(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第36讲《数列求和》（讲）（解析版）

第36讲 数列求和（讲）

思维导图

知识梳理

1．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋.

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝

推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝；

②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

[常用结论]

常见的裂项技巧

①＝－.

②＝.

③＝.

④＝－.

⑤＝.

题型归纳

题型1    分组转化求和

【例1-1】（2020春•昆明期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【分析】本题第（1）题先设等差数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列出关于公差的一元二次方程，解出的值，则可计算出数列的通项公式；

第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法计算出前项和．

【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则

，，

，，成等比数列，

，即，

整理，得，

解得（舍去），或，

，．

（2）由（1）知，设，

故

．

【跟踪训练1-1】（2020春•保定期末）已知数列、满足：，为等比数列，且，，．

（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；

（2）求数列的前项和．

【分析】（1）由已知数列递推式求出，结合数列为等比数列，求得首项与公比，得到，进一步求出，验证即可得到数列不是等差数列；

（2）由（1）中的等比数列列出的表达式，然后累加得数列的通项，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解．

【解答】解：（1）数列不是等差数列．

理由如下：

由，且，，，得，

又数列为等比数列，

数列的首项为4，公比为2．

，得，

显然．

故数列不是等差数列；

（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2．

故，．

，，，，

．

令，，．

得，

，

，

累加得．

．

又满足上式，．

．

【跟踪训练1-2】（2020春•永州期末）已知等差数列，等比数列满足：，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的公差为，求出通项公式．求出等比数列的公比为，然后求解通项公式．

（2）写出，利用分组求和求解即可．

【解答】解：（1）由，，

设等差数列的公差为，则，所以，

所以，

设等比数列的公比为，由题，所以．

所以；

（2），

所以的前项和为

．

【名师指导】

1．分组转化求和

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．

2．分组转化法求和的常见类型

题型2    裂项相消法求和

【例2-1】（2020春•黔南州期末）已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．

【解答】解：（1）设首项为，公差为的等差数列，满足，．

所以，解得，

所以．

（2）由（1）得，

所以．

【跟踪训练2-1】（2020•安宁区校级模拟）已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】利用等差数列的前项和，求出，化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．

【解答】解：是一个等差数列的前项和，

可得，解得，

所以函数，

数列即，，

所以数列的前项和为，

则．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•成都期末）数列的前项和为，若，则　　

A．1 B． C． D．

【分析】利用数列的递推关系式，通过裂项相消法求解数列的和即可．

【解答】解：数列的前项和为，，

所以：．

故选：．

【名师指导】

1.基本步骤

2.裂项原则

一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

3.消项规律

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

题型3    错位相减法求和

【例3-1】（2020春•柳林县期末）已知数列的前项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【分析】（1）根据数列递推公式，即可求出通项公式；

（2）根据错位相减法即可求出前项和．

【解答】解：（1）由，得：当时，；

当时，．

经检验当时，也成立，所以，

（2）由（1）知，故．

所以．

，①

，②

由①②，得，

所以．

【跟踪训练3-1】（2020春•黄冈期末）已知数列满足，，已知数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【分析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．

【解答】解：（Ⅰ）数列满足，，

所以（常数），

当时，解得，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．

所以．

数列的前项和为，且满足①

当时，解得．

当时，②

①②得，整理得（常数），

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以③，

④，

③④得：，

整理得．

【跟踪训练3-2】（2020春•成都期末）已知等差数列的前项和为，，；各项均为正数的等比数列满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求．设等比数列的公比为，由已知列首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；

（2）把数列和的通项公式代入数列，再由错位相减法求数列的前项和．

【解答】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，

由，，得，解得．

；

设等比数列的公比为，

由，，得，解得．

；

（2）．

令的前项和为，

则，

两式作差可得：

，

．则．

【名师指导】

错位相减法求数列{an}的前n项和

(1)适用条件

若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn.

(2)基本步骤

(3)注意事项

①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．