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2020-2021学年八年级数学上学期期末测试卷02（人教版，广东专用）
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2020–2021学年八年级数学上学期（人教版，广东专用）
期末测试卷02
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
2．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22 B．三角形的外角和为
C．在三角形，四边形，五边形中，只有三角形具有稳定性 D．四边形共有4条对角线
5．（2020·山东临沂·大兴镇大兴初级中学初二月考）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（ ）
A．130° B．140° C．110° D．120°
6．（2020·抚顺市第五十中学初二月考）如图，已知AB＝CD且AB⊥CD，连接AD，分别过点C，B作CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F．若AD＝10，CE＝8，BF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时
A． B． C． D．
8．如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作 MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
10．（2018·湖北武汉·初二期中）如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 BC 边中点，CF⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，BE交 AC 于 G，连 DF，下列结论：①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．分解因式：a2﹣＝__；
12．（2020·常熟市外国语初级中学初二月考）已知等腰三角形的一个内角为 50°，则顶角为____________．
13．（2019·广西来宾·初二期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=_______°.
14．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm．且第三边为奇数，则第三边长为_______.
15．关于的分式方程的解为正数，则a的取值范围是_____．
16．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM =___cm
17．（2020·广西初二期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分)
18．（2020·江西初三期中）先化简，再从-2，2，3中任意选择一个数代入求值．
19．（2020·四川射洪中学初二月考）（1）先化简，再求值：x2﹣3x﹣5＝0，求代数式（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2的值；
（2）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2，（2x﹣2y）2的值．
20．（2019·盐津县豆沙中学初二月考）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分)
21．（2020·福建省泉州第一中学初二月考）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）连接MB，若AB=8 cm，△MBC的周长是14 cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
23．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：
方法2：
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分)
24．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
25．探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
【答案】C
2．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
4．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22 B．三角形的外角和为
C．在三角形，四边形，五边形中，只有三角形具有稳定性 D．四边形共有4条对角线
【答案】C
5．（2020·山东临沂·大兴镇大兴初级中学初二月考）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（ ）
A．130° B．140° C．110° D．120°
【答案】C
6．（2020·抚顺市第五十中学初二月考）如图，已知AB＝CD且AB⊥CD，连接AD，分别过点C，B作CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F．若AD＝10，CE＝8，BF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
7．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作 MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
9．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
10．（2018·湖北武汉·初二期中）如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 BC 边中点，CF⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，BE交 AC 于 G，连 DF，下列结论：①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】D
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．分解因式：a2﹣＝__；
【答案】（a+）（a﹣）．
12．（2020·常熟市外国语初级中学初二月考）已知等腰三角形的一个内角为 50°，则顶角为____________．
【答案】50°或80°
13．（2019·广西来宾·初二期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=_______°.
【答案】25°
14．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm．且第三边为奇数，则第三边长为_______.
【答案】9
15．关于的分式方程的解为正数，则a的取值范围是_____．
【答案】且
16．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM =___cm
【答案】3
17．（2020·广西初二期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．
【答案】（4，0）（0，6）（4，6）
三、解答题（一）（每小题6分，共18分)
18．（2020·江西初三期中）先化简，再从-2，2，3中任意选择一个数代入求值．
【答案】
解：原式=，
=，
=
要使分式有意义，a不能取±2，
当a=3时，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（2020·四川射洪中学初二月考）（1）先化简，再求值：x2﹣3x﹣5＝0，求代数式（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2的值；
（2）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2，（2x﹣2y）2的值．
【答案】
（1）（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2
＝x2﹣6x+9+x2﹣y2+y2
＝2x2﹣6x+9，
∵ x2﹣3x﹣5＝0，
∴ x2﹣3x＝5，
当x2﹣3x＝5时，
原式＝2×5+9＝19；
（2）∵ x+y＝4，xy＝3，
∴ x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×3＝10；
（2x﹣2y）2＝4（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4xy]＝4×[42﹣4×3]＝16．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，涉及了平方差公式、完全平方公式等知识，属于基础题，能将完全平方公式适当变形，利用整体思想解决问题是解答的关键．
20．（2019·盐津县豆沙中学初二月考）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】
（1）△A1B1C1如图所示．
(2)点C1的坐标为(4，3)．
(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的作法,注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分)
21．（2020·福建省泉州第一中学初二月考）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】
（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件.
由题意可得：，解得x=120，经检验x=120是原方程的根.
（2）设每件衬衫的标价至少是a元.
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：120（元）
由题意可得：
解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元.
考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）连接MB，若AB=8 cm，△MBC的周长是14 cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【答案】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°－70°－70°＝40°
∵MN垂直平分AB交AB于N
∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，
在△AMN中，
∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；
（2）①如图所示，连接MB，
∵MN垂直平分AB交于AB于N
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝14 cm
又∵AB＝AC＝8cm，
∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；
②如图所示，
∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；
∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，
∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝14 cm．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．解题的关键是熟练掌握这些知识点．
23．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：
方法2：
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．
【答案】
（1）由题意可得：方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
（3）∵阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF=a2+b2﹣a2﹣（a+b）b
∴阴影部分的面积=a2+b2﹣ab= [（a+b）2﹣2ab]﹣ab=14.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分)
24．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】
（1）如图①中，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，
∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】
（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MB
∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE=AF
∵D是AB的中点，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF
（3）DE=DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，
∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG=BM
同理可得：DH∥AM，DH=AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=BM，HE=BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．
期末测试卷02
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
2．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22 B．三角形的外角和为
C．在三角形，四边形，五边形中，只有三角形具有稳定性 D．四边形共有4条对角线
5．（2020·山东临沂·大兴镇大兴初级中学初二月考）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（ ）
A．130° B．140° C．110° D．120°
6．（2020·抚顺市第五十中学初二月考）如图，已知AB＝CD且AB⊥CD，连接AD，分别过点C，B作CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F．若AD＝10，CE＝8，BF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时
A． B． C． D．
8．如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作 MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
10．（2018·湖北武汉·初二期中）如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 BC 边中点，CF⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，BE交 AC 于 G，连 DF，下列结论：①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．分解因式：a2﹣＝__；
12．（2020·常熟市外国语初级中学初二月考）已知等腰三角形的一个内角为 50°，则顶角为____________．
13．（2019·广西来宾·初二期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=_______°.
14．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm．且第三边为奇数，则第三边长为_______.
15．关于的分式方程的解为正数，则a的取值范围是_____．
16．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM =___cm
17．（2020·广西初二期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分)
18．（2020·江西初三期中）先化简，再从-2，2，3中任意选择一个数代入求值．
19．（2020·四川射洪中学初二月考）（1）先化简，再求值：x2﹣3x﹣5＝0，求代数式（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2的值；
（2）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2，（2x﹣2y）2的值．
20．（2019·盐津县豆沙中学初二月考）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分)
21．（2020·福建省泉州第一中学初二月考）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）连接MB，若AB=8 cm，△MBC的周长是14 cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
23．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：
方法2：
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分)
24．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
25．探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
1．当x为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是
A． B． C． D．
【答案】C
2．下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
4．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22 B．三角形的外角和为
C．在三角形，四边形，五边形中，只有三角形具有稳定性 D．四边形共有4条对角线
【答案】C
5．（2020·山东临沂·大兴镇大兴初级中学初二月考）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（ ）
A．130° B．140° C．110° D．120°
【答案】C
6．（2020·抚顺市第五十中学初二月考）如图，已知AB＝CD且AB⊥CD，连接AD，分别过点C，B作CE⊥AD，BF⊥AD，垂足分别为E，F．若AD＝10，CE＝8，BF＝6，则EF的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】A
7．小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作 MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
9．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
10．（2018·湖北武汉·初二期中）如图：Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为 BC 边中点，CF⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 F，BE交 AC 于 G，连 DF，下列结论：①AC＝AF，②CD＋DF＝AD，③∠ADC＝∠BDF，④CE＝BE，⑤∠ BED＝45°，其中正确的有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】D
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．分解因式：a2﹣＝__；
【答案】（a+）（a﹣）．
12．（2020·常熟市外国语初级中学初二月考）已知等腰三角形的一个内角为 50°，则顶角为____________．
【答案】50°或80°
13．（2019·广西来宾·初二期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=_______°.
【答案】25°
14．若一个三角形的两边长分别是2cm和9cm．且第三边为奇数，则第三边长为_______.
【答案】9
15．关于的分式方程的解为正数，则a的取值范围是_____．
【答案】且
16．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2cm，则OM =___cm
【答案】3
17．（2020·广西初二期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．
【答案】（4，0）（0，6）（4，6）
三、解答题（一）（每小题6分，共18分)
18．（2020·江西初三期中）先化简，再从-2，2，3中任意选择一个数代入求值．
【答案】
解：原式=，
=，
=
要使分式有意义，a不能取±2，
当a=3时，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（2020·四川射洪中学初二月考）（1）先化简，再求值：x2﹣3x﹣5＝0，求代数式（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2的值；
（2）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2，（2x﹣2y）2的值．
【答案】
（1）（x﹣3）2+（x+y）（x﹣y）+y2
＝x2﹣6x+9+x2﹣y2+y2
＝2x2﹣6x+9，
∵ x2﹣3x﹣5＝0，
∴ x2﹣3x＝5，
当x2﹣3x＝5时，
原式＝2×5+9＝19；
（2）∵ x+y＝4，xy＝3，
∴ x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×3＝10；
（2x﹣2y）2＝4（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4xy]＝4×[42﹣4×3]＝16．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，涉及了平方差公式、完全平方公式等知识，属于基础题，能将完全平方公式适当变形，利用整体思想解决问题是解答的关键．
20．（2019·盐津县豆沙中学初二月考）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】
（1）△A1B1C1如图所示．
(2)点C1的坐标为(4，3)．
(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的作法,注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键.
四、解答题（二）（每小题8分，共24分)
21．（2020·福建省泉州第一中学初二月考）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】
（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件.
由题意可得：，解得x=120，经检验x=120是原方程的根.
（2）设每件衬衫的标价至少是a元.
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：120（元）
由题意可得：
解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元.
考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）连接MB，若AB=8 cm，△MBC的周长是14 cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【答案】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°－70°－70°＝40°
∵MN垂直平分AB交AB于N
∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，
在△AMN中，
∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；
（2）①如图所示，连接MB，
∵MN垂直平分AB交于AB于N
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝14 cm
又∵AB＝AC＝8cm，
∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；
②如图所示，
∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；
∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，
∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝14 cm．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．解题的关键是熟练掌握这些知识点．
23．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：
方法2：
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=ab=7，求阴影部分的面积．
【答案】
（1）由题意可得：方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab，
故答案为a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
（3）∵阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF=a2+b2﹣a2﹣（a+b）b
∴阴影部分的面积=a2+b2﹣ab= [（a+b）2﹣2ab]﹣ab=14.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分)
24．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】
（1）如图①中，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，
∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】
（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC
∴△AEB和△AFB都是直角三角形
∵D是AB的中点
∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线
∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DE=DF
∵DE=kDF
∴k=1
（2）∵CB=CA
∴∠CBA=∠CAB
∵∠MAC=∠MB
∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC
即∠ABM=∠BAM
∴AM=BM
∵ME⊥BC，MF⊥AC
∴∠MEB=∠MFA=90
又∵∠MBE=∠MAF
∴△MEB≌△MFA（AAS）
∴BE=AF
∵D是AB的中点，即BD=AD
又∵∠DBE=∠DAF
∴△DBE≌△DAF（SAS）
∴DE=DF
（3）DE=DF
如图1，作AM的中点G，BM的中点H，
∵点 D是 边 AB的 中点
∴DG∥BM，DG=BM
同理可得：DH∥AM，DH=AM
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点
∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH
∴∠HBE=∠HEB
∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC
又∵DG=BM，HE=BM
∴DG=HE
同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC
∵DG∥BM，DH∥GM
∴四边形DHMG是平行四边形
∴∠DGM=∠DHM
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC
又∵∠MBC=∠MAC
∴∠MGF=∠MHE
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE
∴∠DGF=∠DHE
在△DHE与△FGD中
，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．
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