高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课后练习题

这是一份高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课后练习题，共8页。

一、选择题


1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆的左､右焦点分别为，,上顶点为,若则该椭圆的方程为（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】因为，所以，由 可得,


所以椭圆方程是：.


2.（2020贵阳一中月考）直线与椭圆交于、两点，（为原点）是面积为的等腰直角三角形，则等于（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】不妨设点为第一象限的点，则，由于为等腰直角三角形，则点.


的面积为，所以，，所以，点在椭圆上，则，解得.


3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是，，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，


令地心为椭圆的右焦点，设标准方程为()，


则地心的坐标为(，0)，其中.由题意，得，，


解得，，所以.





4.（2020赣榆智贤中学高二月考）椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】由题意，椭圆上存在点，使得，而，，


显然，所以即可，得，解得.


5．（多选题）（2020·河北邯郸高二月考）如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ）





A．B．C．D．


【答案】CD


【解析】∵，∴，，则.


∵是的角平分线，∴，又，


∴，，在中，由余弦定理得，∵，∴，


解得.故选：CD.


6. （多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）


A．的最小值为


B．椭圆的短轴长可能为2


C．椭圆的离心率的取值范围为


D．若，则椭圆的长轴长为


【答案】ACD


【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.故选：ACD


二、填空题


7. （2020·广西南宁高二月考）已知O为坐标原点，点，分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且，与y轴交于点B，则________.


【答案】


【解析】因为,所以的长度是椭圆通径的一半，即，因为，所以是三角形的中位线，即.


8． （2020南昌县莲塘第一中学月考）已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.


【答案】


【解析】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.


因为，，所以，所以，所以，因为，所以，


即，所以.





9.（2020·重庆市广益中学校期末）已如圆柱的底面半径为2，用与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为_____．


【答案】


【解析】如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1．圆柱的底面中心为O,则∠OAB＝60°,可得a＝O1A4,bCD＝2,∴c．∴这个椭圆的离心率：e．





10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为__________．


【答案】


【解析】设 ，则 ，， ，由此可得： ，因为 ， ， ，所以 .又由题意知， 的右焦点为 ，故 ，因此 ，所以的方程为：.


三、解答题


11. 设为坐标原点，动点在椭圆:上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.


(1)求点的轨迹方程；


(2)设，在x轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.


【解析】（1）设，，则


在椭圆上 …①


由知：，即：，代入①得：


即点的轨迹方程为：…②


（2）假设存在点满足条件，设


由得：


即：


此方程与(1)中②表示同一方程，故：，解得：


存在点满足条件


12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为.已知(为原点)


（1）求椭圆的离心率；


（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.


【解析】（1）由题意可得，，设，


因为，所以，


所以椭圆离心率为；


（2）由（1）得，，


所以椭圆方程可设为，直线，


设圆心，由，消去y整理得即，


所以或，当时，；当时，；


又在轴上方，所以，


因为，所以，


因为，，


所以，所以，所以，


由圆同时与轴和直线相切，可得圆的半径为2，


所以点到直线的距离，解得（负值舍去），


所以，，所以椭圆方程为.