高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）

教学目标：

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：零点存在性的判定．

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点：零点的概念及存在性的判定．

难点：零点的确定．

一、复习回顾，新课导入

讨论：一元二次方程的根与二次函数数的图象有什么关系？

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

方程与函数；

方程与函数；

方程与函数；

再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

一元二次方程有两不同根就是相应的二次函数的图象与轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程有两个重根就是相应的二次函数的图象与轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程无实数根就是相应的二次函数的图象与轴没有交点；

总之，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标．

二、师生互动，新课讲解：

1、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero  point）．

显然，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。        

问题1： 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？              

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

问题3： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。

问题4： 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

⑴函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

⑵函数零点的求法：求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 

⑶二次函数的零点：．

① △＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

② △＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

③ △＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

课堂练习：（课本P88练习 NO：1）

例1：  观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？

分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

变式训练1：

（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？

（2）函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？

(3)观察下面函数的图象

 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．

 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．

 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）

例2（课本P88例1）：  求函数的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x，的对应值表和图象。

由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个．

变式训练2：利用函数图象判断下列方程有几个根

（1）2x(x-2)=-3      （2）

例3：已知函数，问该函数在区间内是否有零点？

解：因为，，所以，又函数是连续的曲线，所以在区间内有零点．

变式训练3：函数的零点所在的大致区间是（ B ）

    （A）       (B)      (C)      (D)     

三、课堂小结，巩固反思：

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．

会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。

四、布置作业：

A组：

1．  （课本P92习题3.1 A组  NO：2）

2．  求下列函数的零点：

（1）；（2）；（3）

．

3．  求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1）；（2）．

4．  已知：

（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．

5．  求下列函数的定义域：

（1）；（2）；（3）

6．设函数．求函数的零点个数。

B组：

1、函数f(x)＝x＋的零点个数为(　A　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

答案　D

3．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根(　　)

A．(－2，－1)  B．(0,1)    C．(1,2)  D．(－1,0)

答案　D

4．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是(　　)

A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点         B．函数f(x)在(3,5)内无零点

C．函数f(x)在(2,5)内有零点               D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

答案　C

5．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　)

A．(5,6)   B．(3,4)   C．(2,3)   D．(1,2)

答案　B

解析　f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，

f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.

又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

所以其零点一定位于区间(3,4)．