精品解析:2020年浙江省金华市、丽水市中考数学试题(解析版)
展开一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1.有理数3的相反数是( )
A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D.
【答案】A
【解析】
分析】
依据相反数的定义求解即可.
【详解】解:3的相反数是﹣3.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了相反数的定义.只有符号不同的两个数称互为相反数.
2.分式的值是零,则x的值为( )
A 5 B. 2 C. -2 D. -5
【答案】D
【解析】
【分析】
分式的值为零:分子等于零,且分母不等于零.
【详解】解:依题意,得
x+5=0,且x-2≠0,
解得,x=-5,且x≠2,即答案为x=-5.
故选:D.
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
3.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点分析即可.
【详解】解:A、不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
B、不能运用平方差公式分解,故此选项错误:
C、能运用平方差公式分解,故此选项正确:
D、不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
故答案为C.
【点睛】本题考查了平方差公式和因式分解,运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方的形式且符号相反.
4.下列四个图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称的图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就是中心对称图形.
【详解】A选项不是中心对称图形,故本选项错误;
B选项不是中心对称图形,故本选项错误;
C选项是中心对称图形,故本选项错误;
D选项不是中心对称图形,故本选项错误;
故本题答案选C.
【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义,理解定义是解本题的关键.
5.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据概率公式直接求解即可.
【详解】解:∵共有6张卡片,其中写有1号的有3张,
∴从中任意摸出一张,摸到1号卡片的概率是,
故选:A.
【点睛】此题考查了概率的求法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比.
6.如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b,理由是( )
A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B. 在同一平面内,垂直于同一条直线两条直线互相平行
C. 在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可.
【详解】解:
∵由题意a⊥AB,b⊥AB,
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是:同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,
故选:B.
【点睛】本题考查平行线的判定,平行公理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
7.已知点(-2,a),(2,b),(3,c)在函数的图象上,则下列判断正确的是( )
A. a<b<c B. b<a<c C. a<c<b D. c<b<a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限,在每一象限,随的增大而减小,则,.
【详解】解:,
函数的图象分布在第一、三象限,在每一象限,随的增大而减小,
,
,,
.
故选:.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
8.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是( )
A. 65° B. 60° C. 58° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OE,OF.求出∠EOF的度数即可解决问题.
【详解】解:如图,连接OE,OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F是切点,
∴OE⊥AB,OF⊥BC,
∴∠OEB=∠OFB=90°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠EOF=120°,
∴∠EPF=∠EOF=60°,
故选:B.
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9.如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x,则列出方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可.
【详解】解:设“□”内数字为x,根据题意可得:
3×(20+x)+5=10x+2.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示十位数是解题关键.
10.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P.若GO=GP,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
证明,得出.设,则,,由勾股定理得出,则可得出答案.
【详解】解:四边形为正方形,
,,
,
,
,
又,
,
,
,,
,
.
设,
为,的交点,
,,
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,
,
,
,
.
故选:.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键.
二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.点P(m,2)在第二象限内,则m的值可以是(写出一个即可)______.
【答案】-1(答案不唯一,负数即可)
【解析】
【分析】
根据第二象限的点符号是“-,+”,m取负数即可.
【详解】∵点P(m,2)在第二象限内,
∴,
m取负数即可,如m=-1,
故答案为:-1(答案不唯一,负数即可).
【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数,属于基础题,掌握第二象限点坐标的符号是“-,+”是解题的关键.
12.数据1,2,4,5,3的中位数是______.
【答案】3
【解析】
【分析】
先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数.
【详解】解:数据1,2,4,5,3按照从小到大排列是1,2,3,4,5,
则这组数据的中位数是3,
故答案为:3.
【点睛】本题考查中位数,解答本题的关键是明确中位数的含义,会求一组数据的中位数.
13.如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为______cm2.
【答案】20
【解析】
【分析】
根据从正面看所得到的图形,即可得出这个几何体的主视图的面积.
【详解】解:该几何体的主视图是一个长为5,宽为4的矩形,所以该几何体主视图的面积为20cm2.
故答案为:20.
【点睛】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
14.如图,平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形,则图中α的度数是______°.
【答案】30
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质解答即可.
【详解】解:四边形是平行四边形,
,
,
故答案为:30.
【点睛】此题考查平行四边形的性质和多边形的内角和,关键是根据平行四边形的邻角互补解答.
15.如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB与地面BC所成的锐角为β,则tanβ的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
作AT//BC,过点B作BH⊥AT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距=a,然后再.求出BH、AH即可解答.
【详解】解:如图,作AT//BC,过点B作BH⊥AT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距=a
观察图像可知:
所以tanβ=.
故答案为.
【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用,解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解.
16.图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重合),点O是夹子转轴位置,OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,OE=OF=1cm,AC=BD=6cm, CE=DF, CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子,夹子两边绕点O转动.
(1)当E,F两点的距离最大值时,以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是_____ cm.
(2)当夹子的开口最大(点C与点D重合)时,A,B两点的距离为_____cm.
【答案】 (1). 16 (2).
【解析】
【分析】
(1)当E、O、F三点共线时,E、F两点间的距离最大,此时四边形ABCD是矩形,可得AB=CD=EF=2cm,根据矩形的性质求出周长即可.
(2)当夹子的开口最大(点C与D重合)时,连接OC并延长交AB于点H,可得,AH=BH,利用已知先求出,在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长,由,求出AH,从而求出AB=2AH的长.
【详解】(1)当E、O、F三点共线时,E、F两点间的距离最大,此时四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EF=2cm,
∴以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm.
(2)当夹子的开口最大(点C与D重合)时,连接OC并延长交AB于点H,
∴,AH=BH,
∵AC=BD=6cm,CE∶AE=2∶3,
∴,
在Rt△OEF中,,
∵,,
∴AB=2AH=.
故答案为16,.
【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合,做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键.
三、解答题 (本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)
17.计算:
【答案】5
【解析】
【分析】
利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算,再算加减即可.
【详解】解:原式.
【点睛】此题主要考查了实数运算,关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质.
18.解不等式:
【答案】x <3
【解析】
【分析】
去括号,移项、合并同类项,系数化为1求得即可.
【详解】解:,
,
,
.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键.
19.某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项),得到如下两幅不完整的统计图表,请根据图表信息回答下列问题:
类别
项 目
人数
A
跳绳
59
B
健身操
▲
C
俯卧撑
31
D
开合跳
▲
E
其它
22
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约8000人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
【答案】(1)200;(2)48;(3)1600
【解析】
【分析】
(1)从统计图表中可得,“E组 其它”的频数为22,所占的百分比为11%,可求出调查学生总数;
(2)“开合跳”的人数占调查人数的24%,即可求出最喜爱“开合跳”的人数;
(3)求出“健身操”所占的百分比,用样本估计总体,即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数.
【详解】解:(1)22÷11%=200.
∴参与问卷调查的学生总人数为200人.
(2)200×24%=48.
答:最喜爱“开合跳”的学生有48人.
(3)抽取学生中最喜爱“健身操”的初中学生有200-59-31-48-22=40(人),
.
∴最喜爱“健身操”初中学生人数约为1600人.
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键.
20.如图,的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°.
(1)求弦AB的长.
(2)求的长.
【答案】(1)2;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意和垂径定理,可以求得的长,然后即可得到的长;
(2)根据,可以得到的度数,然后根据弧长公式计算即可.
【详解】解:(1)的半径,于点,,
,
;
(2),,
,
,
的长是:.
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
21.某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为5百米时的气温.
(2)求T关于h的函数表达式.
(3)测得山顶的气温为6℃,求该山峰的高度.
【答案】(1)12℃;(2)T=-0.6h+15;(2)15;(3)该山峰的高度大约为15百米
【解析】
【分析】
(1)根据高度每增加1百米,气温大约降低0.6℃,由3百米时温度为13.2°C,即可得出高度为5百米时的气温;
(2)应用待定系数法解答即可;
(3)根据(2)T=-0.6h+15的结论,将T=6代入,解答即可.
【详解】解:(1)由题意得 高度增加2百米,则温度降低2×0.6=1.2(℃).
∴13.2-1.2=12
∴高度为5百米时的气温大约是12℃.
(2)设T=-0.6h+b(k≠0),
当h=3时,T=13.2,
13.2=-0.63+b,
解得 b=15.
∴T=-0.6h+15.
(3)当T=6时,6=-0.6h+15,
解得h=15.
∴该山峰的高度大约为15百米.
【点睛】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.
22.如图,在△ABC中,AB=,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
【答案】(1)4;(2)①90°;②
【解析】
【分析】
(1)如图1中,过点A作AD⊥BC于D.解直角三角形求出AD即可.
(2)①证明BE=EP,可得∠EPB=∠B=45°解决问题.
②如图3中,由(1)可知:AC=,证明△AEF∽△ACB,推出,由此求出AF即可解决问题.
【详解】解:(1)如图1,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,==4.
(2)①如图2,∵△AEF≌△PEF,
∴AE=EP.
又∵AE=BE ,
∴BE=EP,
∴∠EPB=∠B=45°,
∴∠AEP=90°.
②如图3,由(1)可知:在Rt△ADC中,.
∵PF⊥AC,
∴∠PFA=90°.
∵△AEF≌△PEF,
∴∠AFE=∠PFE=45°,则∠AFE=∠B.
又∵∠EAF=∠CAB,
∴△EAF∽△CAB,
∴=,即=,
∴AF=,
在Rt△AFP中,AF=PF,则AP==.
【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
23.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)当m=5时,求n的值.
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y时,自变量x的取值范围.
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
【答案】(1)-4(2)1≤x≤5(3)0≤m<1或1<m<2
【解析】
【分析】
1)利用待定系数法求解即可.
(2)求出时,的值即可判断.
(3)由题意点的坐标为,求出几个特殊位置的值即可判断.
【详解】解:(1)当时,,
当时,.
(2)当时,将代入函数表达式,得,
解得或(舍弃),
此时抛物线的对称轴,
根据抛物线的对称性可知,当时,或5,
的取值范围为.
(3)点与点不重合,
,
抛物线的顶点的坐标是,
抛物线的顶点在直线上,
当时,,
点的坐标为,
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置,逐渐减小,点沿轴向上移动,
当点与重合时,,
解得或,
当点与点重合时,如图2,顶点也与,重合,点到达最高点,
点,
,解得,
当抛物线从图2的位置继续向左平移时,如图3点不在线段上,
点在线段上时,的取值范围是:或.
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题.
24.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OB,OC的中点D,E作AE,AD的平行线,相交于点F, 已知OB=8.
(1)求证:四边形AEFD为菱形.
(2)求四边形AEFD的面积.
(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D),点Q在y轴上,平面内是否存在点G,使得以点A,P, Q,G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)48;(3)点P的坐标为(12,0),(24,0),(,0),(,0),(16,0)
【解析】
【分析】
(1)结合正方形性质求得△ACE≌△ABD,从而得到AE=AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.
(2)连接DE,求出△ADE的面积即可解决问题.
(3)首先证明AK=3DK,①当AP为菱形的一边,点Q在x轴的上方,有图2,图3两种情形.②当AP为菱形的边,点Q在x轴的下方时,有图4,图5两种情形.③如图6中,当AP为菱形的对角线时,有图6一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】(1)∵DF∥AE,EF∥AD,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵四边形ABOC是正方形,
∴OB=OC=AB=AC,∠ACE=∠ABD=90°.
∵点D,E是OB,OC的中点,
∴CE=BD,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴AE=AD,
∴是菱形
(2)如图1,连结DE
∵S△ABD=AB·BD=, S△ODE=OD·OE=,
∴S△AED=S正方形ABOC-2 S△ABD- S△ODE=64-2-8=24,
∴S菱形AEFD=2S△AED=48
(3)由图1,连结AF与DE相交于点K,易得△ADK的两直角边之比为1:3
1)当AP为菱形一边时,点Q在x轴上方,有图2、图3两种情况:
如图2,AG与PQ交于点H,
∵菱形PAQG∽菱形ADFE,
∴△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HN⊥x轴于点N,交AC于点M,设AM=t
∵HN∥OQ,点H是PQ的中点,
∴点N是OP中点,
∴HN是△OPQ的中位线,
∴ON=PN=8-t
又∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PNH=∠AMH=90°,
∴△HMA∽△PNH,
∴== ,
∴HN=3AM=3t,
∴MH=MN-NH=8-3t.
∵PN=3MH,
∴8-t =3(8-3t),解得t=2
∴OP=2ON=2(8-t)=12
∴点P的坐标为(12,0)
如图3,△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HI⊥y轴于点I,过点P作PN⊥x轴交IH于点N,延长BA交IN于点M
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠AMH=∠PNH,
∴△AMH∽△HNP,
∴==,设MH=t,
∴PN=3MH=3t,
∴AM=BM-AB=3t-8,
∴HN=3AM=3(3t-8) =9t-24
又∵HI是△OPQ的中位线,
∴OP=2IH,
∴HI=HN,
∴8+t=9t-24,解得 t=4
∴OP=2HI=2(8+t)=24,
∴点P的坐标为(24,0)
2)当AP为菱形一边时,点Q在x轴下方,有图4、图5两种情况:
如图4,△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M,过点P作PN⊥HM于点N
∵MH是△QAC的中位线,
∴HM==4
又∵∠1=∠3=90°-∠2,∠HMQ=∠N,
∴△HPN∽△QHM,
∴==,则PN==,
∴OM=
设HN=t,则MQ=3t
∵MQ=MC,
∴3t=8-,解得t=
∴OP=MN=4+t=,
∴点P的坐标为(,0)
如图5,△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥x轴于点M,交AC于点I,过点Q作NQ⊥HM于点N
∵IH是△ACQ的中位线,
∴CQ=2HI,NQ=CI=4
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PMH=∠QNH,
∴△PMH∽△HNQ,
∴===,则MH=NQ=
设PM=t,则HN=3t,
∵HN=HI,
∴3t=8+,解得 t=
∴OP=OM-PM=QN-PM=4-t=,
∴点P的坐标为(,0)
3)当AP为菱形对角线时,有图6一种情况:
如图6,△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M,交AB于点I,过点P作PN⊥HM于点N
∵HI∥x轴,点H为AP的中点,
∴AI=IB=4,
∴PN=4
∵∠1=∠3=90°-∠2,∠PNH=∠QMH=90°,
∴△PNH∽△HMQ,
∴===,则MH=3PN=12,HI=MH-MI=4
∵HI是△ABP的中位线,
∴BP=2HI=8,即OP=16,
∴点P的坐标为(16,0)
综上所述,点P的坐标为(12,0),(24,0),(,0),(,0),(16,0).
【点睛】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,菱形的判定和性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题,属于中考压轴题.