高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程优秀导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程优秀导学案，共14页。




1.掌握椭圆的定义.


2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程.


3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.





重点： 椭圆的定义及其标准方程


难点： 椭圆标准方程的推导过程





知识梳理


1.椭圆的定义





概念解析


1.椭圆的定义中去掉限制条件后,动点P的轨迹还是椭圆吗?


2.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )


A.椭圆 B.线段


C.圆D.以上都不对


2.椭圆的标准方程





思考: 能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?


3. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )


A.x236+y235=1 B.y236+x235=1


C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=1


4. 椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )


A.5B.6 C.7D.8


5. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )


A.(±5,0) B.(0,±5) C.±56,0D.±536,0





一、创设问题情境，探究新知


在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图，





我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？


问题1. 从集合或轨迹的角度,类比圆的定义,如何定义椭圆 ?





问题2 .你能利用日常生活中的物品做出一个椭圆吗？





这种做椭圆的方法，实际上验证了椭圆定义中的P点一定存在，而且有无数多个，那么从数学上能不能证明这一点呢？


问题3. 设F1,F2是平面的两个定点，F1F2=8，证明平面上满足


PF1+PF2=10, 的动点P有无数多个，并求P的轨迹方程。











一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，


PF1+PF2=2a,其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，


建立平面直角坐标系，如图所示，


此时,椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（ c,0）


(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.


化简得；x2a2+y2b2=1 (a>b>0),称焦点在x轴上的椭圆方程.








椭圆的标准方程


设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c ，而且椭圆上的动点P满足PF1+PF2=2a,


其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：


（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？


（2）能否通过x2a2+y2b2=1 (a>b>0) 来得到此时椭圆方程的形式？








y2a2+x2b2=1 (a>b>0),称焦点在y轴上的椭圆方程.


二、典例解析


例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.


(1)过点A(-1,-2)且与椭圆x26+y29=1的两个焦点相同;


(2)过点P(3,-2),Q(-23,1).














1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:


如果明确椭圆的焦点在x轴上,


那么设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0);


如果明确椭圆的焦点在y轴上,


那么设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0);


如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.


2.待定系数法求圆锥曲线方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.





跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.


(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);


(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且经过点-32,52.











例2. 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部


与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.














利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤








归纳总结


例3. 已知P为椭圆x212+y23=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,


∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.











(1)椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.


(2)焦点三角形的常用公式


①焦点三角形的周长L=2a+2c.


②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2.


③设P(xP,yP),焦点三角形的面积S△F1PF2=c|yP|=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan∠F1PF22.





1.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )


A.x24+y23=1B.x24+y2=1 C.y24+x23=1 D.y24+x2=1


2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)


3.已知F1,F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,


则|AB|=.


4.椭圆x2+ky2=1的焦距为2,则k的值为 .


5.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积为 .


6.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.




















参考答案：


知识梳理


1.提示:不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在. 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.


2. 解析:∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|,∴轨迹是一条线段.


答案:B


3.易得为D选项.


4.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,


结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8. 答案:D


5.∵椭圆的标准方程为x214+y219=1,∴a2=14,b2=19,


∴c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,


∴焦点坐标为±56,0. 答案:C


学习过程


问题1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.


问题3. 以F1,F2所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，


设椭圆的焦点分别为F1（-4,0）,F2 （4,0）


设P的坐标为x,y,因为PF1+PF2=10,


而且PF1=(x+4)2+y2, PF2=(x-4)2+y2,


所以(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=10. ①


当x≠0时, (x+4)2+y2≠x-42+y2,此时，


由①得(x+4)2+y2-(x-4)2+y2(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=10


整理得(x+4)2+y2-x-42+y2=85x. ②


①+ ②整理得


(x+4)2+y2 =5+45x. ③


将③式平方再整理得x225+y29=1 ④


当x=0时，由①可知242+y2=10，即y2=9，此时④也成立


可以验证，如果P的坐标满足 ④式，可得PF1+PF2=10,


不难看出方程④有无数多组实数解，这说明坐标满足PF1+PF2=10,


的点有无数个，而且P的轨迹方程为 ④式








例1分析(1)先根据椭圆x26+y29=1得到它的焦点为(0,±3),再设所求的椭圆方程为y2m+x2m-3=1,代入点A的坐标即可解出m的值,得到椭圆的标准方程;


(2)设椭圆的方程为x2p+y2q=1,p,q为不相等的正数,将P,Q的坐标代入,得到关于p,q的方程组并求解,即得椭圆的标准方程.


解:(1)∵椭圆x26+y29=1中,a2=9,b2=6,


∴c2=a2-b2=3,得焦点坐标为(0,±3),


故设所求的椭圆方程为y2m+x2m-3=1(m>3).


∵椭圆过点A(-1,-2),


∴(-2)2m+(-1)2m-3=1,解得m=6(m=2不合题意,舍去).


所以椭圆的标准方程为y26+x23=1.


(2)设椭圆的方程为x2p+y2q=1,p,q均为正数且不相等.


∵椭圆经过点P(3,-2),Q(-23,1),


∴(3)2p+(-2)2q=1,(-23)2p+12q=1,解得p=15,q=5.


所以椭圆的标准方程为x215+y25=1.


跟踪训练1 解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,


所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).


又椭圆经过点(0,2)和(1,0),


根据椭圆定义可知,a2=4,b2=1,


所以所求的椭圆的标准方程为y24+x2=1.


(2)因为椭圆的焦点在y轴上,


所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).


由椭圆的定义知,2a=-322+52+22+-322+52-22=210,即a=10,又c=2,所以b2=a2-c2=6,


所以所求椭圆的标准方程为y210+x26=1.


例2.





解:设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两


定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,


即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,


所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点


的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,


其轨迹方程为x216+y27=1.


例3.解:由已知得a=23,b=3,


所以c=a2-b2=12-3=3,


从而|F1F2|=2c=6.


在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs 60°,


即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①


由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=43,


即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②


由①②得|PF1|·|PF2|=4.


所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=3.


达标检测


1.解析:c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,


∴椭圆的方程为x24+y23=1.


答案:A


2.解析:∵方程x2+ky2=2,即x22+y22k=1表示焦点在y轴上的椭圆,


∴2k>2,故0

答案:D


3.解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1,


知|AB|=|F1A|+|F1B|,


所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,


又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.


4.解析:椭圆x2+ky2=1转换为标准形式x21+y21k=1,


当焦点在x轴上时,c2=1-1k,即2c=21-1k=2,解得k=2,


当焦点在y轴上时,c2=1k-1,即2c=21k-1=2,解得k=23.


答案:2或23


5.解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.


∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,


∴|PF1|=4,|PF2|=2.


∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.


∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,


故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|=12×2×4=4.


答案:4


6.解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,


从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.


又点M在AQ的垂直平分线上,


则|MA|=|MQ|,


故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.


又A(1,0),C(-1,0),


故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,


且2a=5,c=1,





故a=52,b2=a2-c2=254-1=214.


故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.



焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准


方程
x2a2+y2b2=1 (a>b>0)
y2a2+x2b2=1 (a>b>0)
图形
焦点


坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=a2-c2