第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

2019考纲考题考情

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。

(2)商数关系：tanα＝。

2．三角函数的诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。

公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα。

公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。

公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα。

公式五：sin＝cosα，cos＝sinα。

公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα。

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα。

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

一、走进教材

1．(必修4P19例6改编)已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝(　　)

A．－2   B．2

C．   D．－

解析　因为cosα＝－＝－ ＝－，所以tanα＝＝－。

答案　D

2．(必修4P20练习T4改编)化简＝________。

解析　＝＝sin2θ。

答案　sin2θ

二、走近高考

3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)

A．   B．

C．1   D．

解析　cos2α＋2sin2α＝＝＝＝。

答案　A

4．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若sinα＝，则sinβ＝________。

解析　由题意可知角α在第一或第二象限，若角α与角β的终边关于y轴对称，则β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝。

答案　

三、走出误区

微提醒：①不会运用消元思想转化为关于tanx的齐次式；②不会对式子变形，且不注意角的范围出错；③诱导公式记忆不熟出错。

5．已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为(　　)

A．0   B．

C．   D．

解析　sin2x＋1＝＝＝，故选B。

答案　B

6．化简cosα ＋sinα 得(　　)

A．sinα＋cosα－2   B．2－sinα－cosα

C．sinα－cosα   D．cosα－sinα

解析　原式＝cosα ＋sinα ＝cosα·＋sinα·，因为π<α<π，所以cosα<0，sinα<0。所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2。故选A。

答案　A

7．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝__________，cos＝________。

解析　由sin(π＋α)＝－sinα＝－，得sinα＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sinα＝。

答案　　

考点一  同角三角函数的基本关系　　　　　　　　　　　　

方向1：“知一求二”问题

【例1】　(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)

A．－   B．

C．±   D．－k

(2)(2019·厦门质检)若α∈，sin(π－α)＝，则tanα＝(　　)

A．－   B．

C．－   D．

解析　(1)由cosα＝k，α∈得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－。故选A。

(2)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－。

答案　(1)A　(2)C

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形。同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的。

方向2：弦切互化

【例2】　(1)已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是(　　)

A．   B．－

C．－3   D．3

(2)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________。

解析　(1)由＝5得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝。故选A。

(2)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－。

答案　(1)A　(2)－

若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型。

方向3：sinα±cosα与sinαcosα关系的应用

【例3】　(1)若|sinθ|＋|cosθ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)

A．   B．

C．   D．

(2)(2019·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ＝(　　)

A．   B．

C．   D．－

解析　(1)因为|sinθ|＋|cosθ|＝，两边平方，得1＋|sin2θ|＝。所以|sin2θ|＝。所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝。故选B。

(2)因为sinθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得m＝－。因为θ为第二象限角，所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，所以sinθ－cosθ＝＝＝＝ ＝。故选B。

答案　(1)B　(2)B

对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知sin(π＋α)＝－，则tan值为(　　)

A．2   B．－2

C．   D．±2

解析　因为sin(π＋α)＝－，所以sinα＝，cosα＝±，tan＝＝±2。故选D。

答案　D

2．(方向2)已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)

A．　 　 　B．  C．　 　 　D．

解析　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入，得原式＝。故选C。

答案　C

3．(方向2)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝(　　)

A．－　 　 B．  C．－　 　 D．

解析　由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故选D。

解析：由题意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故选D。

答案　D

4．(方向3)已知sinα＋cosα＝，α∈[0，π]，则tanα＝(　　)

A．－   B．－

C．   D．

解析　将sinα＋cosα＝①，左右两边平方，得1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－<0。又α∈[0，π]，所以sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0，因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，所以sinα－cosα＝②，联立①②解得sinα＝，cosα＝－，则tanα＝＝－。

答案　A

考点二  诱导公式及应用

【例4】　(1)已知f (α)＝，则f ＝(　　)

A．   B．

C．   D．－

(2)已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)

A．   B．

C．－   D．－

解析　(1)f (α)＝＝＝＝cosα，则f ＝cos＝。

(2)因为cos(75°＋α)＝，所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－。

答案　(1)A　(2)D

1．已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解。转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用。

2．对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化。特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错。

【变式训练】　(1)sin300°＋tan600°的值是(　　)

A．－   B．

C．－＋   D．＋

(2)若sin＝，则cos＝________。

解析　(1)sin300°＋tan600°＝sin(－60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝。故选B。

(2)因为sin＝，所以cos＝cos＝sin＝。

答案　(1)B　(2)

1．(配合例1使用)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tanα＝________。

解析　由题意结合同角三角函数基本关系有解方程可得或则tanα＝＝3或－。

答案　3或－

2．(配合例2使用)若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则cos2α＝(　　)

A．   B．

C．   D．－

解析　由题意易得tanα＝，cos2α＝＝＝＝。故选B。

答案　B

3．(配合例3使用)已知sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为(　　)

A．－1   B．－2

C．   D．2

解析　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝。所以tanα＋＝＋＝＝2。故选D。

答案　D

4．(配合例4使用)已知α∈，sin＝，则cos＝(　　)

A．   B．

C．－   D．－

解析　因为sin＝cos＝，所以cos＝。故选B。

答案　B