2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第四章　第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数



一、知识梳理
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数

三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线



有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线
常用结论
1．象限角

2．轴线角

3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
二、教材衍化
1．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－　二
2．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．　
答案：
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
二、易错纠偏
(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).
2．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝ ．
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.

答案：－1


　　　　　　象限角及终边相同的角(典例迁移)
(1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

(2)若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解析】　(1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，n∈Z，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.
(2)因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
【答案】　(1)C　(2)C
【迁移探究】　(变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？
解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．

(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；
③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．

1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而得k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
答案：－675°和－315°
2．若sin α·tan α<0，且<0，则α是第 象限角．
解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
答案：三

　　　　　　扇形的弧长、面积公式(师生共研)
(2020·陕西宝鸡模拟)已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.

弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．

1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．2
C．8 D．1
解析：选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，
即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.
2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
答案：

　　　　　　三角函数的定义(多维探究)
角度一　利用三角函数定义求值
(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B.
C. D．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则tan α＝ ．
【解析】　(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝.
所以P，所以tan α＝.
【答案】　(1)D　(2)

三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
角度二　判断三角函数值的符号
若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.
【答案】　C

三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．

1．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选A.由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
所以Q点的坐标为.
2．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝ ．
解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
答案：0

核心素养系列9　数学建模——求扇形的面积
数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．
(2019·高考北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(　　)

A．4β＋4cos β　　　　　　 B．4β＋4sin β
C．2β＋2cos β D．2β＋2sin β
【解析】　如图，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB，在劣弧上取一点C，则阴影部分面积为△ABP和弓形ACB的面积和．因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当△ABP的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB的长为定值，故当点P为优弧的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时△ABP的面积最大，即当P为优弧的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P为优弧的中点时阴影部分的面积．

因为∠APB为锐角，且∠APB＝β，所以∠AOB＝2β，∠AOP＝∠BOP＝180°－β，则阴影部分的面积S＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形OAB＝2××2×2sin(180°－β)＋×22×2β＝4β＋4sin β，故选B.
【答案】　B

从本题的解析中可以得到，无论∠APB是锐角，还是直角或钝角，都是当P为优弧的中点时，阴影部分的面积最大．
　在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？

解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．

[基础题组练]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
3．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)
A. B.
C. D．
解析：选D.设圆的直径为2r，则圆内接正方形的边长为r，
因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，
所以圆弧的长度为r，
所以圆心弧度为＝.
4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·2π＋，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋，k∈Z}
D．{α|α＝k·π－，k∈Z}
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}

＝{α|α＝(2n＋1)π－，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}
＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．
解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.
答案：220°
6．函数y＝的定义域为 ．
解析：由题意可得sin x－≥0即sin x≥.作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

答案：，k∈Z
7．(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝ ．
解析：因为α是第二象限角，
所以cos α＝x＜0，即x＜0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
答案：－
8．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
解：因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
所以tan θ＝－，又tan θ＝－x，
所以x2＝1，所以x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
此时sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
此时sin θ＋cos θ＝－.
[综合题组练]
1．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α
A. B.
C. D．
解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是，故选C.
2．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是(　　)
A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α
解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α＜－，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α.

3．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为 ．
解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
答案：
4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为 ．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
答案：1∶2