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2021届高考数学（理）培优专题提升训练以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题专题练习
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以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=π4 ，且cosBsinCAB+cosBsinBAC=λOA，则λ的值为（ ）
A． 22 B． ﹣22 C． 2 D． ﹣2
2．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为18c2，则ab+ba的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 25 D． 42
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f(-π3)=0，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间（π15，π5）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A． 574 B． 1114 C． 1054 D． 1174
4．在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,∠CMD=120∘,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NA⋅NB的取值范围是( )
A． [-1,0) B． [-1,1) C． [-34,0) D． [-12,1)
5．已知A是函数f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3的最大值，若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A⋅|x1-x2|的最小值为
A． π2018 B． π1009 C． 2π1009 D． π4036
6．将函数fx=cosωx22sinωx2-23cosωx2+3ω>0的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,π4上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，AB⋅BC>0，a=32，则ΔABC周长的取值范围是（ ）
A． 2+32,3+32 B． 3,3+32 C． 1+32,2+32 D． 1+32,3+32
8．若函数fx=sin2x-π3与gx=cosx-sinx都在区间a,b0
9．已知锐角△ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cos∠ACM=313，AC=15，CM=313，则AB的取值范围为（ ）
A． 1522,152 B． 15,152 C． 62,15 D． 1522,+∞
10．设函数fx=sin2x+π3.若x1x2<0,且fx1+fx2=0，则x2-x1的取值范围为（ ）
A． (π6,+∞) B． (π3,+∞) C． (2π3,+∞) D． (4π3,+∞)
11．函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位后得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则g(x)在-π4,π6上的最小值是（ ）
A． -1 B． -32 C． -2 D． -3
12．若函数f(x)=4sinωx⋅sin2 (ωx2+π4)+cos2ωx-1 (ω>0)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ）
A． [34,5) B． [1,5) C． [1,92) D． (0,34]
13．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6，π3 B． π12,π3 C． π12,π2 D． π6,π3
14．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,若fx>2对∀x∈π24,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6,π2 B． π6,π3 C． π12,π3 D． π12,π6
15．的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．设ΔABO（O是坐标原点）的重心、内心分别是G,I，且BO//GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是__________．
17．已知α,β均为锐角，且cosα-β=3cosα+β，则tanα+β的最小值是________.
18．若两个锐角α,β满足α+β=π4，则tanαtanβ的最大值是__________．
19．在ΔABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则3sinA+2sinC的最小值为________.
20．不等式(acos2x-3)sinx≥-3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
21．已知f(x)=sinωx-cosωx (ω>23)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，则ω的取值范围是__________．（结果用区间表示）
22．已知菱形ABCD，E为AD的中点，且BE=3，则菱形ABCD面积的最大值为_______.
23．函数f(x)=sinωx-12+cos2ωx2，且ω>12，x∈R，若f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点，则ω的取值范同是__________.
24．ΔABC的垂心H在其内部，∠A=60°，AH=1，则BH+CH的取值范围是________.
25．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_____；
26．已知ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+csinA-sinC=bsinA-sinB，且c=3，则a-b2的取值范围为__________．
27．如图，在ΔABC中，sin∠ABC2=33，点 D在线段AC上，且AD=2DC，BD=433，则ΔABC的面积的最大值为__________．
28．（安徽省宿州市2018届三模）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足asinA-4bsinC=0，A为锐角，则sinB+sinC2sinA的取值范围为__________．
29．在圆内接四边形ABCD中, AC=8,AB=2AD,∠BAD=60∘,则ΔBCD的面积的最大值为__________．
30．在ΔABC中，a，b，c成等比数列，则bcosC+ccosBccosA+acosC的取值范围是__________．
31．已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=33DA=1，设ΔABD与ΔBCD面积分别为S1,S2，则S12+S22的最大值为_____.
32．已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2=b2+2bcsinA,0
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
34．在中， ，满足的实数的取值范围是_________．
35．点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.
36．在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是__________．
37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则Sb2+2c2的最大值为________________．
38．锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是__________．
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=π4 ，且cosBsinCAB+cosBsinBAC=λOA，则λ的值为（ ）
A． 22 B． ﹣22 C． 2 D． ﹣2
【答案】D
【解析】
如图所示：O是锐角△ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则|OA→|=R，由图得，OA→=OD→+DA→，
则AB→⋅OA→=AB→⋅(OD→+DA→)=AB→⋅DA→ =AB→⋅(-12AB→)=-12AB→2=-12|AB→|2，
同理可得，AC→⋅OA→=-12|AC→|2，由cosBsinCAB→+cosCsinBAC→=λOA→得，cosBsinCAB→⋅OA→+cosCsinBAC→⋅OA→=λOA→2，
所以-12⋅cosBsinC|AB→|2-12cosCsinB|AC→|2=λOA→2，则cosB|AB→||AB→|sinC+cosC|AC→||AC→|sinB=-2λ|OA→|2，①
在△ABC中由正弦定理得：|AB→|sinC=|AC→|sinB=2R，代入①得，2RcosB|AB→|+2RcosC|AC→|=-2λR2，
则cosB|AB→|+cosC|AC→|=-λR，②
由正弦定理得，|AB→|=2RsinC、|AC→|=2RsinB，代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sin3π4=-λ，解得λ=-2，故选D．
2．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为18c2，则ab+ba的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 25 D． 42
【答案】C
【解析】由题意得，S=12absinC=18c2，∴c2=4absinC，又c2=a2+b2-2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC，
∴ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCab =4absinC+2abcosCab=4sinC+2cosC =25sin(C+φ)，
则ab+ba的最大值为25，故选C
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f(-π3)=0，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间（π15，π5）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A． 574 B． 1114 C． 1054 D． 1174
【答案】C
【解析】由题意知-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z，则ω=32k+14φ=k'π2+π4,k1,k2∈Z，其中k=k2-k1,φ=k1+k2，
又f(x)在（π15，π5）上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则区间（π15，π5）包含的周期应最多，所以π5-π15=2π15≤2T，得0<ω≤30，即32k+14≤30，所以k≤19.5.分类讨论：
①.当k=19时，ω=1174，此时φ=3π4可使-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z成立，
当x∈π15,π5时，1174x+3π4∈2.7π,6.6π，所以当117x14+3π4=4.5π或6.5π时，fx1=3都成立，舍去；
②.当k=18时，ω=1114，此时φ=3π4可使-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z成立，
当x∈π15,π5时，1054x+3π4∈2.5π,6π，当且仅当105x14+3π4=4.5π或6.5π时，fx1=3都成立，
综上可得：ω的最大值为1054.本题选择C选项.
4．在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,∠CMD=120∘,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NA⋅NB的取值范围是( )
A． [-1,0) B． [-1,1) C． [-34,0) D． [-12,1)
【答案】C
【解析】由NA⋅NB =MA-MN⋅MB-MN=MN2-MA2=MN2-1，
在ΔMCN中，MC=1,∠MCN=30∘，∴MN2=12+NC2-2×NC×1×32 =NC2-3NC+1，
∴MN2-1=NC2-3NC=NC-322-34，
∵N在CD上，MC=MD=1,∠CMD=120∘，可得CD=3，∴0
5．已知A是函数f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3的最大值，若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A⋅|x1-x2|的最小值为
A． π2018 B． π1009 C． 2π1009 D． π4036
【答案】B
【解析】∵fx=sin2018x+π6+cos2018x-π3=32sin2014x+12cos2018x+12cos2018x+32sin2018x=3sin2018x+cos2018x=2sin2018x+π6，
∴A=fxmax=2，周期T=2π2018=π1009，
又存在实数x1,x2，对任意实数x总有fx1≤fx≤fx2成立，∴fx2=fxmax=2,fx1=fxmin=-2，
A⋅|x1-x2|的最小值为A×12T=π1009，故选B.
6．将函数fx=cosωx22sinωx2-23cosωx2+3ω>0的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,π4上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】由三角函数的性质可得：fx=2sinωx2cosωx2-23cos2ωx2+3=sinωx-23×1+cosωx2+3=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3，
其图象向左平移π3ω个单位所得函数的解析式为：gx=2sinωx+π3ω-π3=2sinωx，
函数的单调递增区间满足：2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z，即2kπ-π2ω≤x≤2kπ+π2ωk∈Z，
令k=0可得函数的一个单调递增区间为：-π2ω,π2ω，
y=gx在0,π4上为增函数，则：π2ω≥π4，据此可得：ω≤2，则ω的最大值为2.本题选择B选项.
7．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，AB⋅BC>0，a=32，则ΔABC周长的取值范围是（ ）
A． 2+32,3+32 B． 3,3+32 C． 1+32,2+32 D． 1+32,3+32
【答案】B
【解析】∵A是B和C的等差中项，∴2A=B+C，∴A=π3，
又AB⋅BC>0，则cos(π-B)>0，从而B>π2，∴π2
所以ΔABC的周长为l=a+b+c=32+sinB+sin(2π3-B) =3sin(B+π6)+32，
又π2
【答案】B
【解析】根据正弦函数的单调递减区间为π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z ，所以f(x)=sin(2x-π3) 的单调递减区间为π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ，可解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ
g(x)=cosx-sinx=2cos(x+π4） ，由余弦函数的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z，所以2kπ≤x+π4≤π+2kπ，可解得2kπ-π4≤x≤3π4+2kπ
因为f(x)与g(x)在a,b(0
A． 1522,152 B． 15,152 C． 62,15 D． 1522,+∞
【答案】A
【解析】：ΔAMC中，由余弦定理可得，AM2=AC2-CM2-2AC CMcos∠ACM=72，AM=62，
ΔAMC中，由正弦定理得，AMsin∠ACM=MCsin∠MAC，得sin∠MAC=22,∠MAC=π4，
当∠ACB=90∘时，AB=152，当∠ABC=90∘时，AB=1522，
∵ΔABC为锐角三角形，∴1522
A． (π6,+∞) B． (π3,+∞) C． (2π3,+∞) D． (4π3,+∞)
【答案】B
【解析】（特殊值法）画出fx=sin2x+π3的图象如图所示．
结合图象可得，当x2=0时，fx2=sinπ3=32；当x1=-π3时，fx1=sin(-2π3+π3) =-32，满足fx1+fx2=0．由此可得当x1x2<0,且fx1+fx2=0时，x2-x1>|0-(-π3)|=π3．故选B．
11．函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位后得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则g(x)在-π4,π6上的最小值是（ ）
A． -1 B． -32 C． -2 D． -3
【答案】D
【解析】根据题意可知g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+φ+π6)，因为其图像关于直线x=π4对称，可知π2+φ+π6=kπ+π2,k∈Z，结合φ的范围，可以求得φ=56π，从而得到g(x)=2sin（2x+π)=-2sin2x，因为x∈[-π4,π6]，则有2x∈[-π2,π3]，从而求得sin2x∈[-1,32]，所以有g(x)∈[-3,2]，所以g(x)在-π4,π6上的最小值是-3，故选D.
12．若函数f(x)=4sinωx⋅sin2 (ωx2+π4)+cos2ωx-1 (ω>0)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ）
A． [34,5) B． [1,5) C． [1,92) D． (0,34]
【答案】C
【解析】∵fx=4sinωx⋅sin2ωx2+π4+cos2ωx-1=4sinωx⋅1-cosωx+π22+cos2ωx-1
=2sinωx1+sinωx+1-2sin2ωx-1=2sinωx,
因为函数f(x)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，所以π2≤ωπ2<5π2-3π2<-ωπ3，可得1≤ω<92，
即ω的取值范围是[1,92)，故选C.
13．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6，π3 B． π12,π3 C． π12,π2 D． π6,π3
【答案】D
【解析】函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2，其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，
故函数的周期为2πω=π， ω=2 ，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，即当x∈-π12,π3时，sin（2x+φ）＞0 恒成立，，
故有2kπ＜2⋅（-π12）+φ＜2⋅π3+φ＜2kπ+π，求得2kπ+π6φ＜2kπ+π3，k∈Z，
结合所给的选项，故选D．
14．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,若fx>2对∀x∈π24,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6,π2 B． π6,π3 C． π12,π3 D． π12,π6
【答案】D
【解析】因为函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,所以函数周期为T=π,ω=2，由fx>2知sin(2x+φ)>12 ，又x∈π24,π3时，2x+φ∈π12+φ,2π3+φ,且φ≤π2 ，所以π6≤π12+φ2π3+φ≤5π6解得π12≤φ≤π6，故选D.
15．的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，
结合正弦定理有b=2acosA， ，
∵A+B+C=180°，B=2A，∴3A+C=180°, ，
∵2A<90°，∴， ，即的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
16．设ΔABO（O是坐标原点）的重心、内心分别是G,I，且BO//GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是__________．
【答案】12
【解析】因为重心、内心分别是G,I，且BO//GI，所以xA=3r，（r为ΔABO内切圆的半径），
又S∆ABO=12AB+AO+OBr=12OB∙xA=12OB∙3r.且OB=4.解得AB+AO=8.
所以cos∠OAB=AB2+AO|2-|OB|22|AB|∙|AO|=(AB+AO)2-2AB∙AO-162|AB|∙|AO|=24|AB|∙|AO|-1≥24(AB+AO2)2-1=12.
当且仅当AB=AO=4时，即ΔABO为等边三角形cos∠OAB有最小值12.
17．已知α,β均为锐角，且cosα-β=3cosα+β，则tanα+β的最小值是________.
【答案】22
【解析】由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tanαtanβ=12，又tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2tanα+tanβ≥2×2tanαtanβ=22．故答案为：22.
18．若两个锐角α,β满足α+β=π4，则tanαtanβ的最大值是__________．
【答案】3-22
【解析】∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1，tanα>0，tanβ>0，
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ≥2tanαtanβ，令tanαtanβ=m，
则m2+2m-1≤0，∴0
19．在ΔABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则3sinA+2sinC的最小值为________.
【答案】23+1
【解析】由题得2b=2a+c,∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac,
所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac≥212a2⋅34c2-22ac2ac=6-24,所以0
所以3sinA+2sinC ≥(3sinA+2sinC)⋅2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+22≥42+22sinAsinC⋅3sinCsinA6+22=42+266+22=2(3+1).
故答案为：23+1
20．不等式(acos2x-3)sinx≥-3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】-32,12
【解析】令sin=t,-1≤t≤1，则原函数化为gt=-at2+a-3t，即gt=-at3+a-3t，
由-at3+a-3t≥-3,-att2-1-3t-1≥0，
t-1-att+1-3≥0及t-1≤0知，-att+1-3≤0，即at2+t≥-3，
当t=0,-1时（1）总成立，对0
【答案】[78,1112]
【解析】由题意，函数f(x)=sinωx-cosωx=2sin(wx-π4),(ω>23)，
由fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，
则T2=πw≥3π-2π=π，解得w≤1，即23
即x=3π4w+kπw,k∈Z，则3π4w+πw≤2π3π4w+2πw≥3π，解得78≤w≤1112， 所以实数w的取值范围是[78,1112].
22．已知菱形ABCD，E为AD的中点，且BE=3，则菱形ABCD面积的最大值为_______.
【答案】12
【解析】设AE=x，则AB=AD=2x,∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴AB+AE>BEAB-AE32x-x<3⇒x>1x<3，∴x∈1,3，设∠BAE=θ，在ΔABE中，由余弦定理可知9=2x2+x2-2⋅2x⋅xcosθ，即cosθ=5x2-94x2，
SABCD=2x⋅2x⋅sinθ=4x21-5x2-94x22=-9x4-10x2+9，令t=x2，则t∈1,9，则SABCD=-9t-52-16，当t=5时，即x=5时，SABCD有最大值12，故答案为12.
23．函数f(x)=sinωx-12+cos2ωx2，且ω>12，x∈R，若f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点，则ω的取值范同是__________.
【答案】712 ， 1116∪1112 ， 1516
【解析】∵f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点∴T2>π
∵f(x)=sinωx-12+cos2ωx2=22sin(ωx+π4)∴12<ω<1
∵由对称中心可知ωx+π4=kπ∴x=1ω(kπ-π4),k∈Z
∵假设在区间(3π ， 4π)内存在交点，可知k4-116<ω
∴以上并集在全集12<ω<1中做补集，得ω∈[712,1116]∪[1112,1516]故答案为[712,1116]∪[1112,1516]
24．ΔABC的垂心H在其内部，∠A=60°，AH=1，则BH+CH的取值范围是________.
【答案】3,2
【解析】在ΔABC为锐角三角形，设∠BAH=θ，且θ∈(0∘,600)，
所以BH=2AH⋅sinθ=2sinθ,CH=2AH⋅sin(60∘-θ)=2sin(60∘-θ)，
所以BH+CH=2sinθ+2sin(60∘-θ)=2(sinθ+32cosθ-12sinθ)=2sin(θ+60∘)，
又由θ∈(0∘,600)，则θ+600∈(600,1200)，所以2sin(θ+60∘)∈(3,2]，即BH+CH的取值范围是(3,2].
25．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_____；
【答案】π6
【解析】在ΔABC中，由角C的余弦定理可知cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32，又因为0
26．已知ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+csinA-sinC=bsinA-sinB，且c=3，则a-b2的取值范围为__________．
【答案】-32,3
【解析】由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，得(a+c)(a-c)=b(a-b) 即c2=a2+b2-ab
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC 得C=π3；∴A+B=2π3
又∵c=3 csinC=2R；∴R=1
∴a-b2=2R(sinA-sinB2) =2sinA-sin(2π3-A) =32sinA-32cosA =3sin(A-π6)
由题可知 0
【答案】32.
【解析】由sin∠ABC2=33可得：cos∠ABC2=63，则sin∠ABC=2sin∠ABC2cos∠ABC2=223.
由sin∠ABC2=33<22可知：∠ABC2<45∘，则∠ABC<90∘，由同角三角函数基本关系可知：cos∠ABC=13.
设AB=x,BC=y,AC=3zx>0,y>0,z>0，在△ABD中由余弦定理可得：cos∠BDA=163+2z2-x22×433×2z，
在△CBD中由余弦定理可得：cos∠BDC=163+z2-y22×433×z，由于∠BDA+∠BDC=180∘，故cos∠BDA=-cos∠BDC，
即：163+2z2-x22×433×2z=-163+z2-y22×433×z，整理可得：16+6z2-x2-2y2=0.①
在△ABC中，由余弦定理可知：x2+y2-2xy×13=3z2，则：6z2=23x2+23y2-49xy，
代入①式整理计算可得：13x2+43y2+49xy=16，由均值不等式的结论可得：16≥213x2×43y2+49xy=169xy，
故xy≤9，当且仅当x=32,y=322时等号成立，
据此可知△ABC面积的最大值为：Smax=12×AB×BCmax×sin∠ABC=12×9×223=32.
28．（安徽省宿州市2018届三模）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足asinA-4bsinC=0，A为锐角，则sinB+sinC2sinA的取值范围为__________．
【答案】(64,22).
【解析】由asinA-4bsinC=0结合正弦定理可得：a2=4bc，且sinB+sinC2sinA=b+c2a，
A为锐角，则：0
【答案】63
【解析】
由AB=2AD,∠BAD=60∘,可知ΔABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=θ，AB=2r，则BC=8tanθ，AD=r=4cosθ，
在ΔACD中，CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即CDsin60°-θ=4cosθsin120°-90°，∴CD=8sin60°-θcosθ，
∴SΔBCD=12BC∙DCsin∠BCD=163sin60°-θsinθcos2θ=16332tanθ-12tan2θ
令t=tanθ，则SΔBCD=833t-t2
当t=32，即tanθ=32时，SΔBCD的最大值为8332-34=63故答案为：63
30．在ΔABC中，a，b，c成等比数列，则bcosC+ccosBccosA+acosC的取值范围是__________．
【答案】(5-12,5+12)
【解析】在ΔABC中，由正弦定理得bcosC+ccosBccosA+acosC=sinBcosC+sinCcosBsinCcosA+sinAcosC=sin(B+C)sin(A+C)=sinAsinB=ab，
又因为a,b,c构成等比数列，设公比为q，则b=aq,c=aq2，
又由在ΔABC中，a+b>c，即a+aq>aq2，即q2-q-1<0，解得5-12
【答案】78
【解析】因为AB=1，DA=3，所以S12=14AB2×AD2×sin2A=34sin2A，在△ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=4-23cosA，作CE⊥BD于E，因为BC=CD=1，所以S22=14BD2×CE2=14BD2×BC2-14BD2=1-32cosA×32cosA=32cosA-34cos2A，所以S12+S22=34sin2A+32cosA-34cos2A=-32cosA-362+78≤78，当cosA=36时，S12+S22的最大值为78.故答案为：78
32．已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2=b2+2bcsinA,0
【解析】：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=b2+2bcsinA，得c2-2bccosA=2bcsinA
即c-2bcosA=2bsinA，再由正弦定理，得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA，即sinA+B-2sinBcosA=2sinBsinA，即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA，所以tanA-tanB=2tanAtanB，所以tanB=tanA2tanA+1，
所以tanA-4tanB=tanA-4tanA2tanA+1=122tanA+1+22tanA+1-52≥2122tanA+1×22tanA+1-52=-12，当且仅当122tanA+1=22tanA+1，即tanA=12时等号成立，所以tanA-4tanB的最小值为-12；故答案为：-12
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得， ，又平面， 平面 平面， 平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中， ，设，则有中， ，又在中， ，在中， ，又 ，则，
， ，故答案为.
34．在中， ，满足的实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】中， ，即 则；
∴由|得：
整理得： 解得
∴实数的取值范围是.故答案为.
35．点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设， ， ， ，即的最大值为，故答案为.
36．在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】有题设条件，所以，又
所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。
37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则Sb2+2c2的最大值为________________．
【答案】1424
【解析】由题得3a2=3b2-b2+3c2-2c2 ∴b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccosA
∴Sb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tanA
由题得a2=2b2+c23,∴cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc≥22bc6bc=23
所以tanA=1cos2A-1≤92-1=142,当且仅当b=2c时取等号.所以Sb2+2c2的最大值为1424,故填1424.
38．锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是__________．
【答案】
【解析】由结合余弦定理可得 ，即 ，再由正弦定理可得，可得或（舍去），，又均为锐角，由于 可得，可得 ，由可得 ，故答案为.
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=π4 ，且cosBsinCAB+cosBsinBAC=λOA，则λ的值为（ ）
A． 22 B． ﹣22 C． 2 D． ﹣2
2．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为18c2，则ab+ba的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 25 D． 42
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f(-π3)=0，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间（π15，π5）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A． 574 B． 1114 C． 1054 D． 1174
4．在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,∠CMD=120∘,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NA⋅NB的取值范围是( )
A． [-1,0) B． [-1,1) C． [-34,0) D． [-12,1)
5．已知A是函数f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3的最大值，若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A⋅|x1-x2|的最小值为
A． π2018 B． π1009 C． 2π1009 D． π4036
6．将函数fx=cosωx22sinωx2-23cosωx2+3ω>0的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,π4上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，AB⋅BC>0，a=32，则ΔABC周长的取值范围是（ ）
A． 2+32,3+32 B． 3,3+32 C． 1+32,2+32 D． 1+32,3+32
8．若函数fx=sin2x-π3与gx=cosx-sinx都在区间a,b0
9．已知锐角△ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cos∠ACM=313，AC=15，CM=313，则AB的取值范围为（ ）
A． 1522,152 B． 15,152 C． 62,15 D． 1522,+∞
10．设函数fx=sin2x+π3.若x1x2<0,且fx1+fx2=0，则x2-x1的取值范围为（ ）
A． (π6,+∞) B． (π3,+∞) C． (2π3,+∞) D． (4π3,+∞)
11．函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位后得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则g(x)在-π4,π6上的最小值是（ ）
A． -1 B． -32 C． -2 D． -3
12．若函数f(x)=4sinωx⋅sin2 (ωx2+π4)+cos2ωx-1 (ω>0)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ）
A． [34,5) B． [1,5) C． [1,92) D． (0,34]
13．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6，π3 B． π12,π3 C． π12,π2 D． π6,π3
14．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,若fx>2对∀x∈π24,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6,π2 B． π6,π3 C． π12,π3 D． π12,π6
15．的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．设ΔABO（O是坐标原点）的重心、内心分别是G,I，且BO//GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是__________．
17．已知α,β均为锐角，且cosα-β=3cosα+β，则tanα+β的最小值是________.
18．若两个锐角α,β满足α+β=π4，则tanαtanβ的最大值是__________．
19．在ΔABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则3sinA+2sinC的最小值为________.
20．不等式(acos2x-3)sinx≥-3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
21．已知f(x)=sinωx-cosωx (ω>23)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，则ω的取值范围是__________．（结果用区间表示）
22．已知菱形ABCD，E为AD的中点，且BE=3，则菱形ABCD面积的最大值为_______.
23．函数f(x)=sinωx-12+cos2ωx2，且ω>12，x∈R，若f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点，则ω的取值范同是__________.
24．ΔABC的垂心H在其内部，∠A=60°，AH=1，则BH+CH的取值范围是________.
25．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_____；
26．已知ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+csinA-sinC=bsinA-sinB，且c=3，则a-b2的取值范围为__________．
27．如图，在ΔABC中，sin∠ABC2=33，点 D在线段AC上，且AD=2DC，BD=433，则ΔABC的面积的最大值为__________．
28．（安徽省宿州市2018届三模）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足asinA-4bsinC=0，A为锐角，则sinB+sinC2sinA的取值范围为__________．
29．在圆内接四边形ABCD中, AC=8,AB=2AD,∠BAD=60∘,则ΔBCD的面积的最大值为__________．
30．在ΔABC中，a，b，c成等比数列，则bcosC+ccosBccosA+acosC的取值范围是__________．
31．已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=33DA=1，设ΔABD与ΔBCD面积分别为S1,S2，则S12+S22的最大值为_____.
32．已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2=b2+2bcsinA,0
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
34．在中， ，满足的实数的取值范围是_________．
35．点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.
36．在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是__________．
37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则Sb2+2c2的最大值为________________．
38．锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是__________．
一、选择题
1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=π4 ，且cosBsinCAB+cosBsinBAC=λOA，则λ的值为（ ）
A． 22 B． ﹣22 C． 2 D． ﹣2
【答案】D
【解析】
如图所示：O是锐角△ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则|OA→|=R，由图得，OA→=OD→+DA→，
则AB→⋅OA→=AB→⋅(OD→+DA→)=AB→⋅DA→ =AB→⋅(-12AB→)=-12AB→2=-12|AB→|2，
同理可得，AC→⋅OA→=-12|AC→|2，由cosBsinCAB→+cosCsinBAC→=λOA→得，cosBsinCAB→⋅OA→+cosCsinBAC→⋅OA→=λOA→2，
所以-12⋅cosBsinC|AB→|2-12cosCsinB|AC→|2=λOA→2，则cosB|AB→||AB→|sinC+cosC|AC→||AC→|sinB=-2λ|OA→|2，①
在△ABC中由正弦定理得：|AB→|sinC=|AC→|sinB=2R，代入①得，2RcosB|AB→|+2RcosC|AC→|=-2λR2，
则cosB|AB→|+cosC|AC→|=-λR，②
由正弦定理得，|AB→|=2RsinC、|AC→|=2RsinB，代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sin3π4=-λ，解得λ=-2，故选D．
2．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为18c2，则ab+ba的最大值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 25 D． 42
【答案】C
【解析】由题意得，S=12absinC=18c2，∴c2=4absinC，又c2=a2+b2-2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcosC，
∴ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCab =4absinC+2abcosCab=4sinC+2cosC =25sin(C+φ)，
则ab+ba的最大值为25，故选C
3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f(-π3)=0，对任意x∈R恒有f(x)≤|f(π3)|，且在区间（π15，π5）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为
A． 574 B． 1114 C． 1054 D． 1174
【答案】C
【解析】由题意知-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z，则ω=32k+14φ=k'π2+π4,k1,k2∈Z，其中k=k2-k1,φ=k1+k2，
又f(x)在（π15，π5）上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则区间（π15，π5）包含的周期应最多，所以π5-π15=2π15≤2T，得0<ω≤30，即32k+14≤30，所以k≤19.5.分类讨论：
①.当k=19时，ω=1174，此时φ=3π4可使-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z成立，
当x∈π15,π5时，1174x+3π4∈2.7π,6.6π，所以当117x14+3π4=4.5π或6.5π时，fx1=3都成立，舍去；
②.当k=18时，ω=1114，此时φ=3π4可使-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2,k1,k2∈Z成立，
当x∈π15,π5时，1054x+3π4∈2.5π,6π，当且仅当105x14+3π4=4.5π或6.5π时，fx1=3都成立，
综上可得：ω的最大值为1054.本题选择C选项.
4．在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,∠CMD=120∘,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NA⋅NB的取值范围是( )
A． [-1,0) B． [-1,1) C． [-34,0) D． [-12,1)
【答案】C
【解析】由NA⋅NB =MA-MN⋅MB-MN=MN2-MA2=MN2-1，
在ΔMCN中，MC=1,∠MCN=30∘，∴MN2=12+NC2-2×NC×1×32 =NC2-3NC+1，
∴MN2-1=NC2-3NC=NC-322-34，
∵N在CD上，MC=MD=1,∠CMD=120∘，可得CD=3，∴0
5．已知A是函数f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3的最大值，若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A⋅|x1-x2|的最小值为
A． π2018 B． π1009 C． 2π1009 D． π4036
【答案】B
【解析】∵fx=sin2018x+π6+cos2018x-π3=32sin2014x+12cos2018x+12cos2018x+32sin2018x=3sin2018x+cos2018x=2sin2018x+π6，
∴A=fxmax=2，周期T=2π2018=π1009，
又存在实数x1,x2，对任意实数x总有fx1≤fx≤fx2成立，∴fx2=fxmax=2,fx1=fxmin=-2，
A⋅|x1-x2|的最小值为A×12T=π1009，故选B.
6．将函数fx=cosωx22sinωx2-23cosωx2+3ω>0的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,π4上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】由三角函数的性质可得：fx=2sinωx2cosωx2-23cos2ωx2+3=sinωx-23×1+cosωx2+3=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3，
其图象向左平移π3ω个单位所得函数的解析式为：gx=2sinωx+π3ω-π3=2sinωx，
函数的单调递增区间满足：2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z，即2kπ-π2ω≤x≤2kπ+π2ωk∈Z，
令k=0可得函数的一个单调递增区间为：-π2ω,π2ω，
y=gx在0,π4上为增函数，则：π2ω≥π4，据此可得：ω≤2，则ω的最大值为2.本题选择B选项.
7．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，AB⋅BC>0，a=32，则ΔABC周长的取值范围是（ ）
A． 2+32,3+32 B． 3,3+32 C． 1+32,2+32 D． 1+32,3+32
【答案】B
【解析】∵A是B和C的等差中项，∴2A=B+C，∴A=π3，
又AB⋅BC>0，则cos(π-B)>0，从而B>π2，∴π2
所以ΔABC的周长为l=a+b+c=32+sinB+sin(2π3-B) =3sin(B+π6)+32，
又π2
【答案】B
【解析】根据正弦函数的单调递减区间为π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z ，所以f(x)=sin(2x-π3) 的单调递减区间为π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ，可解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ
g(x)=cosx-sinx=2cos(x+π4） ，由余弦函数的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z，所以2kπ≤x+π4≤π+2kπ，可解得2kπ-π4≤x≤3π4+2kπ
因为f(x)与g(x)在a,b(0
A． 1522,152 B． 15,152 C． 62,15 D． 1522,+∞
【答案】A
【解析】：ΔAMC中，由余弦定理可得，AM2=AC2-CM2-2AC CMcos∠ACM=72，AM=62，
ΔAMC中，由正弦定理得，AMsin∠ACM=MCsin∠MAC，得sin∠MAC=22,∠MAC=π4，
当∠ACB=90∘时，AB=152，当∠ABC=90∘时，AB=1522，
∵ΔABC为锐角三角形，∴1522
A． (π6,+∞) B． (π3,+∞) C． (2π3,+∞) D． (4π3,+∞)
【答案】B
【解析】（特殊值法）画出fx=sin2x+π3的图象如图所示．
结合图象可得，当x2=0时，fx2=sinπ3=32；当x1=-π3时，fx1=sin(-2π3+π3) =-32，满足fx1+fx2=0．由此可得当x1x2<0,且fx1+fx2=0时，x2-x1>|0-(-π3)|=π3．故选B．
11．函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位后得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则g(x)在-π4,π6上的最小值是（ ）
A． -1 B． -32 C． -2 D． -3
【答案】D
【解析】根据题意可知g(x)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+φ+π6)，因为其图像关于直线x=π4对称，可知π2+φ+π6=kπ+π2,k∈Z，结合φ的范围，可以求得φ=56π，从而得到g(x)=2sin（2x+π)=-2sin2x，因为x∈[-π4,π6]，则有2x∈[-π2,π3]，从而求得sin2x∈[-1,32]，所以有g(x)∈[-3,2]，所以g(x)在-π4,π6上的最小值是-3，故选D.
12．若函数f(x)=4sinωx⋅sin2 (ωx2+π4)+cos2ωx-1 (ω>0)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ）
A． [34,5) B． [1,5) C． [1,92) D． (0,34]
【答案】C
【解析】∵fx=4sinωx⋅sin2ωx2+π4+cos2ωx-1=4sinωx⋅1-cosωx+π22+cos2ωx-1
=2sinωx1+sinωx+1-2sin2ωx-1=2sinωx,
因为函数f(x)在[-π3,π2]内有且仅有一个最大值，所以π2≤ωπ2<5π2-3π2<-ωπ3，可得1≤ω<92，
即ω的取值范围是[1,92)，故选C.
13．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6，π3 B． π12,π3 C． π12,π2 D． π6,π3
【答案】D
【解析】函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2，其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，
故函数的周期为2πω=π， ω=2 ，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
若fx>1对∀x∈-π12,π3恒成立，即当x∈-π12,π3时，sin（2x+φ）＞0 恒成立，，
故有2kπ＜2⋅（-π12）+φ＜2⋅π3+φ＜2kπ+π，求得2kπ+π6φ＜2kπ+π3，k∈Z，
结合所给的选项，故选D．
14．已知函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,若fx>2对∀x∈π24,π3恒成立，则φ的取值范围是( )
A． π6,π2 B． π6,π3 C． π12,π3 D． π12,π6
【答案】D
【解析】因为函数fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为π,所以函数周期为T=π,ω=2，由fx>2知sin(2x+φ)>12 ，又x∈π24,π3时，2x+φ∈π12+φ,2π3+φ,且φ≤π2 ，所以π6≤π12+φ2π3+φ≤5π6解得π12≤φ≤π6，故选D.
15．的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，
结合正弦定理有b=2acosA， ，
∵A+B+C=180°，B=2A，∴3A+C=180°, ，
∵2A<90°，∴， ，即的取值范围是.
本题选择D选项.
二、填空题
16．设ΔABO（O是坐标原点）的重心、内心分别是G,I，且BO//GI，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小值是__________．
【答案】12
【解析】因为重心、内心分别是G,I，且BO//GI，所以xA=3r，（r为ΔABO内切圆的半径），
又S∆ABO=12AB+AO+OBr=12OB∙xA=12OB∙3r.且OB=4.解得AB+AO=8.
所以cos∠OAB=AB2+AO|2-|OB|22|AB|∙|AO|=(AB+AO)2-2AB∙AO-162|AB|∙|AO|=24|AB|∙|AO|-1≥24(AB+AO2)2-1=12.
当且仅当AB=AO=4时，即ΔABO为等边三角形cos∠OAB有最小值12.
17．已知α,β均为锐角，且cosα-β=3cosα+β，则tanα+β的最小值是________.
【答案】22
【解析】由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tanαtanβ=12，又tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2tanα+tanβ≥2×2tanαtanβ=22．故答案为：22.
18．若两个锐角α,β满足α+β=π4，则tanαtanβ的最大值是__________．
【答案】3-22
【解析】∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1，tanα>0，tanβ>0，
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ≥2tanαtanβ，令tanαtanβ=m，
则m2+2m-1≤0，∴0
19．在ΔABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列，则3sinA+2sinC的最小值为________.
【答案】23+1
【解析】由题得2b=2a+c,∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac,
所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac≥212a2⋅34c2-22ac2ac=6-24,所以0
所以3sinA+2sinC ≥(3sinA+2sinC)⋅2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+22≥42+22sinAsinC⋅3sinCsinA6+22=42+266+22=2(3+1).
故答案为：23+1
20．不等式(acos2x-3)sinx≥-3对∀x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】-32,12
【解析】令sin=t,-1≤t≤1，则原函数化为gt=-at2+a-3t，即gt=-at3+a-3t，
由-at3+a-3t≥-3,-att2-1-3t-1≥0，
t-1-att+1-3≥0及t-1≤0知，-att+1-3≤0，即at2+t≥-3，
当t=0,-1时（1）总成立，对0
【答案】[78,1112]
【解析】由题意，函数f(x)=sinωx-cosωx=2sin(wx-π4),(ω>23)，
由fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π,3π)，
则T2=πw≥3π-2π=π，解得w≤1，即23
即x=3π4w+kπw,k∈Z，则3π4w+πw≤2π3π4w+2πw≥3π，解得78≤w≤1112， 所以实数w的取值范围是[78,1112].
22．已知菱形ABCD，E为AD的中点，且BE=3，则菱形ABCD面积的最大值为_______.
【答案】12
【解析】设AE=x，则AB=AD=2x,∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴AB+AE>BEAB-AE
SABCD=2x⋅2x⋅sinθ=4x21-5x2-94x22=-9x4-10x2+9，令t=x2，则t∈1,9，则SABCD=-9t-52-16，当t=5时，即x=5时，SABCD有最大值12，故答案为12.
23．函数f(x)=sinωx-12+cos2ωx2，且ω>12，x∈R，若f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点，则ω的取值范同是__________.
【答案】712 ， 1116∪1112 ， 1516
【解析】∵f(x)的图像在x∈(3π ， 4π)内与x轴无交点∴T2>π
∵f(x)=sinωx-12+cos2ωx2=22sin(ωx+π4)∴12<ω<1
∵由对称中心可知ωx+π4=kπ∴x=1ω(kπ-π4),k∈Z
∵假设在区间(3π ， 4π)内存在交点，可知k4-116<ω
∴以上并集在全集12<ω<1中做补集，得ω∈[712,1116]∪[1112,1516]故答案为[712,1116]∪[1112,1516]
24．ΔABC的垂心H在其内部，∠A=60°，AH=1，则BH+CH的取值范围是________.
【答案】3,2
【解析】在ΔABC为锐角三角形，设∠BAH=θ，且θ∈(0∘,600)，
所以BH=2AH⋅sinθ=2sinθ,CH=2AH⋅sin(60∘-θ)=2sin(60∘-θ)，
所以BH+CH=2sinθ+2sin(60∘-θ)=2(sinθ+32cosθ-12sinθ)=2sin(θ+60∘)，
又由θ∈(0∘,600)，则θ+600∈(600,1200)，所以2sin(θ+60∘)∈(3,2]，即BH+CH的取值范围是(3,2].
25．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_____；
【答案】π6
【解析】在ΔABC中，由角C的余弦定理可知cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32，又因为0
26．已知ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+csinA-sinC=bsinA-sinB，且c=3，则a-b2的取值范围为__________．
【答案】-32,3
【解析】由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，得(a+c)(a-c)=b(a-b) 即c2=a2+b2-ab
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC 得C=π3；∴A+B=2π3
又∵c=3 csinC=2R；∴R=1
∴a-b2=2R(sinA-sinB2) =2sinA-sin(2π3-A) =32sinA-32cosA =3sin(A-π6)
由题可知 0
【答案】32.
【解析】由sin∠ABC2=33可得：cos∠ABC2=63，则sin∠ABC=2sin∠ABC2cos∠ABC2=223.
由sin∠ABC2=33<22可知：∠ABC2<45∘，则∠ABC<90∘，由同角三角函数基本关系可知：cos∠ABC=13.
设AB=x,BC=y,AC=3zx>0,y>0,z>0，在△ABD中由余弦定理可得：cos∠BDA=163+2z2-x22×433×2z，
在△CBD中由余弦定理可得：cos∠BDC=163+z2-y22×433×z，由于∠BDA+∠BDC=180∘，故cos∠BDA=-cos∠BDC，
即：163+2z2-x22×433×2z=-163+z2-y22×433×z，整理可得：16+6z2-x2-2y2=0.①
在△ABC中，由余弦定理可知：x2+y2-2xy×13=3z2，则：6z2=23x2+23y2-49xy，
代入①式整理计算可得：13x2+43y2+49xy=16，由均值不等式的结论可得：16≥213x2×43y2+49xy=169xy，
故xy≤9，当且仅当x=32,y=322时等号成立，
据此可知△ABC面积的最大值为：Smax=12×AB×BCmax×sin∠ABC=12×9×223=32.
28．（安徽省宿州市2018届三模）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足asinA-4bsinC=0，A为锐角，则sinB+sinC2sinA的取值范围为__________．
【答案】(64,22).
【解析】由asinA-4bsinC=0结合正弦定理可得：a2=4bc，且sinB+sinC2sinA=b+c2a，
A为锐角，则：0
【答案】63
【解析】
由AB=2AD,∠BAD=60∘,可知ΔABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=θ，AB=2r，则BC=8tanθ，AD=r=4cosθ，
在ΔACD中，CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即CDsin60°-θ=4cosθsin120°-90°，∴CD=8sin60°-θcosθ，
∴SΔBCD=12BC∙DCsin∠BCD=163sin60°-θsinθcos2θ=16332tanθ-12tan2θ
令t=tanθ，则SΔBCD=833t-t2
当t=32，即tanθ=32时，SΔBCD的最大值为8332-34=63故答案为：63
30．在ΔABC中，a，b，c成等比数列，则bcosC+ccosBccosA+acosC的取值范围是__________．
【答案】(5-12,5+12)
【解析】在ΔABC中，由正弦定理得bcosC+ccosBccosA+acosC=sinBcosC+sinCcosBsinCcosA+sinAcosC=sin(B+C)sin(A+C)=sinAsinB=ab，
又因为a,b,c构成等比数列，设公比为q，则b=aq,c=aq2，
又由在ΔABC中，a+b>c，即a+aq>aq2，即q2-q-1<0，解得5-12
【答案】78
【解析】因为AB=1，DA=3，所以S12=14AB2×AD2×sin2A=34sin2A，在△ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA=4-23cosA，作CE⊥BD于E，因为BC=CD=1，所以S22=14BD2×CE2=14BD2×BC2-14BD2=1-32cosA×32cosA=32cosA-34cos2A，所以S12+S22=34sin2A+32cosA-34cos2A=-32cosA-362+78≤78，当cosA=36时，S12+S22的最大值为78.故答案为：78
32．已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2=b2+2bcsinA,0
【解析】：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=b2+2bcsinA，得c2-2bccosA=2bcsinA
即c-2bcosA=2bsinA，再由正弦定理，得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA，即sinA+B-2sinBcosA=2sinBsinA，即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA，所以tanA-tanB=2tanAtanB，所以tanB=tanA2tanA+1，
所以tanA-4tanB=tanA-4tanA2tanA+1=122tanA+1+22tanA+1-52≥2122tanA+1×22tanA+1-52=-12，当且仅当122tanA+1=22tanA+1，即tanA=12时等号成立，所以tanA-4tanB的最小值为-12；故答案为：-12
33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得， ，又平面， 平面 平面， 平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中， ，设，则有中， ，又在中， ，在中， ，又 ，则，
， ，故答案为.
34．在中， ，满足的实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】中， ，即 则；
∴由|得：
整理得： 解得
∴实数的取值范围是.故答案为.
35．点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设， ， ， ，即的最大值为，故答案为.
36．在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】有题设条件，所以，又
所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。
37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则Sb2+2c2的最大值为________________．
【答案】1424
【解析】由题得3a2=3b2-b2+3c2-2c2 ∴b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccosA
∴Sb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tanA
由题得a2=2b2+c23,∴cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc≥22bc6bc=23
所以tanA=1cos2A-1≤92-1=142,当且仅当b=2c时取等号.所以Sb2+2c2的最大值为1424,故填1424.
38．锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是__________．
【答案】
【解析】由结合余弦定理可得 ，即 ，再由正弦定理可得，可得或（舍去），，又均为锐角，由于 可得，可得 ，由可得 ，故答案为.
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