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福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)
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2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷
命题人: 审核人:高三备课组
(满分:150分,时间:120分钟)
一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)
1.设集合A={y| y=},B={x| y=},则 ( )
A．A=B B. AÇB=Æ C. AÍB D. BÍA
2.复数z满足i×z=1-2i,是z的共轭复数则z×= ( )
A. B. C. 3 D. 5
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-lb)^c,则l= ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4.已知f(x)=e-x+kex(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是 ( )
A B C D
5. 在平面直角坐标系xOy中,角a与角b均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sina=,
则cos(a-b)= ( )
A. B. C.- D.-
6. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为q1°C,空气温度为q0°C,那么t分钟后物体的温度q(单位°C)可由公式：q=q0+(q1-q0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100°C的物体,放在20°C的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60°C，则再经过m分钟后物体的温度变为40°C(假设空气温度保持不变),则m= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是C的左,右焦点，O是坐标原点,
若|+|=2||且ÐF1PF2=60°，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(,),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,],[,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；×××；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为( )参考数据:lg2»0.301,lg3»0.4771
A.4 B.5 C.6 D.7
二、选择题(4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn, a2=18, a5=12, 则下列选项正确的是 ( )
A. d=-2 B. a1=22 C.a3+a4=30 D. 当且仅当n=11时,Sn取得最大值
10.已知 A(-2,0),B(2,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足×=0,实数a可以是( )
A.-1 B.-0.5 C.0 D.1
11.若2x=3,3y=4,则下列选项正确的有 ( )
A. y< B. x>y C. +y>2 D. x+y>2
12.设函数f(x)=ax-xa(a>1)的定义域为(0,+¥),已知f(x)有且只有一个零点,下列结论正确的有( )
A.a=e B. f(x)在区间(1,e)单调递增
C. x=1是f(x)的极大值点 D. f(e)是f(x)的最小值
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=ex+sinx在点(0,1)处的切线方程为 .
14.将函数y=f(x)图象右移个单位,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x-),则f()=_______
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=CC1=, BC=1,点M为正方形CDD1C1对角线的交点,
则三棱锥M-A1CC1的外接球表面积为_________
16. 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O1为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,O2为圆弧CD所在圆的圆心,点A是圆弧AB与直线AC的切点,点B是圆弧AB与直线BD的切点,点C是圆弧CD与直线AC的切点,点D是圆弧CD与直线BD的切点，O1O2=18cm, AO1=6cm, CO2=15cm, 圆孔O1的半径为3cm, 则图中阴影部分的的面积为________cm2
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在①sinA=2sinB，②a+b=6 ，③ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在求出DABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题:是否存在DABC,它的内角ABC的对边分别为a，b，c且asin=csinA,c=3,______
18. 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn+1=3Sn+1,a1=1
(1)证明: 数列{an}是等比数列，并求an的通项公式
(2)若bn=(-1)n-1×nan,求数列{bn}的前n项和Tn
A
B
C
D
19. 在DABC中,A=,D为线段BC边上一点，BD=3,ÐBAD=
(1)若AB=3,求AD
(2)若CD=4,求tanB
20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4，O为BC的中点,A1O^平面ABC
(1) 证明：四边形BB1C1C是矩形
(2)求直线AA1与平面A1B1C所成角的正弦值
21. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右两个焦点分别是F1,F2,焦距为2,点P在椭圆上且满足
PF2^F1F2,3|PF1|=5|PF2|.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)不垂直x轴且不过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，如果直线F1A、F1B的倾斜角互补，证明：直线l过定点.
22.f(x)=xex-ae2x
(1)若a=,讨论f(x)的单调性
(2) "xÎR, f(x)³,求实数a的取值范围
2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷参考答案
一、选择题 CDABCBAC
二、选择题 9.AC 10.ABC 11.ABD 12.ACD
三、填空题 13.2x-y+1=0 14. 15.11p 16.189-72p
四、解答题
17.解.(1)依题意asin=csinA,由正弦定理得:sinA×sin=sinCsinA 1分
由sinA¹0,\sin=sinC 2分
写法1.因为sin=sin(-)=cos \cos=sinC=2sincos 3分
由cos¹0\ sin= 4分
而CÎ(0,p)\=\C= 5分
写法2.因为Î(0,p), CÎ(0,p)\=C或者+C=p(舍去) 4分
\A+B=2C \C= 5分
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,\a2+b2-ab=9 6分
选择条件①的解析：由sinA=2sinB结合正弦定理可得a=2b, 7分
由解得 8分
\DABC的面积为S=absinC= 10分
选择条件②的解析：由化简得： 7分
解得(注:若没有解出a,b,需补充说明DABC存在,否则扣1分) 8分
\DABC的面积为S=absinC= 10分
选择条件③的解析：由9=a2+b2-ab³2ab-ab\ab£9 9分
这与ab=12矛盾\问题中的三角形不存在 10分
18.解.(1)由Sn+1=3Sn+1,当n³2时, Sn=3Sn-1+1,
两式相减得an+1=3an(n³2), 2分
当n=1时,S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1\a2=3\a2=3a1 3分
\n³1时都有an+1=3an 4分
\数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列 5分
\an=3n-1 6分
(2) bn=(-1)n-1×nan=n×(-3)n-1 7分
\Tn=1+2×(-3)1+3×(-3)2+×××+(n-1)×(-3)n-2+n×(-3)n-1 8分
-3Tn= 1×(-3)1+2×(-3)2+××××××××××××××××××××××× +(n-1)×(-3)n-1+n×(-3)n 9分
\4Tn=1+ (-3)1+(-3)1+×××+(-3)n-1- n×(-3)n 10分
\4Tn=-n×(-3)n=-(+n)×(-3)n 11分
\Tn=-(+)×(-3)n 12分
19. 解.(1)考察DABD,记AD=x,由余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB×ADcosÐBAD 2分
即9=27+x2-2×3×x×cos化简得: x2-9x+18=0\x=3或6 4分
由A=，BAD=\ÐDAC=\ÐBDA为钝角\AB>AD\AD=3 5分
(2)记q=B,则ÐADC=q+, 6分
由RtDACD可得AD=CD×cosÐADC=4cos(q+) 8分
考察DABD,由正弦定理可得： =即= 10分
\3sinq=2cos(q+)=2(cosq×-sinq×)
化简得:4sinq=cosq \tanq=即tanB= 12分
20. 解：(1)连接AO,由AB=AC,O为BC得中点,可得BC^AO
又因为A1O^平面ABC,BCÌ平面ABC\ A1O^BC
又A1OÇAO=O\BC^平面AA1O 3分
因AA1Ì平面AA1O\BC^AA1
由BB1//AA1 \BC^BB1
又四边形BB1C1C是平行四边形\四边形BB1C1C是矩形 5分
(2) 分别以,,分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图所示得空间直角坐标系, 由RtDABO可得OA==1,
由RtDABO可得OA1==2
则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2) 6分
\=(-1,0,2), =(0,2,2), ==(1,-2,0) 7分
设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z) 由得可取n=(2,1,-1) 9分
设直线AA1与平面A1B1C所成角为q,则sinq=|cos<,n>|=== 11分
\直线AA1与平面A1B1C所成角的正弦值为 12分
21. 解.(1)依题意:|F1F2|=2c=2 \c=1 1分
由3 |PF1|=5|PF2|, |PF1|+|PF2|=2a \|PF1|=a, |PF2|=a, 2分
\|F1F2|===a=2\b2=a2-c2=3 4分
\求椭圆 C的方程为+=1 5分
(2) 法1.依题意可设直线AB: y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即(kx1+m)(x2+1)+(kx2+m)(x1+1)=2kx1x2+(m+k)(x1+x2)+2m=0
\ 2k(4m2-12)+ (k+m)(-8km)+2m(3+4k2)=0
化简得:m=4k 11分
则直线AB：y=kx+4k=k(x+4)过(-4,0) 12分
法2. 依题意,设直线AB为x=my+t (m¹0),A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即y1(my2+t+1)+y2(my1+t+1)==2my1y2+(t+1)y1y2=0
\2m(3t2-12)-6mt(t+1)=0
由 m¹0化简得:t=-4 11分
\直线AB为x=my-4恒过(-4,0) 12分
22. 解:(1)a= 时f(x)=xex-e2x, f ¢(x)=(x+1)ex-e2x=ex(x+1-ex) 1分
另F(x)=x+1-ex,则F¢ (x)=1-ex,当xÎ(-¥,0), F¢ (x)>0；当xÎ(0,¥),F¢ (x)<0；
\ F(x)在(-¥,0)递增,在(0,+¥)上递减\F(x)£F(0)=0 3分
\ f ¢(x)£0\ f(x)在(-¥,+¥)上递减. 4分
(2)法1.(隐零点代换)
f ¢(x)=(x+1)ex-2ae2x=ex[(x+1)-2aex] 5分
由"xÎR, f(x)³\f(0)=-a³可得a<0 6分
令g(x)=(x+1)-2aex (a<0),则g(x)在R上递增
由g(-1)=-2ae-1>0，且当x<0时,g(x)
且当xÎ(-¥,x0)时g(x)<0即f ¢(x)<0; 当xÎ(x0,+¥)时g(x)>0即f ¢(x)>0
\ f(x)在(-¥,x0)递减,在(x0,+¥)递增\ f(x)min= f(x0)=x0e-ae 8分
由g(x0)=(x0+1)-2ae=0\a= 9分
由f(x)min³得x0e-e׳即³
由x0+1>0得x02-1£8\-3£x0<-1 10分
设h(x)= (-3£x<-1),则h¢(x)=->0,可知h(x)在[-3,1)上递增\h(-3)£h(x)
综上aÎ[-e3,0) 12分
法2.(变形:同除ex)依题意"xÎR, f(x)=xex-ae2x ³\f(0)=-a³可得a<0 6分
\x-aex³\a2ex-ax+³0 8分
写法1.设g(x)=a2ex-ax+ (a<0),则g¢(x)=a2ex-a-= 9分
令g¢(x)>0得aex+1>0即x>-ln(-a); 令g¢(x)<0得x<-ln(-a) 10分
\g(x)在(-¥,-ln(-a))上递减,在(-ln(-a),+¥)上递增
\g(x)min=g(-ln(-a))=a[ln(-a)-3]³0\aÎ[-e3,0) 11分
综上aÎ[-e3,0) 12分
法3. (换元:指对互化)
依题意"xÎR, f(x)=xex-ae2x ³\f(0)=-a³可得a<0 6分
\只需 x-aex-³0(a<0),
令t=-aex,则t>0，x=ln()=lnt-ln(-a)\t+lnt+-ln(-a)³0； 8分
令H(t)= t+lnt+-ln(-a)
则H ¢(t)=1+-=(t>0) 9分
令H ¢(t)>0得t>1; 令H ¢(t)<0得0
综上aÎ[-e3,0) 12分
命题人: 审核人:高三备课组
(满分:150分,时间:120分钟)
一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)
1.设集合A={y| y=},B={x| y=},则 ( )
A．A=B B. AÇB=Æ C. AÍB D. BÍA
2.复数z满足i×z=1-2i,是z的共轭复数则z×= ( )
A. B. C. 3 D. 5
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-lb)^c,则l= ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4.已知f(x)=e-x+kex(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是 ( )
A B C D
5. 在平面直角坐标系xOy中,角a与角b均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sina=,
则cos(a-b)= ( )
A. B. C.- D.-
6. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为q1°C,空气温度为q0°C,那么t分钟后物体的温度q(单位°C)可由公式：q=q0+(q1-q0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100°C的物体,放在20°C的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60°C，则再经过m分钟后物体的温度变为40°C(假设空气温度保持不变),则m= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是C的左,右焦点，O是坐标原点,
若|+|=2||且ÐF1PF2=60°，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
8.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(,),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,],[,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；×××；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为( )参考数据:lg2»0.301,lg3»0.4771
A.4 B.5 C.6 D.7
二、选择题(4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn, a2=18, a5=12, 则下列选项正确的是 ( )
A. d=-2 B. a1=22 C.a3+a4=30 D. 当且仅当n=11时,Sn取得最大值
10.已知 A(-2,0),B(2,0),若圆(x-2a+1)2+(y-2a-2)2=1上存在点M满足×=0,实数a可以是( )
A.-1 B.-0.5 C.0 D.1
11.若2x=3,3y=4,则下列选项正确的有 ( )
A. y< B. x>y C. +y>2 D. x+y>2
12.设函数f(x)=ax-xa(a>1)的定义域为(0,+¥),已知f(x)有且只有一个零点,下列结论正确的有( )
A.a=e B. f(x)在区间(1,e)单调递增
C. x=1是f(x)的极大值点 D. f(e)是f(x)的最小值
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数f(x)=ex+sinx在点(0,1)处的切线方程为 .
14.将函数y=f(x)图象右移个单位,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x-),则f()=_______
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=CC1=, BC=1,点M为正方形CDD1C1对角线的交点,
则三棱锥M-A1CC1的外接球表面积为_________
16. 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O1为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,O2为圆弧CD所在圆的圆心,点A是圆弧AB与直线AC的切点,点B是圆弧AB与直线BD的切点,点C是圆弧CD与直线AC的切点,点D是圆弧CD与直线BD的切点，O1O2=18cm, AO1=6cm, CO2=15cm, 圆孔O1的半径为3cm, 则图中阴影部分的的面积为________cm2
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在①sinA=2sinB，②a+b=6 ，③ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在求出DABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题:是否存在DABC,它的内角ABC的对边分别为a，b，c且asin=csinA,c=3,______
18. 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn+1=3Sn+1,a1=1
(1)证明: 数列{an}是等比数列，并求an的通项公式
(2)若bn=(-1)n-1×nan,求数列{bn}的前n项和Tn
A
B
C
D
19. 在DABC中,A=,D为线段BC边上一点，BD=3,ÐBAD=
(1)若AB=3,求AD
(2)若CD=4,求tanB
20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4，O为BC的中点,A1O^平面ABC
(1) 证明：四边形BB1C1C是矩形
(2)求直线AA1与平面A1B1C所成角的正弦值
21. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右两个焦点分别是F1,F2,焦距为2,点P在椭圆上且满足
PF2^F1F2,3|PF1|=5|PF2|.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)不垂直x轴且不过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，如果直线F1A、F1B的倾斜角互补，证明：直线l过定点.
22.f(x)=xex-ae2x
(1)若a=,讨论f(x)的单调性
(2) "xÎR, f(x)³,求实数a的取值范围
2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷参考答案
一、选择题 CDABCBAC
二、选择题 9.AC 10.ABC 11.ABD 12.ACD
三、填空题 13.2x-y+1=0 14. 15.11p 16.189-72p
四、解答题
17.解.(1)依题意asin=csinA,由正弦定理得:sinA×sin=sinCsinA 1分
由sinA¹0,\sin=sinC 2分
写法1.因为sin=sin(-)=cos \cos=sinC=2sincos 3分
由cos¹0\ sin= 4分
而CÎ(0,p)\=\C= 5分
写法2.因为Î(0,p), CÎ(0,p)\=C或者+C=p(舍去) 4分
\A+B=2C \C= 5分
由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,\a2+b2-ab=9 6分
选择条件①的解析：由sinA=2sinB结合正弦定理可得a=2b, 7分
由解得 8分
\DABC的面积为S=absinC= 10分
选择条件②的解析：由化简得： 7分
解得(注:若没有解出a,b,需补充说明DABC存在,否则扣1分) 8分
\DABC的面积为S=absinC= 10分
选择条件③的解析：由9=a2+b2-ab³2ab-ab\ab£9 9分
这与ab=12矛盾\问题中的三角形不存在 10分
18.解.(1)由Sn+1=3Sn+1,当n³2时, Sn=3Sn-1+1,
两式相减得an+1=3an(n³2), 2分
当n=1时,S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1\a2=3\a2=3a1 3分
\n³1时都有an+1=3an 4分
\数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列 5分
\an=3n-1 6分
(2) bn=(-1)n-1×nan=n×(-3)n-1 7分
\Tn=1+2×(-3)1+3×(-3)2+×××+(n-1)×(-3)n-2+n×(-3)n-1 8分
-3Tn= 1×(-3)1+2×(-3)2+××××××××××××××××××××××× +(n-1)×(-3)n-1+n×(-3)n 9分
\4Tn=1+ (-3)1+(-3)1+×××+(-3)n-1- n×(-3)n 10分
\4Tn=-n×(-3)n=-(+n)×(-3)n 11分
\Tn=-(+)×(-3)n 12分
19. 解.(1)考察DABD,记AD=x,由余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB×ADcosÐBAD 2分
即9=27+x2-2×3×x×cos化简得: x2-9x+18=0\x=3或6 4分
由A=，BAD=\ÐDAC=\ÐBDA为钝角\AB>AD\AD=3 5分
(2)记q=B,则ÐADC=q+, 6分
由RtDACD可得AD=CD×cosÐADC=4cos(q+) 8分
考察DABD,由正弦定理可得： =即= 10分
\3sinq=2cos(q+)=2(cosq×-sinq×)
化简得:4sinq=cosq \tanq=即tanB= 12分
20. 解：(1)连接AO,由AB=AC,O为BC得中点,可得BC^AO
又因为A1O^平面ABC,BCÌ平面ABC\ A1O^BC
又A1OÇAO=O\BC^平面AA1O 3分
因AA1Ì平面AA1O\BC^AA1
由BB1//AA1 \BC^BB1
又四边形BB1C1C是平行四边形\四边形BB1C1C是矩形 5分
(2) 分别以,,分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图所示得空间直角坐标系, 由RtDABO可得OA==1,
由RtDABO可得OA1==2
则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2) 6分
\=(-1,0,2), =(0,2,2), ==(1,-2,0) 7分
设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z) 由得可取n=(2,1,-1) 9分
设直线AA1与平面A1B1C所成角为q,则sinq=|cos<,n>|=== 11分
\直线AA1与平面A1B1C所成角的正弦值为 12分
21. 解.(1)依题意:|F1F2|=2c=2 \c=1 1分
由3 |PF1|=5|PF2|, |PF1|+|PF2|=2a \|PF1|=a, |PF2|=a, 2分
\|F1F2|===a=2\b2=a2-c2=3 4分
\求椭圆 C的方程为+=1 5分
(2) 法1.依题意可设直线AB: y=kx+m, A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即(kx1+m)(x2+1)+(kx2+m)(x1+1)=2kx1x2+(m+k)(x1+x2)+2m=0
\ 2k(4m2-12)+ (k+m)(-8km)+2m(3+4k2)=0
化简得:m=4k 11分
则直线AB：y=kx+4k=k(x+4)过(-4,0) 12分
法2. 依题意,设直线AB为x=my+t (m¹0),A(x1,y1),B(x2,y2)
由消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0 6分
\ 7分
由F1A、F1B的倾斜角互补可得:kF1A+ kF2A=0 8分
\+=0\y1(x2+1)+y2(x1+1)=0 9分
即y1(my2+t+1)+y2(my1+t+1)==2my1y2+(t+1)y1y2=0
\2m(3t2-12)-6mt(t+1)=0
由 m¹0化简得:t=-4 11分
\直线AB为x=my-4恒过(-4,0) 12分
22. 解:(1)a= 时f(x)=xex-e2x, f ¢(x)=(x+1)ex-e2x=ex(x+1-ex) 1分
另F(x)=x+1-ex,则F¢ (x)=1-ex,当xÎ(-¥,0), F¢ (x)>0；当xÎ(0,¥),F¢ (x)<0；
\ F(x)在(-¥,0)递增,在(0,+¥)上递减\F(x)£F(0)=0 3分
\ f ¢(x)£0\ f(x)在(-¥,+¥)上递减. 4分
(2)法1.(隐零点代换)
f ¢(x)=(x+1)ex-2ae2x=ex[(x+1)-2aex] 5分
由"xÎR, f(x)³\f(0)=-a³可得a<0 6分
令g(x)=(x+1)-2aex (a<0),则g(x)在R上递增
由g(-1)=-2ae-1>0，且当x<0时,g(x)
且当xÎ(-¥,x0)时g(x)<0即f ¢(x)<0; 当xÎ(x0,+¥)时g(x)>0即f ¢(x)>0
\ f(x)在(-¥,x0)递减,在(x0,+¥)递增\ f(x)min= f(x0)=x0e-ae 8分
由g(x0)=(x0+1)-2ae=0\a= 9分
由f(x)min³得x0e-e׳即³
由x0+1>0得x02-1£8\-3£x0<-1 10分
设h(x)= (-3£x<-1),则h¢(x)=->0,可知h(x)在[-3,1)上递增\h(-3)£h(x)
综上aÎ[-e3,0) 12分
法2.(变形:同除ex)依题意"xÎR, f(x)=xex-ae2x ³\f(0)=-a³可得a<0 6分
\x-aex³\a2ex-ax+³0 8分
写法1.设g(x)=a2ex-ax+ (a<0),则g¢(x)=a2ex-a-= 9分
令g¢(x)>0得aex+1>0即x>-ln(-a); 令g¢(x)<0得x<-ln(-a) 10分
\g(x)在(-¥,-ln(-a))上递减,在(-ln(-a),+¥)上递增
\g(x)min=g(-ln(-a))=a[ln(-a)-3]³0\aÎ[-e3,0) 11分
综上aÎ[-e3,0) 12分
法3. (换元:指对互化)
依题意"xÎR, f(x)=xex-ae2x ³\f(0)=-a³可得a<0 6分
\只需 x-aex-³0(a<0),
令t=-aex,则t>0，x=ln()=lnt-ln(-a)\t+lnt+-ln(-a)³0； 8分
令H(t)= t+lnt+-ln(-a)
则H ¢(t)=1+-=(t>0) 9分
令H ¢(t)>0得t>1; 令H ¢(t)<0得0
综上aÎ[-e3,0) 12分
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