数学九年级下册9 弧长及扇形的面积教案

这是一份数学九年级下册9 弧长及扇形的面积教案，共6页。

课时安排 1课时


从容说课


本节课的内容为弧长及扇形的面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．


在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了．





课 题


§ 3．7 弧长及扇形的面积


教学目标


(一)教学知识点


1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；


2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．


(二)能力训练要求


1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．


2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．


(三)情感与价值观要求


1．经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．


2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题．让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．


教学重点


1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．


2．了解弧长及扇形面积计算公式．


3．会用公式解决问题．


教学难点


1．探索弧长及扇形面积计算公式．


2．用公式解决实际问题．


教学方法


学生互相交流探索法


教具准备


2．投影片四张


第一张：(记作§ 3．7 A)


第二张：(记作§ 3．7 B)


第三张：(记作§ 3．7 C)


第四张：(记作§ 3．7 D)


教学过程


Ⅰ．创设问题情境，引入新课


[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．


Ⅱ．新课讲解


一、复习


1．圆的周长如何汁算?


2，圆的面积如何计算?


3．圆的圆心角是多少度?


[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．


二、探索弧长的计算公式


投影片(§ 3．7 A)


如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm


．


(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?


(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?


(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?


[师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．


[生]解：(1)转动轮转一周．传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；


(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm；


(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×cm．


[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．


[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×.


[师]表述得非常棒．


在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：


l=.


下面我们看弧长公式的运用．


三、例题讲解


投影片(§3．7 B)


制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)．





分析：要求管道的展直长度．即求弧AB的长，根据弧长公式l＝可求得弧AB的长，其中n为圆心角，R为半径．


解：R＝40mm，n=110．


∴弧AB的长= πR=弧×40π≈76．8 mm．


因此．管道的展直长度约为76．8 mm．


四、想一想


投影片(§3．7 C)


在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．


(1)这只狗的最大活动区域有多大？


(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?


[师]请大家互相交流．


[生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；





(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的弧，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=．


[师]清大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式．


[生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．因此扇形面积的计算公式为S扇形＝πR2，


其中R为扇形的半径，n为圆心角．


五、弧长与扇形面积的关系


[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．


[生]∵l=πR，S扇形=πR2，


∴πR2=R·πR．∴S扇形=lR．


六、扇形面积的应用


投影片(§3．7 D)


扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0．1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0．1 cm2)


分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径尺和圆心角n即可，本题中这些


条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．


解：弧AB的长=π×12≈25．1cm：


S扇形=π×122≈150．7 cm2．


因此，弧AB的长约为25．1 cm，扇形AOB的面积约为150．7 cm2．


Ⅲ．课堂练习


随堂练习


Ⅳ．课时小结


本节课学习了如下内容：


1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；


2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；


3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．


Ⅴ．课后作业








习题3．10


Ⅵ．活动与探究


如图，两个同心圆


被两条半径截得的弧AB


的长为6πcm，弧CD的


长为10πcm，又AC＝


12 cm，求阴影部分ABDC的面积．


分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．


解：设OA＝R，OC＝R+12，∠O＝n°，根据已知条件有：





6π=πR ①





10π=π(R+12) ②


由①/② 得.


∴3(R+12)=5R，∴R＝18．


∴OC＝18+12＝30．


∴S＝S扇形COD-S扇形AOB＝×10π× 30-×6π×18＝96πcm2．


所以阴影部分的面积为96πcm2．


板书设计


§3．7 弧长及扇形的面积


一、1. 复习圆的周长和面积计算公式；


2．探索弧长的计算公式；


3．例题讲解；


4．想一想；


5．弧长及扇形面积的关系；


6．扇形面积的应用．


二、课堂练习


三、课时小结


四、课后作业


备课资料


一、参考例题


[例]如图，已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点O1、O2、O3．求弧O1O2，弧O2O3，弧O3O1,围成的图形面积S(图中阴影部分)．





分析：阴影部分的面积等于△ABC的面积减去三个扇形AO1O3、BO1O2、CO2O3的面积，而这三个扇形面积相等．


解：∵S△ABC=a· a2，


S扇形AO1O3=a2，


∴S阴影＝S△ABC-3S扇形AO1O3 =a2