2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：选修4－5　第1讲　绝对值不等式

第1讲　绝对值不等式

一、知识梳理

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．

常用结论

1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：

(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．

(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．

2．解绝对值不等式的两个要点

(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．

(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．

二、教材衍化  

1．求不等式3≤|5－2x|<9的解集．

解：由题意得即解得不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．

2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．

解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于或或解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)

(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、易错纠偏

(1)解集中等号是否成立不注意；

(2)含参数的绝对值不等式讨论不清．

1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．

解：　不等式等价于或或解得0≤x≤5，故不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]．

2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．

解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.

　　　　　　含绝对值不等式的解法(师生共研)

(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，

由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，

当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；

当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；

当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－.

所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．

(2)由|x－a|＋3x≤0，可得或

即或

当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－}．

由－＝－1，得a＝2.

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．

当a<0时，不等式的解集为.

由＝－1，得a＝－4.

综上，a＝2或a＝－4.

含绝对值不等式解法的常用方法

　设函数f(x)＝|x＋4|.求不等式f(x)>1－x的解集．

解：f(x)＝|x＋4|＝所以不等式f(x)>1－x等价于

解得x>－2或x<－10，

故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．

　　　　　绝对值不等式性质的应用(师生共研)

(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；

(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.

【解】　(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，

等价于或或

解得x≤－1或x≥1，

所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当，即x＝±1时等号成立，

所以f(－x)＋f()≥4.

两数和与差的绝对值不等式的性质

(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．

(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．

　(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.

(1)解不等式f(x)<|x|＋1；

(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.

解：(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，

即或或

得≤x<2或0<x<或无解．

故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0<x<2}．

(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝<1.

　　　　　绝对值不等式的综合应用(师生共研)

(2018·高考全国卷Ⅰ )已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．

【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}．

(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；

若a>0，|ax－1|<1的解集为0<x<，所以≥1，故0<a≤2.

综上，a的取值范围为(0，2]．

(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决，这是常用的思维方法．

(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．

　(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f(x)＝|x|＋2|x－1|.

(1)解不等式f(x)≥4；

(2)若不等式f(x)≤|2a＋1|有解，求实数a的取值范围．

解：(1)不等式f(x)≥4，即|x|＋2|x－1|≥4，等价于或或⇒x≤－或无解或x≥2.故不等式的解集为(－∞，－]∪[2，＋∞)．

(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于f(x)min≤|2a＋1|.

f(x)＝|x|＋2|x－1|＝

故f(x)的最小值为1，

所以1≤|2a＋1|，得2a＋1≤－1或2a＋1≥1，

解得a≤－1或a≥0，

故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．

[基础题组练]

1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.

(1)证明：－3≤f(x)≤3；

(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|

＝

当2<x<5时，－3<2x－7<3，

所以－3≤f(x)≤3.

(2)由(1)可知，

当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；

当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；

当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．

2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；

(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．

当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；

当x≥1时，f(x)≥0.

所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．

(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.

当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.

所以，a的取值范围是[1，＋∞)．

3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f(x)＝x2－x－1.

(1)解不等式：|f(x)|<1；

(2)若|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

解：(1)由|f(x)|<1得－1<f(x)<1，

即－1<x2－x－1<1，

所以解得－1<x<0或1<x<2，

所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．

(2)证明：因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|x2－a2＋a－x|

＝|(x－a)(x＋a－1)|

＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|

≤|x－a|＋|2a|＋1<|2a|＋2＝2(|a|＋1)．

4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.

(1)若f(x)>a成立有解，求a的取值范围；

(2)解不等式f(x)<x2－2x.

解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝

故f(x)∈[－3，3]，

所以若使f(x)>a成立有解，应有a<f(x)max，即a<3，

所以a的取值范围是(－∞，3)．

(2)当x≤－1时，x2－2x>3，

所以x<－1；

当－1<x<2时，x2－2x>－2x＋1.

所以1<x<2；

当x≥2时，x2－2x>－3，故x≥2.

综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)＝|4x－1|－|x＋2|.

(1)解不等式f(x)<8；

(2)若关于x的不等式f(x)＋5|x＋2|<a2－8a的解集不是空集，求a的取值范围．

解：(1)f(x)＝

当x≤－2时，由－3x＋3<8，得x>－，无解；

当－2<x<时，由－5x－1<8，得x>－，

即－<x<；

当x≥时，由3x－3<8，

得x<，即≤x<.

所以不等式的解集为.

(2)f(x)＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9.

则由题可得a2－8a>9.

解得a<－1或a>9.

6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)＝|x－2a|，a∈R，若∀x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(4－x)．

(1)求a的值；

(2)若∃x∈R，使得不等式f(2x－1)－f(x)≤4－2m成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝f(4－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)＝|x－2a|的图象关于直线x＝2a对称，所以2a＝2，a＝1.

(2)令h(x)＝f(2x－1)－f(x)＝|2x－3|－|x－2|＝h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以h(x)min＝h()＝－，故－≤4－2m，解得m≤，故实数m的取值范围是.

[综合题组练]

1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)解不等式f(x)>2；

(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|<g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)依题意得f(x)＝于是得或或，解得x<－或0<x<1或x≥1.

故不等式f(x)>2的解集为{x|x<－或x>0}．

(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，

当且仅当，即x∈[－，]时取等号，

若对任意的x∈R，不等式|k－1|<g(x)恒成立，则|k－1|<g(x)min＝4，

所以－4<k－1<4，解得－3<k<5，即实数k的取值范围为(－3，5)．

2．已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)．

(1)当a＝2时，解不等式|x－|＋f(x)≥1；

(2)设不等式|x－|＋f(x)≤x的解集为M，若[，]⊆M，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，

①当x≤时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；

②当<x<2时，3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x<2；

③当x≥2时，3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2.

综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．

(2)不等式|x－|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，

依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈[，]上恒成立，

所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，

即a－1≤x≤a＋1，

所以，解得－≤a≤，

故实数a的取值范围是.