初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积优秀随堂练习题

这是一份初中数学北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积优秀随堂练习题，共19页。

专题3.8 弧长和扇形面积（知识解读）
【学习目标】
1. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积
2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
3. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。
【知识点梳理】
考点1 扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积

注意：　
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.


考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系

1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=


（2） 圆柱的体积：

2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【典例分析】
【考点1 弧长的计算】
【典例1】（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【变式1-1】（2022•香洲区一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长是（　　）

A． B． C． D．
【变式1-2】（2021•道里区一模）已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角
为　　 度．



【变式1-3】（2021•葫芦岛模拟）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为　 　．

【典例2】（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，＝40，则＝　　　　．

【变式2-1】（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（　　）cm．

A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+12
【变式2-2】（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　　　　．


【典例3】（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（　　）

A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【变式3-1】（2020•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
【变式3-2】（2020•禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　 　．

【变式3-3】（2020•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．

【考点2 扇形面积的计算】
【典例4】（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　　．（结果保留π）
【变式4-1】（2022•启东市模拟）一个扇形的弧长为6π，圆心角为120°，则此扇形的面积为　 　．
【变式4-2】（2021•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为　cm2．

【典例5】（2021秋•南昌县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．











【变式5】（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．


【考点3 与圆柱、圆锥有关的计算】
【典例6】（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【变式6-1】（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）
A． cm B．cm C．3cm D．cm
【变式6-2】（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（　　）

A．4cm B．cm C．2cm D．2cm
【变式6-3】（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　　　　．（用含π的代数式表示），圆心角为 　　　　度．





















专题3.8 正多边形和圆（知识解读）
【学习目标】
4. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积
5. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
6. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。
【知识点梳理】
考点1 扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积

注意：　
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.


考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系

1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=


（3） 圆柱的体积：

2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【典例分析】
【考点1 弧长的计算】
【典例1】（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】B
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故选：B．
【变式1-1】（2022•香洲区一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：l＝＝＝π（cm）．
故选：B．
【变式1-2】（2021•道里区一模）已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为　　度．
【答案】45
【解答】解：设圆心角为n°．
由题意，＝2π，
解得n＝45，
故答案为：45．
【变式1-3】（2021•葫芦岛模拟）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为　 　．

【答案】
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝＝，
故答案为：．
【典例2】（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，＝40，则＝　　　　．

【答案】１００
【解答】解：设∠AOB＝n°．
由题意＝40，
∴nπ＝360，
∴＝＝100，
故答案为：100．
【变式2-1】（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（　　）cm．

A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+12
【答案】D
【解答】解：∵OA的长为12cm，贴纸部分的宽AC为6cm，
∴OC＝OA﹣AC＝6cm，
又OA和OB的夹角为120°，
∴＝＝4π，
＝＝8π，
∴贴纸部分的周长为4π+8π+2×6＝12π+12．
故选：D．
【变式2-2】（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　　　　．

【答案】
【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．

∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，
∴的长＝＝．
故答案为：．
【典例3】（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（　　）

A．5cm B．πcm C．πcm D．5πcm
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
lAB＝＝＝πcm，
故点B所经过的路程为πcm．
故选：C．
【变式3-1】（2020•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）

A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm
【答案】D
【解答】解：＝20πcm，
故选：D．
【变式3-2】（2020•禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　 　．

【答案】
【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段＝，第二段＝．
故B点从开始至结束所走过的路径长度＝+＝．
【变式3-3】（2020•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．

【答案】（1）略 （2）
【解答】解：（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2
连接OA，OA2，，
点A旋转到A2所经过的路线长为．








【考点2 扇形面积的计算】
【典例4】（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　　．（结果保留π）
【答案】4π
【解答】解：S扇形＝＝4π，
故答案为：4π．
【变式4-1】（2022•启东市模拟）一个扇形的弧长为6π，圆心角为120°，则此扇形的面积为　 　．
【答案】27π
【解答】解：∵一个扇形的弧长为6π，圆心角为120°，
∴6π＝，
解得，r＝9，
∴扇形的面积是：＝27π，
故答案为：27π．
【变式4-2】（2021•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为　cm2．

【答案】4π　
【解答】解：∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，
∴BC＝2，AC＝2，∠A′BA＝120°，∠CBC′＝120°，
∴阴影部分面积＝（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC＝×（42﹣22）＝4πcm2．
故答案为：4π．
【典例5】（2021秋•南昌县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠C＝∠BEO，
∴OD∥AC；
（2）解：连接OC，
设OB＝OD＝r，
∵DE＝2，
∴OE＝r﹣2，
∵BE2+OE2＝BO2，
∴（2）2+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝4，
∴OB＝OD＝4，
∴OE＝2，
∴OE＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣×4×2＝π﹣4．

【变式5】（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cos∠CAB＝，即cos60°＝
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠COD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD＝＝2，
∴S△OCD＝S△ACD＝＝＝，
∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣＝π﹣．


【考点3 与圆柱、圆锥有关的计算】
【典例6】（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解答】解：弧长：＝4π（cm），
圆锥底面圆的半径：r＝＝2（cm）．
故选：C．
【变式6-1】（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）
B． cm B．cm C．3cm D．cm
【答案】A
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr＝，
r＝cm．
故选：A．
【变式6-2】（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（　　）

A．4cm B．cm C．2cm D．2cm
【答案】A
【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6cm，
可知扇形的弧长为＝4πcm，
即圆锥的底面圆周长为4πcm，
则底面圆半径为2cm，
已知OA＝6cm，
由勾股定理得圆锥的高是4cm．
故选：A．
【变式6-3】（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　　　　．（用含π的代数式表示），圆心角为 　　　　度．
【答案】12π，216
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
根据题意得2π×6＝，
解得n＝216，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：12π，216．