2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第38讲数列求和

第38讲　数列求和

1．掌握数列求和的常用方法与思路．

2．能选择适当的方法解决有关数列求和的问题．

知识梳理

1．常用公式

(1)等差数列求和公式：Sn＝　＝na1＋d　，推导方法是　倒序相加　.

(2)等比数列求和公式：

Sn＝　　，推导方法是　错位相减　.

2．常用方法

(1)分组求和法：将通项展开后分解成几组，其中每一组可转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和．

(2)裂项求和法：将数列中的通项拆成两项之差求和，使之正负相消，剩下首尾若干项．

(3)并项求和法：依次将数列中相邻两项并成一项，使之转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和．

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列(倒序)与原数列相加，叫倒序相加，主要用于倒序相加后对应项和有公因式可提的数列求和，如等差数列求和公式就是用倒序相加法推导出来的．

(5)错位相减法：这是推导等比数列前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．

1．常见数列的前n项和

(1)1＋2＋3＋…＋n＝；

(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n；

(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；

(4)12＋22＋…＋n2＝.

2．常见的裂项公式

(1)若{an}各项都是不为0的等差数列，公差为d(d≠0)，则

＝(－)；

(2)＝(－)；

(3)＝－.

热身练习

1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋的前n项和是(B)

A．1＋n2－()n－1  B．1＋n2－()n

C．1＋n2－()n＋1  D．1＋n2－2n

　 1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＋

　＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]

＋(＋＋＋＋…＋)

　＝＋

　＝n2＋1－()n.

2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(A)

A．15  B．12

C．－12  D．－15

　 因为an＝(－1)n(3n－2)，则

a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28

＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)

＝3×5＝15.

3．求和Sn＝＋＋＋…＋＝　(－－)　.

　 因为＝(－)，

所以原式＝[(1－)＋(－)＋(－)

＋…＋(－)]

＝(1＋－－)

＝(－－)．

4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝　　.

　 设S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°，

则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin22°＋sin21°

上述两式相加得2S＝1×89，所以S＝.

5．化简和式：1×2＋2×4＋…＋n×2n＝　(n－1)2n＋1＋2　.

　 令Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②

①－②得：

－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1

＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1.

所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.

 分组求和与并项求和

(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，

所以bn＝3n－1(n∈N*)．

设等差数列{an}的公差为d.

因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.

所以an＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，

因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1

＝＋

＝n2＋.

　　 (1)数列求和，要注意通项的分析，根据通项的特点灵活选择方法．本题通项cn可表示为an＋bn的形式，其中{an}是等差数列，{bn}是等差数列，故可采取拆项求和的方法．

(2)“拆项”和“并项”方式不同，但目的都是为了转化，通过“拆”和“并”的手段，将不可直接求和的数列问题转化为可求和的数列来处理．

1．若Sn＝－12＋22－32＋…＋(－1)nn2(n∈N*)，求Sn.

当n为偶数时，

Sn＝－12＋22－32＋…＋[－(n－1)2]＋n2

＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[n2－(n－1)2]

＝3＋7＋…＋(2n－1)

＝·＝.

当n为奇数时，

Sn＝Sn－1＋an＝－n2＝－.

综上，可知Sn＝(－1)n.

 裂项求和法

(经典真题)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋.

由已知可得解得

故{an}的通项公式为an＝2－n.

(2)由(1)知＝

＝(－)，

从而数列的前n项和为

(－＋－＋…＋－)

＝.

(1)本题考查了等差数列的基本量及其关系，考查了裂项求和的基本方法．

(2)利用裂项求和法时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，要根据通项的特点来确定．

2．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，

a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，

两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．

又由题设可得a1＝2，满足上式，

所以{an}的通项公式为an＝.

(2)记的前n项和为Sn.

由(1)知＝＝－，

则Sn＝－＋－＋…＋－＝.

 错位相减法求和

(经典真题)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，

故d＝，从而a1＝，

所以{an}的通项公式为an＝n＋1.

(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则

Sn＝＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋.

两式相减得

Sn＝＋(＋…＋)－

＝＋(1－)－＝1－.

所以Sn＝2－.

(1)本题考查了等差数列的通项公式及错位相减法求和的基本方法，考查运算求解能力．

(2)一般地，若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{an·bn}的前n项和可采用错位相减法．

3．(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

(1)设{an}的公比为q，

由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，

所以an＝2n.

(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.

令cn＝，则cn＝.

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，

又Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得

Tn＝＋(＋＋…＋)－

＝＋1－－＝－，

所以Tn＝5－.

1．数列求和的基本思想是“转化”，其一是转化为基本数列(如等差、等比数列)的求和或其他可求和的数列；其二是通过消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．到底如何进行转化，关键是在分析数列通项及其和式的构成规律，根据其特点转化为基本数列求和，或分解为基本数列求和．

2．对于一般的数列求和无通法可循，能求和的是几类特殊的数列，其常用的方法有分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项求和法等，要注意分析总结这几种方法的适用类型．

3．对通项中含有(－1)n或奇数项、偶数项由等差(等比)数列构成的数列，求前n项和时，注意根据n的奇偶性进行讨论，转化为基本数列求和．