2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第七章第三节直线、平面平行的判定与性质

第三节　直线、平面平行的判定与性质

突破点一　直线与平面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定定理和性质定理

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)

(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)

(3)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是________________．

答案：平行、相交或异面

2．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是____________________．

解析：因为a∥α，∴a与平面α没有公共点，若b⊂α，则A∈α，

又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．

答案：b∥α或b与α相交

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案：平行

考法一　线面平行的判定　

[例1]　如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.

[证明]　法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.

在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，

又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，

所以PG∥平面ABCD.

在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，

又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以GQ∥平面ABCD.

因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，

所以平面PQG∥平面ABCD.

又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.

法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.

因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，

又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，

所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.

在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.

又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，

所以PQ∥平面ABCD.

考法二　线面平行性质定理的应用　

[例2]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH.

[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴AP∥MO.

又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，

∴AP∥平面BMD.

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

且AP⊂平面PAHG，

∴AP∥GH.

线面平行问题的解题关键

(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．

(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

1.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．证明：C1F∥平面ABE.

证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，

在△ABC中，FM∥AB，

而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴FM∥平面ABE，

在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，

∴C1M∥AE，

而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，

∴C1M∥平面ABE，

∵C1M∩FM＝M，

∴平面ABE∥平面FMC1，

又C1F⊂平面FMC1，

故C1F∥平面ABE.

2.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.

证明：FG∥平面AA1B1B.

证明：在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

突破点二　平面与平面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定定理和性质定理

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)

(2)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)

(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、填空题

1．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ.

其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)

答案：②

2．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

解析：由面面平行和线面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．

答案：②

3.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

解析：∵α∥β，∴CD∥AB，则＝，

∴AB＝＝＝.

答案：

[典例]　如图，

ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.

证明：平面ABF∥平面DCE.

[证明]　法一：应用面面平行的判定定理证明

因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，

所以DE∥AF，因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，所以AF∥平面DCE，

因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面DCE，所以AB∥平面DCE，

因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.

法二：利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明

因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，

所以DE∥AF，

因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.

又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，

所以平面ABF∥平面DCE.

法三：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明

因为DE⊥平面ABCD，

所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC，

又DE∩DC＝D，

所以AD⊥平面DEC.

同理AD⊥平面ABF.

所以平面ABF∥平面DCE.

[方法技巧]

判定面面平行的4种方法

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．　　

[针对训练]

1．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P­ABM的体积．

解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，

∴MN∥PA.

∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.

又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.

∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴CN∥平面PAB.

又CN∩MN＝N，

∴平面CMN∥平面PAB.

(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，

∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．

由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，

∴BC＝，

∴三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝.

2．(2019·西安调研)如图，在多面体ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，FA⊥平面ABCD，FA∥DE，且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2.

(1)若M为线段EF的中点，求证：CM∥平面ABF；

(2)求多面体ABCDEF的体积．

解：(1)证明：取AD的中点N，连接CN，MN，

∵AD∥BC且AD＝2BC，

∴AN∥BC且AN＝BC，

∴四边形ABCN为平行四边形，

∴CN∥AB.

∵M是EF的中点，∴MN∥AF.

又CN∩MN＝N，AB∩AF＝A，

∴平面CMN∥平面ABF.

又CM⊂平面CMN，∴CM∥平面ABF.

(2)∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AB.

又AB⊥AD，且FA∩AD＝A，

∴AB⊥平面ADEF，即CN⊥平面ADEF.

连接AC，则多面体ABCDEF的体积VABCDEF＝VF­ABC＋VC­ADEF＝××2×1×2＋××(1＋2)×2×2＝.