2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.5


　

知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

1．判断正误
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　×　)
2．已知动点P(x，y)的坐标满足 ＋＝16，则动点P的轨迹方程为＋＝1.
解析：由等式关系可知，点P(x，y)到两定点(0,7)以及(0，－7)的距离之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点(0,7)和点(0，－7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为＋＝1.
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质



3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　A　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
5．(2018·浙江卷)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，
得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.

1．椭圆方程中的a，b，c
(1)a，b，c关系：a2＝b2＋c2.
(2)e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－.
　
考向一 椭圆的定义
【例1】　(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.
【解析】　(1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝.∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.
【答案】　(1)C　(2)C




椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.


(1)椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　D　)
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)(2019·河北衡水中学调研)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.
解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
(2)由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)
＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
考向二 椭圆的标准方程
【例2】　(1)(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】　(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，＝，
又c2＝a2－b2，联立
得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.
【答案】　(1)D　(2)A




(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.



(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为＋＝1.
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0 解析：(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)设点B的坐标为(x0，y0)．
∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴点B的坐标为.
将B代入x2＋＝1，得b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
考向三 椭圆的几何性质
【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)椭圆x2＋＝1(0 A. B.
C. D.
【解析】　(1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
(2)设F(－c,0)，A(0，b)，B(a,0)，且△FAB的外接圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2.将(－c,0)，(0，b)，(a,0)分别代入圆的方程，可得m＝，n＝.由m＋n<0，可得＋<0，即1－c＋b－<0⇒b－c＋<0，所以b－c<0，即b2，所以 【答案】　(1)D　(2)A





椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：
(1)求出a，c，代入公式e＝.
(2)根据条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.



(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.P是椭圆上一点，位于第一象限，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且＝2.若·＝0，则e2＝(　C　)
A.－1 B．2－
C．2－ D.－2
(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点，若∠OPA＝90°，则该椭圆的离心率e的取值范围是(　B　)
A. B.
C. D.
解析：(1)由题可得F1(－c,0)，F2(c,0)，P，则Q，∴＝－，，＝，∴·＝·＝－＋＝0，结合b2＝a2－c2化简得e4－4e2＋1＝0，解得e2＝2±.∵0 (2)设椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，由题意知点P在以OA为直径的圆上，圆的方程为2＋y2＝2，化简为x2－ax＋y2＝0.由可得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，则x＝，因为0 考向四 直线与椭圆的位置关系
【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
【解】　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为(1，)或(1，－)．所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k
＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．
所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.



　
(1)解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线斜率).


(2019·贵州适应性考试)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①y1y2＝－，②
因为F1(－1,0)，所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则kBF2＝或－，所以直线BF2的方程为
y＝x－或y＝－x＋.