2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第5讲　古典概型

第5讲　古典概型

基础知识整合

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)古典概型的定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

—

 　 |

—

(2)古典概型的概率公式

P(A)＝.

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．

1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是(　　)

A.   B.

C.  D．0

答案　A

解析　列举出所有基本事件，找出“恰有1次出现正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为＝.

2．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　从10件产品中任取4件有C种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有CC种取法，则所求的概率P＝＝.

3．(2020·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　取出的两个数是连续自然数的有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－＝1－＝.故选D.

4．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数为C，其中，勾股数为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，所以这三个数为勾股数的概率为P＝＝.故选D.

5．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

答案　

解析　所求概率P＝＝.

6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________(结果用最简分数表示)．

答案　

解析　解法一：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝＝.

解法二：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝1－＝.

核心考向突破

考向一　简单的古典概型

例1　(1)(2019·陕西西安质检)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系所建．如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n＝C＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝C＝5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P＝＝＝.故选B.

(2)(2020·湖北黄冈调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　当“数”排在第一节时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有A种情况，由间接法得到满足条件的情况有A－CAA；当“数”排在第二节时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有A种，由间接法得到满足条件的情况有A－CAA.

则共有A－CAA＋A－CAA种情况，不考虑限制因素，总数有A种，故满足条件的事件的概率为＝，故选C.

求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

[即时训练]　1.(2019·陕西宝鸡模拟检测三)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻包含的基本事件m＝C＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P＝＝＝.故选B.

2．(2019·四川攀枝花第三次统考)部分省份在即将实施的新高考中实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　基本事件总数n＝CC＝36，满足条件的基本事件个数m＝CCC＝24，所以他们所考六科中恰有五科相同的概率为P＝＝＝.故选A.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　较复杂的古典概型

角度　　古典概型与平面向量的交汇

例2　(1)(2019·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　cosθ＝＝.

∵θ∈，∴m≥n.

(m，n)一共有6×6＝36(种)不同组合．

满足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)．

所以所求的概率P＝＝.

(2)(2019·宿迁模拟)已知k∈Z，A＝(k,1)，A＝(2,4)，若|A|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．

答案　

解析　因为|A|＝≤4，所以－≤k≤，

因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，

当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由A·A＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为B＝A－A＝(2－k,3)，由A·B＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，

由A·B＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝.

角度　　古典概型与平面几何、解析几何的交汇

例3　(1)(2019·山东省实验中学模拟)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　l2的斜率小于l1的斜率时，直线l1与l2的交点位于第一象限，此时共有六种情况：a＝1，b∈{3,4,5,6}；a＝2，b∈{5,6}．因此所求概率为＝.故选A.

(2)(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

答案　

解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有CC＝36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率等于＝.

角度　　古典概型与函数的交汇

例4　(1)(2020·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有4×4＝16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.故选C.

(2)(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)若a，b是从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　从集合{－1,1,2,3,4}中随机选取两个不同元素共有A＝20种，要使得函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数，必须a，b都为奇数共有A＝6种，则函数f(x)＝x5a＋xb是奇函数的概率为P＝＝，故选B.

较复杂的古典概型问题的求解方法

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．

[即时训练]　3.设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　有序数对(m，n)的所有可能结果有4×4＝16(个)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P(A)＝＝.

4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　若直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故所求概率为.

5．(2019·河南郑州模拟)已知一组抛物线y＝ax2＋bx＋1，其中a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是________．

答案　

解析　抛物线共有6条，任取两条共C＝15种情况．∵y′＝ax＋b，∴在与直线x＝1交点处的切线斜率为a＋b，而a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，保证a＋b相等的抛物线有2对，∴在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率为.

考向三　古典概型与统计的交汇问题

例5　(2019·长春模拟)某教师为了了解高三所教两个班级的一模数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．

(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；

(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；

(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．

解　(1)由所给的茎叶图，知甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，出现次数最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；

乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，出现次数最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.

(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝.

(3)从5人中抽取3人的不同情况共有C种，其中至多有1人的数学成绩在140分以上的情况有CC＋C种，故至多有1人的数学成绩在140分以上的概率P＝＝.

求解古典概型与统计交汇问题的思路

(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．

(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．

[即时训练]　6.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下：

(1)体育成绩大于或等于70分为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；

(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)内的概率．

解　(1)由题中折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，所以该校高一年级中“体育良好”的学生人数大约有1000×＝750.

(2)设“至少有1人的体育成绩在[60,70)内”为事件A，

由题意，得P(A)＝1－＝1－＝，

因此至少有1人体育成绩在[60,70)内的概率是.