2021届山东高考数学一轮创新教学案：第11章　第2讲　数系的扩充与复数的引入

第2讲　数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念

2.复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量.

3.复数代数形式的四则运算

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

(4)复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．

②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．

4.模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.

1.概念辨析

(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)

(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2.小题热身

(1)已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)

A.－2i  B．2i 

C．2  D．－2

答案　D

解析　z＝＝＝＝2－2i，故虚部为－2.故选D.

(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　C

解析　＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.

(3)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i为虚数单位)，则|z|为(　　)

A.4  B．3 

C．2  D．1

答案　D

解析　|z|＝＝1.

(4)设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.

答案　4

解析　因为z1z2＝(2－i)(a＋2i)

＝2a＋2＋(4－a)i，

且z1z2是实数，所以4－a＝0即a＝4.

题型 一　复数代数形式的四则运算

1.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A.－1－i  B．－1＋i

C.1－i  D．1＋i

答案　D

解析　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.

2.已知i是虚数单位，8＋2020＝________.

答案　0

解析　原式＝8＋1010＝i8＋1010＝i8＋i1010＝1＋i4×252＋2＝0.

1.复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的加减法

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．

(2)复数的乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(3)复数的除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

2.记住以下结论，可提高运算速度

(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

1.＝(　　)

A.2  B．－2 

C.  D．－

答案　A

解析　＝

＝＝＝2.

2.(2019·武汉模拟)设复数z满足＝i，则z＝(　　)

A.＋i  B.－i

C.－＋i  D．－－i

答案　C

解析　解法一：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.故选C.

解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝i可化为1＋2a＋2bi＝i－ai＋b，则1＋2a＋2bi＝b＋(1－a)i，所以解得所以z＝－＋i.故选C.

题型 二　复数的有关概念

1.(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)

A.1＋2i  B．－1＋2i 

C．1－2i  D．－1－2i

答案　D

解析　∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.故选D.

2.(2019·青岛二模)“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的(　　)

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　当a＝2时，＝＝＝4i，为纯虚数；若＝＝a－2＋(a＋2)i是纯虚数，则a－2＝0，a＋2≠0，所以a＝2.所以“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.

3.(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)

A.2  B. 

C.  D．1

答案　C

解析　∵z＝＝＝，

∴|z|＝＝.故选C.

4.(2019·东北育才学校模拟)若复数z＝，且zi3>0，则实数a的值等于(　　)

A.1  B．－1 

C.  D．－

答案　A

解析　∵z＝＝＝，

∴zi3＝＝.∵zi3>0，∴zi3为实数，∴－＝0，∴a＝1.当a＝1时，zi3＝1>0，符合题意．故选A.

处理复数基本概念问题的关键

因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

1.(2019·山西大学附中模拟)复数的实部与虚部之差为(　　)

A.－1  B．1 

C．－  D.

答案　B

解析　因为＝－－i，所以实部为－，虚部为－，所以实部与虚部之差为－－－＝1.故选B.

2.(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

答案　5　2

解析　因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.

由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.

所以a2＋b2＝5，ab＝2.

题型 三　复数的几何意义

1.(2020·福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)

A.1＋i  B.＋i

C.1＋i  D．1＋i

答案　B

解析　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.

2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)  B．(－∞，0)

C.(0，＋∞)  D．(1，＋∞)

答案　D

解析　由题意，得＝＝＝＋i，所以复数对应的点的坐标为，.又此点位于第一象限，所以解得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．故选D.

3.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A.(x＋1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1

C.x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1

答案　C

解析　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，

∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.

复数的几何意义及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．

1.(2019·长春二模)已知复数z＝i＋i2，则在复平面内z对应的点位于(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　∵i＋i2＝－1＋i，∴i＋i2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.

2.在复平面内，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，则在▱OACB中，点C所对应的复数为(　　)

A.2＋2i  B．2－2i 

C．1＋i  D．1－i

答案　A

解析　在▱OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C所对应的复数为2＋2i.

3.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝(　　)

A．－＋i

B.＋i

C.－i

D.－－i

答案　B

解析　由图可知z＝2＋i，因为(z1－i)·z＝1，

所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i.

　组　基础关

1.(2019·潍坊模拟)设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)

A.－1  B．－i 

C．－2i  D．－2

答案　D

解析　z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.故选D.

2.(2020·大连摸底)在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　z＝＝＝＝－1－2i，其共轭复数＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限.

3.(2019·南宁二模)若复数z满足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　解法一：由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得z＝－1＝＋i，所以|z|＝＝.故选A.

解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得(1＋a＋bi)(1＋i)＝1＋2i，所以(1＋a－b)＋(1＋a＋b)i＝1＋2i，所以解得所以z＝＋i，则|z|＝＝.故选A.

4.(2019·广东湛江测试)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)

A.i  B．1 

C．－i  D．－1

答案　C

解析　∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.故选C.

5.已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝(　　)

A.i  B．1 

C．－i  D．－1

答案　A

解析　因为m＋(m2－4)i>0，所以m＋(m2－4)i是实数，所以故m＝2.所以＝＝＝i.

6.(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)

A.2  B.

C．2  D．4

答案　A

解析　∵(1＋i)x＝2＋yi，x＋ix＝2＋yi.∴x＝2，y＝2，∴|x＋yi|＝2.故选A.

7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A.p1，p3  B．p1，p4 

C．p2，p3  D．p2，p4

答案　B

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.

8.(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

答案　－2

解析　∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.

9.设i是虚数单位，若z＝，则复数z的虚部是________．

答案　－

解析　因为z＝＝＝＝－－i，所以复数z的虚部是－.

10.已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝________.

答案　＋i

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为z＋|z|＝3＋i，所以a＋＋bi＝3＋i，

即解得所以z＝＋i.

　组　能力关

1.(2019·哈尔滨模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，为z的共轭复数，则以下结论正确的是(　　)

A.z2＝|z|2

B.若a＝0则z为纯虚数

C.(z－)(z＋)＝0

D.若a＝b，则z对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上

答案　D

解析　z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故B错误；因为z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝a－bi，(z－)(z＋)＝2bi·2a＝4abi≠0，故C错误；z＝a＋bi，对应复平面上的点坐标为(a，b)，若a＝b，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D正确.

2.(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e－i表示的复数在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　由题意，e－i＝cos＋isin

＝－cos＋isin＝－＋i，则e－i表示的复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．选B.

3.(2019·西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)

A.2－2i  B．2＋2i

C.－2＋2i  D．－2－2i

答案　A

解析　由题意得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理得(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，所以所以所以z＝2－2i.

4.已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1＝＋|z|在复平面内对应的点在(　　)

A.第一象限  B．第二象限

C.第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　令z＝a＋bi(a<0，b<0)，则|z|＝>|a|，z1＝＋|z|＝(＋a)－bi，又＋a>0，－b>0，所以z1在复平面内对应的点在第一象限.

5.已知复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai|的取值范围是________．

答案　[1，)

解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以

解得－1<a<2.所以|1＋ai|＝∈[1，).

6.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是________．

答案　

解析　由复数相等的充要条件，可得

化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈.