知识点一　　两条直线平行与垂直的判定

1．两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．

2．两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔

k1·k2＝－1.

1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　D　)

A．－3   B．－

C．2   D．3

解析：由2a＋2×(－3)＝0，得a＝3.

2．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(　C　)

A．1或3　　　B．1或5　　　C．3或5　　　D．1或2

解析：法1：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.法2：因已知两条直线平行，所以k＝3或解得k＝3或k＝5.

知识点二　　两条直线的交点

设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组

的解，

(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．

3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为.

解析：由得代入y＝ax－2得a＝.

4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(－b－1，－a－1)．

解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，

则

即

解之得

即对称点坐标为(－b－1，－a－1)．

知识点三　　　两种距离

1．点到直线的距离

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

2．两条平行线间的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是.

解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.

6．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为或－4.

解析：由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB中点在直线ax＋y＋1＝0上，所以a＝或－4.

1．两直线平行或重合的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.

2．两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

3．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

4．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

考向一　　　两条直线的平行与垂直

【例1】　(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)

A．－1   B．2

C．0或－2   D．－1或2

(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.

【解析】　(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；

当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，

解得a＝－1或2.

(2)因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.

即(－1)·＝－1，解得a＝－2.

【答案】　(1)D　(2)－2

1当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.

2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

(1)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　D　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为25.

解析：(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.

(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.

考向二　　两条直线的交点

【例2】　(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________．

(2)已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．

【解析】　(1)解法1：由方程组

得即P(0,2)．因为l⊥l3，

所以直线l的斜率k＝－，

所以直线l的方程为y－2＝－x，

即4x＋3y－6＝0.

解法2：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.

(2)直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．

【答案】　(1)4x＋3y－6＝0　(2)(2，－2)

(1)求过两直线交点的直线方程的方法

先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)过定点问题

把直线方程整理成m(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，由可求定点坐标．

(1)经过两直线2x＋y＋4＝0和x－2y－3＝0的交点P(－1，－2)，且斜率是直线x－2y＋5＝0的斜率的2倍的直线l的方程为x－y－1＝0.

(2)不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标是(2,3)．

解析：(1)由题意得，两直线的交点P(－1，－2)，直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程为y＋2＝x＋1，即x－y－1＝0.

(2)直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根据k的任意性可得解得∴不论k取什么实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过定点(2,3)．

考向三　　　距离问题

【例3】　(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为______________________．

【解析】　(1)因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

即＝，

所以|PQ|的最小值为.

(2)设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，

由已知及点到直线的距离公式可得

＝，

解得k＝2或k＝－，

即所求直线的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.

【答案】　(1)C　(2)2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

1点Px0，y0到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；

2利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等.

(1)若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　A　)

A．3  B．2

C．3  D．4

解析：(1)方法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知

＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

方法2：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，

直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

(2)依题意知，线段AB的中点M在到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线(设为l)上，则M到原点的距离的最小值为原点到直线l的距离．设点M所在直线l的方程为x＋y＋m＝0.根据平行线间的距离公式得＝，即|m＋7|＝|m＋5|，得m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.

考向四　　对称问题

【例4】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

【解】　(1)设A′(x，y)，由已知条件得

解得∴A′(－，)．

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，

则得M′(，)．

设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)解法1：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)．再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

解法2：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．

∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得＝，

解得C＝－9.∴l′的方程为2x－3y－9＝0.

解法3：设P(x，y)为l′上任意一点，

则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，

∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.

对称问题的解法

以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：

(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；

(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；

(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；

(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．

(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.

(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　C　)

A．3   B．6

C．2   D．2

解析：(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

(2)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.