2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：选修4－4　第2讲　参数方程

第2讲　参数方程



一、知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝k(x－x0)

(t为参数)
圆
(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2

(θ为参数且0≤θ<2π)
椭圆
＋＝1(a>b>0)

(t为参数且0≤t<2π)
抛物线
y2＝2px(p>0)
(t为参数)
常用结论
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
二、习题改编
1．(选修4­4P22例1改编)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝ ．
解析：由题意得所以
答案：9
2．(选修4­4P36例1改编)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4交于A，B两点，求|AB|.
解：将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程，得＋＝4，
即t2－4t＋6＝0，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从而t1＋t2＝4，t1t2＝6，
则|AB|＝|t1－t2|＝＝2.

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
二、易错纠偏
(1)不注意互化的等价性致误；
(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误．
1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
(θ为参数)，求曲线C的普通方程．
解：由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1
⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，
⇒⇒⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．
解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
将(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，
得t2－(＋1)t＋1＝0，
所以t1t2＝1，
直线l：(t为参数)，
可化为，
所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.


　　　　　　参数方程与普通方程的互化(师生共研)
已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
【解】　曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
曲线C2：＋＝1，
曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　

1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

解：圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，
yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为(θ为参数)．

　　　　　　参数方程的应用(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
【解】　(1)因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos(α－)＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.

(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2，①弦长l＝|t1－t2|；②M0为弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1|·|M0M2|＝|t1t2|.　

1．已知曲线C的普通方程为＋＝1，求曲线C的内接矩形周长的最大值．
解：由曲线C的直角坐标方程为＋＝1，可设曲线C上的动点A(2cos α，2sin α)，0<α<，
则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos α＋2sin α)＝16sin(α＋)，0<α<.
因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝时取得最大值．
2．(2020·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，
得直线l的普通方程为x－y－1＝0.
曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρ，
即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，所以x2＋y2＝2y＋2x，
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
得＋＝2，
化简，得t2－(1＋2)t＋3＝0.
可得Δ>0，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.
由根与系数的关系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．
由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1.

　　　　极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)
(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)过原点且倾斜角为α(<α≤)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．
【解】　(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0，
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.
由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，
故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.
(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，<α≤，
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cos α，
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝，
所以|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α，
因为<α≤，
所以|OA|·|OB|的取值范围是.
法二：射线l的参数方程为(t为参数，<α≤)．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcos α＝0.
解得t1＝0，t2＝4cos α.故|OA|＝|t2|＝4cos α.
同理可得|OB|＝，
所以|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α，
因为<α≤，
所以|OA|·|OB|的取值范围是.

处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
　(一题多解)(2020·济南市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)射线OP的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
解：(1)由可得
所以x2＋(y－1)2＝3cos2α＋3sin2α＝3，
所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.
由ρsin＝2，可得ρ＝2，
所以ρsin θ＋ρcos θ－2＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0.
由题意设A，B，
将θ＝代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ2－ρ－2＝0，
所以ρ＝2或ρ＝－1(舍去)，即ρ1＝2，
将θ＝代入ρsin＝2，
可得ρ＝4，即ρ2＝4，
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，
由解得A(，1)，
由，解得B(2，2)，
所以|AB|＝＝2.

[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；
当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.
由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，
即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.
由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，
所以cos α＝或cos α＝－，
故直线l的倾斜角α为或.
2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．
(1)判断两曲线C和C′的位置关系；
(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，
由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；
曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．
因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．
(2)由(1)建立方程组
解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，
所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，
即3x－4y－50＝0，
所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.
3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．
解：(1)由曲线C的参数方程，得(x－4)2＋y2＝4.
因为β∈[0，π]，所以曲线C的普通方程为(x－4)2＋y2＝4(y≥0)．
因为直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，
所以直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)．
所以直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R.
(2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．
若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．
设P(ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝＝，故θ＝.
而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2.
所以点P的极坐标为.
4．(2020·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.
(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.
解：(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，①
将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，
所以x＝ρcos θ＝cos＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1.
所以点P的直角坐标为(1，1)．
(2)将代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，
Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－.
依题意，点M对应的参数为，
所以|PM|＝＝.
5．(2020·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4sin.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．
解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.
由ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内．
将直线l的参数方程化为代入圆的直角坐标方程，得t2－9t＋33＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9，t1t2＝33，
所以|AB|＝|t2－t1|＝＝.
又圆心(2，2)到直线l的距离d＝＝，
所以△ABQ面积的最大值为××
＝.
6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值．
解：(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，两式相加消去t可得普通方程为x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，可得曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.
(2)把曲线C1的参数方程(t为参数)代入y2＝4x，得t2＋6t－6＝0，
设t1，t2是A，B对应的参数，则t1＋t1＝－6，t1·t2＝－6，
所以＋＝＝＝＝＝.
[综合题组练]
1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ，曲线C4的极坐标方程为ρcos θ＝1.
(1)求C3与C4的交点到极点的距离；
(2)设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当α在上变化时，求|OP|＋|OQ|的最大值．
解：(1)联立得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝，即交点到极点的距离为.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α，
曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈，联立C1，C2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈，
即|OP|＝2sin α，α∈，
曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈，
即|OQ|＝1＋cos α，α∈，
所以|OP|＋|OQ|＝1＋2sin α＋cos α＝1＋sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，
当α＋φ＝＋2kπ，k∈Z时，|OP|＋|OQ|取得最大值，为1＋.
2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y＝4，曲线C2：(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C2上的点经过坐标变换得到曲线C3，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线C1的极坐标方程和曲线C3的极坐标方程；
(2)若射线l：θ＝α(ρ>0)分别交C1与C3于A，B两点，求的取值范围．
解：(1)由C1：x＋y＝4，得直线C1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，
由曲线C2的参数方程得其普通方程为＋＝1，
由可得将其代入＋＝1，
可得(x′－1)2＋y′2＝1，
所以曲线C3的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则－<α<，
由题可得ρ1＝，ρ2＝2cos α，
所以＝＝×2cos α(cos α＋sin α)＝(cos 2α＋sin 2α＋1)＝，
因为－<α<，
所以－ 所以0<≤(＋1)．
所以的取值范围是.