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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题37 合情推理与演绎推理（含解析）
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考点37 合情推理与演绎推理
1．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（ ）
A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位
2．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试）在复平面内，复数 对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ）
A．72 B．71 C．66 D．65
4．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．① B．② C．④ D．⑤
5．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三理）下列推理不属于合情推理的是（ ）
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；
B．半径为的圆面积，则单位圆面积为；
C．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；
D．猜想数列2，4，8，…的通项公式为，.
6．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学理）一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试理）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（北京市海淀区高三年级第二学期期中练习一模理）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
9．（湖南师大附中2019届高三月考试题七理）箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）
A．草花5 B．红桃
C．红桃4 D．方块5
10．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )
A． B． C． D．
11．（云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理）下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 4 1
…………1 5 10 5 1
…………1 6 15 20 15 6 1
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
12．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试理）将正奇数按如图所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………………
则2019在第_____行，从左向右第______个数
13．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试）观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
14．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．
15．（河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试理）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______．
16．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）十二生肖的座位次序如下图1，中间的狗、猪位置固定不动，其他生肖动物每次顺时针转动一格，即第一次转动后的座位次序如下图2，这样继续进行下去，那么第2019次换座位后，鼠的座位对应的编号为________.
图一:
鼠1
牛2
虎3
兔4
鸡10
狗11
猪12
龙5
猴9
羊8
马7
蛇6
图二:
鸡1
鼠2
牛3
虎4
猴10
狗11
猪12
兔5
羊9
马8
蛇7
龙6
17．（河北省衡水市2019届高三四月大联考数学理）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．
18．（江西省萍乡市2019届高三一模考试数学理）对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．
19．（新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测）观察下列事实：
（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；
……
则的不同整数解的个数为__________．
20．（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学理）某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名.发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
团队说：第一，第二；
团队说：第三，第四；
团队说：第四，第五；
团队说：第三，第五；
团队说：第一，第四.
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队.
21．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；
（iii）禁止同时关闭5号和1号.
现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．
22．（山东省淄博市2019届高三3月模拟考试数学理）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．
23．（山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟考试）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如的分数的分解：，，，按此规律，__________．
24．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
25．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）自2015年来黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为______．
26．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．
考点37 合情推理与演绎推理
1．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（ ）
A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位
【答案】B
【解析】
（673为质数），故 或者，，
得，在所有数对中，两数之和不超过27的有 个，
在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，
故选：B．
2．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试）在复平面内，复数 对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得复数可化为，
所以．
故选A．
3．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ）
A．72 B．71 C．66 D．65
【答案】B
【解析】
奇数2019为第1010个奇数,
按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，
则第1行到第44行末共有990个奇数，
第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；
而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；
故2019位于第45行，从右到左第20列，
则
故选B.
4．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．① B．② C．④ D．⑤
【答案】C
【解析】
（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．
（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．
（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．
（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．
（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．
5．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三理）下列推理不属于合情推理的是（ ）
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；
B．半径为的圆面积，则单位圆面积为；
C．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；
D．猜想数列2，4，8，…的通项公式为，.
【答案】B
【解析】
对于选项A, 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电.是归纳推理，所以属于合情推理，所以该选项是合情推理；
对于选项B, 半径为的圆面积，则单位圆面积为.属于演绎推理，不是合情推理；
对于选项C, 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质,属于类比推理，所以是合情推理；
对于选项D, 猜想数列2，4，8，…的通项公式为. ,是归纳推理，所以是合情推理.
故选：B．
6．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学理）一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】
假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选C。
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试理）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
又 ，
两式相加可得 .
故选A项.
8．（北京市海淀区高三年级第二学期期中练习一模理）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解析】
张毅不同的选课方法如下：
（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；
（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；
（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；
（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；
（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；
（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；
（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；
（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；
（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；
（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；
共10种，故选B.
9．（湖南师大附中2019届高三月考试题七理）箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）
A．草花5 B．红桃
C．红桃4 D．方块5
【答案】D
【解析】
因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；故选D.
10．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，
由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，
则第16行的第16项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，
则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，
故选：A．
11．（云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理）下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 4 1
…………1 5 10 5 1
…………1 6 15 20 15 6 1
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
【答案】C
【解析】
由的展开式的二项式系数的规律
= ，
= .所以与=10.
故选：C.
12．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试理）将正奇数按如图所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………………
则2019在第_____行，从左向右第______个数
【答案】32. 49.
【解析】
根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数……
可得第n行有个奇数，
前n行总共有个奇数.
当时，共有个奇数，当时，共有个奇数.
所以2019是第1010个奇数，在第32行第49个数.
13．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试）观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
【答案】
【解析】
解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为：．
14．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．
【答案】10或64.
【解析】
如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2；
经过4次运算后得到的一定是4；
经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；
经过2次运算后得到的是16；
经过1次运算后得到的是5或32；
所以开始时的数为10或64．
所以正整数的值为10或64．
故答案为：10或64．
15．（河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试理）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______．
【答案】乙
【解析】
根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，
丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，
得到年龄从大到小是乙丙学委，
由此得到乙不是学委，故乙是班长．
故答案为：乙．
16．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）十二生肖的座位次序如下图1，中间的狗、猪位置固定不动，其他生肖动物每次顺时针转动一格，即第一次转动后的座位次序如下图2，这样继续进行下去，那么第2019次换座位后，鼠的座位对应的编号为________.
图一:
鼠1
牛2
虎3
兔4
鸡10
狗11
猪12
龙5
猴9
羊8
马7
蛇6
图二:
鸡1
鼠2
牛3
虎4
猴10
狗11
猪12
兔5
羊9
马8
蛇7
龙6
【答案】10
【解析】
由图，经过10次换位后，每个小动物又回到了原来的位置，
故此变换的规律的周期为10，因为，
所以经过2020次换座位后，鼠对应的是编号1的位置.
则经过2019次换座位后，
相当于是经过2020次换座位后再逆时针转动一格，鼠对应的是编号10的位置，
故答案为10.
17．（河北省衡水市2019届高三四月大联考数学理）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．
【答案】3
【解析】
记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为，
可得数列构成一周期为6的数列，
由题意得数列为，
观察数列可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，
所以 ．
故答案为：3．
18．（江西省萍乡市2019届高三一模考试数学理）对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．
【答案】9 15
【解析】
根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1．
根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2-1=9；
若m3的“分裂”中最小数是211，则n2-n+1=211
n=15或-14（负数舍去）．
故答案为：9；15．
19．（新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测）观察下列事实：
（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；
……
则的不同整数解的个数为__________．
【答案】2020
【解析】
由（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；······
方程不同整数解的个数是方程右侧数的4倍，所以的不同整数解的个数为=2020.故答案为2020.
证明：作出曲线，图像为菱形，且图像关于原点及x、y轴对称.
，时，x可以取1,2,3，···，504，有504个整数解，及，所以共有整数解个.
20．（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学理）某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名.发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
团队说：第一，第二；
团队说：第三，第四；
团队说：第四，第五；
团队说：第三，第五；
团队说：第一，第四.
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队.
【答案】
【解析】
将五个团队的猜测整理成下表：
第一名
C,A
第二名
B
第三名
A,B
第四名
D,E,E
第五名
D,C
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名B，从而第二名没有人猜对，不合题意要求.故获得第五名的是D团队.
21．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；
（iii）禁止同时关闭5号和1号.
现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．
【答案】4号5号
【解析】
开启3号，则必须开启4号，同时关闭2号。
因为4号开启，所以1号必须关闭。
因为禁止同时关闭1号和5号，此时1号关闭，则5号必然开启，所以另外开启的两个阀门是4号和5号．
22．（山东省淄博市2019届高三3月模拟考试数学理）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．
【答案】
【解析】
通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个部分构成，第一个部分是，第二部分是，故＝.
23．（山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟考试）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如的分数的分解：，，，按此规律，__________．
【答案】
【解析】
以此类推得：
本题正确结果：．
24．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，
，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
25．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）自2015年来黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为______．
【答案】黄梅戏
【解析】
甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；可知，甲参加了黄梅戏或黄梅挑花、
由乙说：我没有参加过黄梅挑花；可知乙参加了黄梅戏或岳家拳、
由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙没参加岳家拳，
即乙只参加了黄梅戏特长班，故答案为黄梅戏．
26．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．
【答案】（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）只有1个，d=1有91个；（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）根据题意，集合 ， ;
则；
则集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；
（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即 ．
这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；
当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．
这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，
因此共有91个公差为1的等差数列；
（Ⅲ）将集合中元素列表如下：
1
2
3
…
10
11
12
13
…
20
21
22
23
…
30
┆
┆
┆
┆
┆
91
92
93
…
100
表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．
假设存在含有10个元素的集合，使得 中不含10个元素组成的等差数列．
显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素．
记表中第行第列的数为．
若第 行中集合A的唯一元素为 ，则第行中， ，… 中必有集合A中元素．
若第行的第一个数在集合中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．
因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行．
同理，若第行的第二个数在集合中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．
因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行．
依此类推，得 ．
此时，另一条对角线上的十个元素构成等差数列，与假设矛盾．
综上，原命题成立．
1．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（ ）
A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位
2．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试）在复平面内，复数 对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ）
A．72 B．71 C．66 D．65
4．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．① B．② C．④ D．⑤
5．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三理）下列推理不属于合情推理的是（ ）
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；
B．半径为的圆面积，则单位圆面积为；
C．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；
D．猜想数列2，4，8，…的通项公式为，.
6．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学理）一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试理）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（北京市海淀区高三年级第二学期期中练习一模理）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
9．（湖南师大附中2019届高三月考试题七理）箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）
A．草花5 B．红桃
C．红桃4 D．方块5
10．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )
A． B． C． D．
11．（云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理）下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 4 1
…………1 5 10 5 1
…………1 6 15 20 15 6 1
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
12．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试理）将正奇数按如图所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………………
则2019在第_____行，从左向右第______个数
13．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试）观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
14．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．
15．（河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试理）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______．
16．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）十二生肖的座位次序如下图1，中间的狗、猪位置固定不动，其他生肖动物每次顺时针转动一格，即第一次转动后的座位次序如下图2，这样继续进行下去，那么第2019次换座位后，鼠的座位对应的编号为________.
图一:
鼠1
牛2
虎3
兔4
鸡10
狗11
猪12
龙5
猴9
羊8
马7
蛇6
图二:
鸡1
鼠2
牛3
虎4
猴10
狗11
猪12
兔5
羊9
马8
蛇7
龙6
17．（河北省衡水市2019届高三四月大联考数学理）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．
18．（江西省萍乡市2019届高三一模考试数学理）对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．
19．（新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测）观察下列事实：
（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；
……
则的不同整数解的个数为__________．
20．（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学理）某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名.发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
团队说：第一，第二；
团队说：第三，第四；
团队说：第四，第五；
团队说：第三，第五；
团队说：第一，第四.
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队.
21．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；
（iii）禁止同时关闭5号和1号.
现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．
22．（山东省淄博市2019届高三3月模拟考试数学理）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．
23．（山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟考试）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如的分数的分解：，，，按此规律，__________．
24．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
25．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）自2015年来黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为______．
26．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．
考点37 合情推理与演绎推理
1．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，， ，，，， ，， ，…．若数对 满足，其中，则数对排在（ ）
A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位
【答案】B
【解析】
（673为质数），故 或者，，
得，在所有数对中，两数之和不超过27的有 个，
在两数之和为28的数对中，为第二个（第一个是）,故数对排在第位，
故选：B．
2．（东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试）在复平面内，复数 对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得复数可化为，
所以．
故选A．
3．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，，，若，则（ ）
A．72 B．71 C．66 D．65
【答案】B
【解析】
奇数2019为第1010个奇数,
按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数，
则第1行到第44行末共有990个奇数，
第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；
而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；
故2019位于第45行，从右到左第20列，
则
故选B.
4．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．① B．② C．④ D．⑤
【答案】C
【解析】
（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．
（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．
（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．
（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．
（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．
5．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三理）下列推理不属于合情推理的是（ ）
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；
B．半径为的圆面积，则单位圆面积为；
C．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；
D．猜想数列2，4，8，…的通项公式为，.
【答案】B
【解析】
对于选项A, 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电.是归纳推理，所以属于合情推理，所以该选项是合情推理；
对于选项B, 半径为的圆面积，则单位圆面积为.属于演绎推理，不是合情推理；
对于选项C, 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质,属于类比推理，所以是合情推理；
对于选项D, 猜想数列2，4，8，…的通项公式为. ,是归纳推理，所以是合情推理.
故选：B．
6．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学理）一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】
假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；
假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；
假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；
假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选C。
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试理）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
又 ，
两式相加可得 .
故选A项.
8．（北京市海淀区高三年级第二学期期中练习一模理）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【解析】
张毅不同的选课方法如下：
（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；
（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；
（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；
（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；
（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；
（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；
（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；
（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；
（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；
（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；
共10种，故选B.
9．（湖南师大附中2019届高三月考试题七理）箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）
A．草花5 B．红桃
C．红桃4 D．方块5
【答案】D
【解析】
因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；故选D.
10．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，
由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，
则第16行的第16项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，
则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，
故选：A．
11．（云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试理）下面是当，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 4 1
…………1 5 10 5 1
…………1 6 15 20 15 6 1
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9
【答案】C
【解析】
由的展开式的二项式系数的规律
= ，
= .所以与=10.
故选：C.
12．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试理）将正奇数按如图所示的规律排列：
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
………………
则2019在第_____行，从左向右第______个数
【答案】32. 49.
【解析】
根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数……
可得第n行有个奇数，
前n行总共有个奇数.
当时，共有个奇数，当时，共有个奇数.
所以2019是第1010个奇数，在第32行第49个数.
13．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试）观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
【答案】
【解析】
解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为：．
14．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．
【答案】10或64.
【解析】
如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2；
经过4次运算后得到的一定是4；
经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；
经过2次运算后得到的是16；
经过1次运算后得到的是5或32；
所以开始时的数为10或64．
所以正整数的值为10或64．
故答案为：10或64．
15．（河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试理）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_______．
【答案】乙
【解析】
根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，
丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，
得到年龄从大到小是乙丙学委，
由此得到乙不是学委，故乙是班长．
故答案为：乙．
16．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）十二生肖的座位次序如下图1，中间的狗、猪位置固定不动，其他生肖动物每次顺时针转动一格，即第一次转动后的座位次序如下图2，这样继续进行下去，那么第2019次换座位后，鼠的座位对应的编号为________.
图一:
鼠1
牛2
虎3
兔4
鸡10
狗11
猪12
龙5
猴9
羊8
马7
蛇6
图二:
鸡1
鼠2
牛3
虎4
猴10
狗11
猪12
兔5
羊9
马8
蛇7
龙6
【答案】10
【解析】
由图，经过10次换位后，每个小动物又回到了原来的位置，
故此变换的规律的周期为10，因为，
所以经过2020次换座位后，鼠对应的是编号1的位置.
则经过2019次换座位后，
相当于是经过2020次换座位后再逆时针转动一格，鼠对应的是编号10的位置，
故答案为10.
17．（河北省衡水市2019届高三四月大联考数学理）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．
【答案】3
【解析】
记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为，
可得数列构成一周期为6的数列，
由题意得数列为，
观察数列可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，
所以 ．
故答案为：3．
18．（江西省萍乡市2019届高三一模考试数学理）对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．
【答案】9 15
【解析】
根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1．
根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2-1=9；
若m3的“分裂”中最小数是211，则n2-n+1=211
n=15或-14（负数舍去）．
故答案为：9；15．
19．（新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测）观察下列事实：
（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；
……
则的不同整数解的个数为__________．
【答案】2020
【解析】
由（1）的不同整数解的个数为4；
（2）的不同整数解的个数为8；······
方程不同整数解的个数是方程右侧数的4倍，所以的不同整数解的个数为=2020.故答案为2020.
证明：作出曲线，图像为菱形，且图像关于原点及x、y轴对称.
，时，x可以取1,2,3，···，504，有504个整数解，及，所以共有整数解个.
20．（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学理）某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名.发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：
团队说：第一，第二；
团队说：第三，第四；
团队说：第四，第五；
团队说：第三，第五；
团队说：第一，第四.
如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队.
【答案】
【解析】
将五个团队的猜测整理成下表：
第一名
C,A
第二名
B
第三名
A,B
第四名
D,E,E
第五名
D,C
由于实际上每个名次都有人猜对，若第五名为C，则第一名为A，第三名B，从而第二名没有人猜对，不合题意要求.故获得第五名的是D团队.
21．（吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（i）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；
（ii）若开启2号或4号，则关闭1号；
（iii）禁止同时关闭5号和1号.
现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是__________．
【答案】4号5号
【解析】
开启3号，则必须开启4号，同时关闭2号。
因为4号开启，所以1号必须关闭。
因为禁止同时关闭1号和5号，此时1号关闭，则5号必然开启，所以另外开启的两个阀门是4号和5号．
22．（山东省淄博市2019届高三3月模拟考试数学理）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．
【答案】
【解析】
通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个部分构成，第一个部分是，第二部分是，故＝.
23．（山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟考试）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如的分数的分解：，，，按此规律，__________．
【答案】
【解析】
以此类推得：
本题正确结果：．
24．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
【答案】
【解析】
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，猜想得，
故，下面用数学归纳法证明：
①，满足，
②假设时，结论成立，即，可得，
则，
，也满足，
结合①②可知，，故答案为．
25．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）自2015年来黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为______．
【答案】黄梅戏
【解析】
甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；可知，甲参加了黄梅戏或黄梅挑花、
由乙说：我没有参加过黄梅挑花；可知乙参加了黄梅戏或岳家拳、
由丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙没参加岳家拳，
即乙只参加了黄梅戏特长班，故答案为黄梅戏．
26．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试理）定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．
【答案】（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）只有1个，d=1有91个；（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）根据题意，集合 ， ;
则；
则集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；
（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即 ．
这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；
当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．
这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，
因此共有91个公差为1的等差数列；
（Ⅲ）将集合中元素列表如下：
1
2
3
…
10
11
12
13
…
20
21
22
23
…
30
┆
┆
┆
┆
┆
91
92
93
…
100
表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．
假设存在含有10个元素的集合，使得 中不含10个元素组成的等差数列．
显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素．
记表中第行第列的数为．
若第 行中集合A的唯一元素为 ，则第行中， ，… 中必有集合A中元素．
若第行的第一个数在集合中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．
因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行．
同理，若第行的第二个数在集合中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．
因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行．
依此类推，得 ．
此时，另一条对角线上的十个元素构成等差数列，与假设矛盾．
综上，原命题成立．
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