高中第一章 算法初步1.1 算法与程序框图1.1.2程序框图和算法的逻辑结构教学设计

时  案例2  秦九韶算法

（一）导入新课

    思路1（情境导入）

    大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.

    思路2（直接导入）

    前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.

（2）什么是秦九韶算法？

（3）怎样评价一个算法的好坏？

讨论结果：

（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？

    一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.

    另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.

    第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.

（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：

    把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式：

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0

=（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0

=…

=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0.

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

v1=anx+an-1，

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+an-2，

v3=v2x+an-3，

…

vn=vn-1x+a0，

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.

上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.

（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.

（三）应用示例

例1  已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，

    用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8，

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：

v0=5；

v1=5×5+2=27;

v2=27×5+3.5=138.5;

v3=138.5×5-2.6=689.9;

v4=689.9×5+1.7=3 451.2;

v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;

所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.

算法分析：观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见vk的计算要用到vk-1的值，若令v0=an，我们可以得到下面的公式：

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.

算法步骤如下：

第一步，输入多项式次数n、最高次的系数an和x的值.

第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.

第三步，输入i次项的系数ai.

第四步，v=vx+ai,i=i-1.

第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.

程序框图如下图：

程序：

INPUT “n=”；n

INPUT “an=”；a

INPUT “x=”；x

v=a

i=n-1

WHILE i＞=0

  PRINT “i=”；i

  INPUT “ai=”；a

  v=v*x+a

  i=i-1

WEND

PRINT v

END

点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.

变式训练

    请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.

解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：

f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0

=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0

=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0

=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.

上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.

程序框图如下图：

例2  已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.

答案：65  20

点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.

例3  已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.

解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7

=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.

计算的过程可以列表表示为：

最后的系数2 677即为所求的值.

算法过程：

v0=2；

v1=2×5－5=5；

v2=5×5－4=21；

v3=21×5+3=108；

v4=108×5－6=534；

v5=534×5+7=2 677.

点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.

（四）知能训练

当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．

解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.

v0=3;

v1=v0×2+8=3×2+8=14;

v2=v1×2-3=14×2-3=25;

v3=v2×2+5=25×2+5=55;

v4=v3×2+12=55×2+12=122;

v5=v4×2-6=122×2-6=238.

∴当x=2时，多项式的值为238.

解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，

则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．

（五）拓展提升

    用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.

解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x

v0=7；

v1=7×3+6=27；

v2=27×3+5=86；

v3=86×3+4=262；

v4=262×3+3=789；

v5=789×3+2=2 369；

v6=2 369×3+1=7 108；

v7=7 108×3+0=21 324.

∴f(3)=21 324.

（六）课堂小结

1.秦九韶算法的方法和步骤.

2.秦九韶算法的计算机程序框图.

（七）作业

已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.

解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8

∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.