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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质优秀课后练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质优秀课后练习题，共7页。试卷主要包含了 已知F是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.（2020山东泰安高二期中）过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ( )
A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23
【答案】B
【解析】由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.
2.（2020·安徽宣城高二期中）已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆标准方程为：.短轴长为，，解得：.
离心率，又，，椭圆的标准方程为.
3. （2020·湖北宜昌高二月考）设椭圆的离心率为，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当，所以，，所以，所以是的充分条件.
当，若焦点在轴上，则，所以；若焦点在轴上，则，所以，所以不是的必要条件.故选：A.
4.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为( )
A.[1,2]B.[2,3] C.[2,4]D.[1,4]
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].
5．（多选题）（2020·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；因为，且，则，所以A正确；因为，所以B正确；因为，，则有，所以C错误；因为，所以D正确；故选：ABD.
6．（多选题）（2020·江苏广陵扬州中学高二月考）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，
由题意可得，解得，又，所以，，
所以，该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为BD.
二、填空题
7.（2020·全国高二课时练）已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为 .
【答案】12
【解析】如图,|AB|=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.
8．（2020·西北工业大学附属中学高二月考）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
【答案】
【解析】由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为.
9.（2020·南京市秦淮中学高二期中）已知椭圆的焦点为，短轴端点为，若直线PF与圆相切，则圆的半径为___________
【答案】1
【解析】由椭圆的焦点为，短轴端点为，则，
不妨取，，则直线PF的方程：，
由直线PF与圆相切，所以.
10. （2020·全国高二课时练）已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为 .
【答案】3-12
【解析】如图,|AB|=a2+b2,a-c≤|PF|≤a+c,
由题意可得,a-c≤a2+b2≤a+c,不等式左边恒成立,则a2+b2≤a+c,
两边平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或e≥3-12.
∴椭圆C的离心率的最小值为3-12.
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练）（1）计算:
①若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1·kPA2为？
②若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1·kPA2为？
③若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1·kPA2为？
(2)观察①②③,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=?并证明你的结论.
【解析】（1）①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1·kPA2=2-00+3×2-00-3=-49.
②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,
∴kPA1·kPA2=43-03-5×43-0-3-5=-49.
③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,
∴kPA1·kPA2=-423-01+3×-4231-3=-49.
(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=-b2a2.
证明如下:设P(x0,y0).由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,
则kPA1·kPA2=y0-0x0+a·y0-0x0-a=y02x02-a2.
又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,
代入可得kPA1·kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.
12.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标.
【解析】（1）的焦点为，设方程为，焦距为，
则，把代入，
则有，整理得，
故或（舎），，故椭圆方程为．
（2），设，
则面积为，则，而 ，
所以，，所以点有4个，它们的坐标分别为．
一、选择题
1.（2020山东泰安高二期中）过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ( )
A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23
【答案】B
【解析】由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.
2.（2020·安徽宣城高二期中）已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆标准方程为：.短轴长为，，解得：.
离心率，又，，椭圆的标准方程为.
3. （2020·湖北宜昌高二月考）设椭圆的离心率为，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当，所以，，所以，所以是的充分条件.
当，若焦点在轴上，则，所以；若焦点在轴上，则，所以，所以不是的必要条件.故选：A.
4.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为( )
A.[1,2]B.[2,3] C.[2,4]D.[1,4]
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].
5．（多选题）（2020·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得；因为，且，则，所以A正确；因为，所以B正确；因为，，则有，所以C错误；因为，所以D正确；故选：ABD.
6．（多选题）（2020·江苏广陵扬州中学高二月考）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，
由题意可得，解得，又，所以，，
所以，该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为BD.
二、填空题
7.（2020·全国高二课时练）已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为 .
【答案】12
【解析】如图,|AB|=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.
8．（2020·西北工业大学附属中学高二月考）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.
【答案】
【解析】由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为.
9.（2020·南京市秦淮中学高二期中）已知椭圆的焦点为，短轴端点为，若直线PF与圆相切，则圆的半径为___________
【答案】1
【解析】由椭圆的焦点为，短轴端点为，则，
不妨取，，则直线PF的方程：，
由直线PF与圆相切，所以.
10. （2020·全国高二课时练）已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为 .
【答案】3-12
【解析】如图,|AB|=a2+b2,a-c≤|PF|≤a+c,
由题意可得,a-c≤a2+b2≤a+c,不等式左边恒成立,则a2+b2≤a+c,
两边平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或e≥3-12.
∴椭圆C的离心率的最小值为3-12.
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练）（1）计算:
①若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1·kPA2为？
②若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1·kPA2为？
③若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1·kPA2为？
(2)观察①②③,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=?并证明你的结论.
【解析】（1）①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1·kPA2=2-00+3×2-00-3=-49.
②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,
∴kPA1·kPA2=43-03-5×43-0-3-5=-49.
③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,
∴kPA1·kPA2=-423-01+3×-4231-3=-49.
(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=-b2a2.
证明如下:设P(x0,y0).由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,
则kPA1·kPA2=y0-0x0+a·y0-0x0-a=y02x02-a2.
又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,
代入可得kPA1·kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.
12.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的焦点为，点在椭圆上，且的面积为1，求点的坐标.
【解析】（1）的焦点为，设方程为，焦距为，
则，把代入，
则有，整理得，
故或（舎），，故椭圆方程为．
（2），设，
则面积为，则，而 ，
所以，，所以点有4个，它们的坐标分别为．
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