ABC的面积是( )


A． B．12 C．14 D．21


3．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△，


则tan的值为( )


A． B． C． D．





第2题图 第3题图 第4题图


4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测


得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路的距离为( )．


A．25米 B．米 C．米 D．米


5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．


A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm


6．如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( )．


A．15° B．20° C．30° D．45°





第5题图 第6题图 第7题图


7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．


A．4 m B．6 m C．m D．


8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则csA的值为（ ）





A．B．C．D．








二、填空题


9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，，则= ；= ．


10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为 ；CD的长为 .





第9题图 第10题图 第11题图


11．如图所示，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则________．


12．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值


为__ ______．


13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）





14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____．


15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .





第15题图





16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•csβ+csα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•csβ﹣csα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cs30°+cs60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．








三、解答题


17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，


∠BOE＝60°，cs C＝，BC＝．


(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．





























18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？






































19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．


(1)求证：AC·CD＝PC·BC；


(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；


(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．


























20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．


(1)求点D到BC的距离DH的长；


(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；


(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．


















































【答案与解析】


一、选择题


1.【答案】C；


【解析】tan 60°+2sin 45°－2cs 30°＝．


2.【答案】A；


【解析】过A作AD⊥BC于D，因为，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为，


所以，∴ BD＝AD＝3，所以，所以BC＝BD+DC＝7，


.





3.【答案】B；


【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝．


4.【答案】B；


【解析】依题意知BC＝AC＝50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是BE的长，


在Rt△BCE中，，BE＝BC·sin 60°＝50×(米)，因此选B．





5.【答案】D；


【解析】如图，△ABD是等腰直角三角形，过A点作AC⊥BD于C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝，则所求深度为55－20＝35(cm)．





6.【答案】C；


【解析】，∴ ．


7．【答案】D；


【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，


则地毯的总长至少为m．


8.【答案】C．


【解析】∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，


∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，


∵D是AB中点，DE⊥AB，


∴AE=BE，


∴∠ABE=∠A=36°，


∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，


∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，


∴∠BEC=∠C=72°，


∴BE=BC，


∴AE=BE=BC．


设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．


在△BCE与△ABC中，


，


∴△BCE∽△ABC，


∴=，即=，


解得x=﹣2±2（负值舍去），


∴AE=﹣2+2．


在△ADE中，∵∠ADE=90°，


∴csA===．


故选C．





二、填空题


9．【答案】cs∠CEB=；tan∠CEB=


【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴，


cs∠CEB= tan∠CEB=





第9题答案图 第10题答案图


10．【答案】5+10；10+5.


【解析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.


∵在Rt△AEB中，∠A=30°，AB=10，


∴AE=AB·cs30°=10×=5，


BE=AB·sin30°=10×=5.


又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20，


∴BF=BC=×20=10，


CF=BC·cs30°=20×=10.


∴AD=AE+ED=5+10，


CD=CF+FD=10+5.


11．【答案】；


【解析】设AB边与直线的交点为E，∵ ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是1，


则E为AB的中点，在Rt△AED中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，．


∴ ．


12．【答案】或；


【解析】由得x1＝1，x2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A＝；


②当3为斜边时，则另一直角边为．∴ ．


13．【答案】137 ；


【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，


设AD=xm，


在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，


∴CD=AD=x，


∴BD=BC+CD=x+100，


在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，


∴x=（x+100），


∴x=50（+1）≈137，


即山高AD为137米．


14．【答案】或；


【解析】因△ABC的形状不是唯一的，当△ABC是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC于H，


在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝，





在Rt△AHC中，HC＝．∴ BC＝．


当△ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝．





15．【答案】；


【解析】连接CA并延长到圆上一点D，


∵CD为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，


∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），


∴CD=10，CO=5，


∴DO=，


∵∠B=∠CDO，


∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，


∴cs∠OBC=cs∠CDO=．





16.【答案】．


【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cs45°﹣cs60°•sin45°=•﹣•=．


故答案为．








三、解答题


17.【答案与解析】


(1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°．


(2)在△ABC中，∵cs C＝，∴∠C＝60°，


又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，


∴AB⊥BC，∴ BC是⊙O的切线．


(3)∵点M是的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC中，


∵BC＝，∴AB＝BC tan 60°＝，∴OA＝，


∴OD＝OA＝，∴MD＝．





18． 【解析】


解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，


在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：


DE=x，则根据勾股定理得：


x2+=，


得x=，（﹣不合题意舍去），


所以，CE=米，则，ED=米，


那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，


在Rt△AFD中，由三角函数得：


=tan∠ADF，


∴AF=FD•tan60°=×=米，


∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，


答：小树AB的高是4米．





19.【答案与解析】


(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．


又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°．


而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴．


∴AC·CD＝PC·BC．


(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．


∵P是中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝．


又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．


∴．


从而PC＝PE+EC＝．由(1)得CD＝．


(3)当点P在上运动时，．


由(1)可知，CD＝．


∴．故PC最大时，取得最大值；


而PC为直径时最大，∴的最大；


∴的最大值．





20.【答案与解析】


(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．


∵点D为AB中点，∴BD＝AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．


∴△BHD∽△BAC，∴，∴．


(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，


∴，∴，


即y关于x的函数关系式为：．


(3)存在，分三种情况：


①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM．





∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．


∴，∴，∴，


∴，∴．


②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有，∴x＝6．





③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．





于是点R为EC的中点，∴．


∵，∴，∴．


综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．