福建省厦门双十中学2021届高三上学期期中考试 数学（含答案）
展开福建省厦门双十中学2021届高三上学期半期考试
数学试卷
满分150分 考试时间120分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，若，则实数的值构成的集合是
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式中总成立的是
A． B． C． D．
3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是
A．9 B．10 C．12 D．13
4．已知函数对任意两个不相等的实数，，都有不等式，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取，精确到0.1）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为
A． B． C． D．
7．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为
A． B． C．4 D．6
8．已知的图象与轴的两个相邻交点的距离为，把图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿轴向左平移个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到的图象，若在上单调递增，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是
A．直线面 B．与面所成的角为定值
C．设面面，则有∥ D．三棱锥体积为定值.
10．已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
11．已知正数，，满足，下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．在中，已知，且，则（ ）
A．、、成等比数列 B．
C．若，则 D．、、成等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记为数列的前项和，若，则等于 ▲ .
14．若，则 ▲ ．
15．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ▲ .
16．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列中，，__________．
（1）求；
（2）若数列的前项和为，证明：．
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；（2）设点是的中点，若，求的取值范围.
19．如图,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.
（1）求证:平面;
（2）当的长为何值时,直线与平面所成角的大小为45°?
20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？
21．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，正数，满足，证明：.
双十中学2021届高三上学期半期考试参考答案
1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．ABC 10．ABD 11．BCD 12．BC；
13．32 14． 15． 16．；
17．（本小题满分10分）
【解析】（1）选①：
由可得，
即，
又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，
所以，所以；
选②：
由，可得，
即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以；
选③：
由（）可得：
当时，
，
当时，，符合，
所以当时，；
（2）证明：由（1）得，
所以，
因为，所以，
又因为随着的增大而增大，所以，
综上．
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）在中，
由正弦定理，可得，
因为，
所以，
所以，
即，即，可得，
又因为，所以.
（2）如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，
由基本不等式得：，
即，即，可得
（当且仅当取等号号）
又由，即，
故的取值范围是.
19．（本小题满分12分）
【解析】(1)(法一)如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.
设,由,,,依据三角形相似可得,故由勾股定理可知.在中,可得.
所以各点坐标为.
,设面的法向量为,所以,
化简得,令得，得,故.
又不在面上,所以面.
(法二)因为矩形,故.又,且,,
､在面上,､在面上,故面面.
又在面上，且不在面上,故面.
(2)，
设面法向量为,所以,化简得,令,得.
由题得.
故,因为为正,所以.
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）由总成本,可得
每台机器人的平均成本,
当且仅当,即时,等号成立,
∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；
（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量,
当时,300台机器人的日平均分拣量为,
∴当时,日平均分拣量有最大值144000；
当时,日平均分拣量为,
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．
若传统人工分拣144000件,则需要人数为（人）．
∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由椭圆的定义知的周长为，所以，
又因为椭圆的离心率，
所以，联立解得，，
所以，
所求椭圆方程为.
（2）若存在满足条件的点.
当直线的斜率存在时，设，联立，
消得.
设，，则，x，
∵
，
∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，.
当直线与轴垂直时，若，也有.
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值0.
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，
可得，
令，则.
①当时，，可得对恒成立，
则在区间上单调递增.
②当或时，，令，得，
（i）当时，，
所以对恒成立.则在区间上单调递增.
（ⅱ）当时，.
若，，函数单调递增；
若，，函数单调递减；
若，，函数单调递增.
综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和，上单调递增；在单调递减.
（2）当时，函数，
由（1）可知在区间上单调递增，
又易知，且，不妨设，
要证，只需证，
只需证，即证，
即证，
构造函数﹐，
所以，，
则，
当时，，所以函在区间（0，1]上单调递增，
则，
所以得证，从而.
