2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第9章第8讲　曲线与方程

第8讲　曲线与方程

基础知识整合

1．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

2．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．

3．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系；

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；

(3)列式——列出动点P所满足的关系式；

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．求轨迹问题常用的数学思想

(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．

(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．

(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．

1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4

C．x2＋y2＝2(x≠±) D．x2＋y2＝4(x≠±2)

答案　D

解析　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，得P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D．

2．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

答案　D

解析　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.

3．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为(　　)

A．1 B．

C．2 D．3

答案　B

解析　以AB的中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线，得c＝2，a＝1.5，所以|OP|min＝a＝1.5.

4．(2019·皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2

答案　D

解析　(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM.

则MA⊥PA．且|MA|＝1，

又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.

5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1 B．－y2＝1

C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≤－1)

答案　D

解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B．根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．

答案　＋＝1(y≠0)

解析　设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

核心考向突破

考向一　定义法求轨迹方程

例1　如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．

(1)△PAB的周长为10；

(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)．

解　(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b＝，因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1<4＝|AB|.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，所以b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.

定义法求轨迹方程及其注意点

(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．

(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

[即时训练]　1.△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)

答案　C

解析　设△ABC的内切圆与x轴相切于点D，则D(3,0)．由于AC，BC都为圆的切线．故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.由双曲线定义知所求轨迹方程为－＝1(x>3)．

2．已知圆M：(x＋)2＋y2＝36及定点N(，0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程为________.

答案　＋＝1

解析　⇒Q为PN的中点，且GQ⊥PN，

∴GQ所在直线是PN的中垂线，|PG|＝|GN|.

∴|PM|＝|GM|＋|PG|＝|GM|＋|GN|＝6>2，

∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

又a＝3，c＝，∴b＝2，

∴点G的轨迹方程为＋＝1.

角度1　利用动点满足的关系式求轨迹

例2　已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＝4y B．y2＝3x

C．x2＝2y D．y2＝4x

答案　A

解析　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．因为·＝·，所以(0，y＋1)(－x,2)＝(x，y－1)(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.

角度2　无明确等量关系求轨迹方程

例3　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的平分线，证明直线l过定点．

解　(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，

由题意得|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，

过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则点H是MN的中点，

∴|O1M|＝，

又|O1A|＝，

∴ ＝，化简得y2＝8x(x≠0)．

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得

k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

∵x轴是∠PBQ的平分线，∴＝－，

即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，

(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，

2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③

将①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．

直接法求轨迹方程

(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．

(2)运用直接法应注意的问题

①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．

②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．

[即时训练]　3.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为____________．

答案　x2＋3y2＝4(x≠±1)

解析　因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，

所以点B的坐标为(1，－1)．

设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，

化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．

故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．

4．如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴的非负半轴于A点，l2交y轴的非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解　设点M坐标为(x，y)．

因为M(x，y)为线段AB的中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x,0)，B(0,2y)．

当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，

所以kPA·kPB＝－1，即·＝－1(x≠1)，

化简得x＋2y－5＝0(x≠1)．

当x＝1时，A，B分别为(2,0)，(0,4)，

所以线段AB的中点为(1,2)，

满足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．

综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．

考向三　利用相关点(代入法)求轨迹方程

例4　如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.

(1)求N点的轨迹方程；

(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．

解　(1)设点P，N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，

∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，

＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，

由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．

∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.

∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，

∴＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1.

∴点N的轨迹方程为＋(1＋λ)2y2＝1.

(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，解得λ＝－或λ＝－.

∴当λ＝－或λ＝－时，点N的轨迹是圆．

代入法求轨迹方程的四个步骤

(1)设出所求动点坐标P(x，y)．

(2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．

(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.

(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．

[即时训练]　5.已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．

解　设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M，

∴＝，＝.

又＝－2，

∴＝－2.

∴x0＝，y0＝－1，即A.

∵A，B都在曲线E上，

∴解得

∴曲线E的方程为x2＋＝1.

考向四　参数法求轨迹方程

例5　(2019·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.

(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；

(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ>1)，求证：＝λ.

解　(1)依题意知，直线A1N1的方程为

y＝(x＋)，①

直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②

设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，

①×②得y2＝－(x2－6)，

又mn＝2，整理得＋＝1.

故点M的轨迹C的方程为＋＝1.

(2)证明：设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，

Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，由消去x，得

(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，

所以y1＋y2＝－，y1y2＝.

由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，

故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，

由(1)得F(2,0)，要证＝λ，

即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，

只需证2－x1＝λ(x2－2)，y1＝λy2，

只需＝－，

即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，

又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，

所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，

而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即证．

参数法求轨迹方程的步骤

(1)选取参数k，用k表示动点M的坐标．

(2)得出动点M的参数方程

(3)消去参数k，得M的轨迹方程．

(4)由k的范围确定x，y的范围．

[即时训练]　6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是线段B1F2的中点，若·＝2，且⊥.

(1)若点Q是椭圆上任意一点，点A(9,6)，求|QA|－|QF1|的最小值；

(2)若点M，N是椭圆上的两个动点，M，N两点处的切线相交于点P，当·＝0时，求点P的轨迹方程．

解　(1)由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，

则C，

由得

即解得从而a2＝4，

所以椭圆的方程为＋＝1.

由椭圆的定义得|QF1|＋|QF2|＝4，

所以|QA|－|QF1|＝|QA|－(4－|QF2|)

＝|QA|＋|QF2|－4，

而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝10，

所以|QA|－|QF1|的最小值为6.

(2)设P(x0，y0)，

①当PM⊥x轴，或PN⊥x轴时，

可知P(2，)或P(2，－)或P(－2，)或P(－2，－)．

②当PM与x轴不垂直且不平行时，x0≠±2，设直线PM的斜率为k，

则k≠0，PN的斜率为－，

直线PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，

由

得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.

因为直线PM与椭圆相切，所以Δ＝0，

即4k2(y0－kx0)2－(3＋4k2)[(y0－kx0)2－3]＝0，

即(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0，

所以k是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0的一个根，

同理－是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－3＝0的另一个根，

所以k·＝，即x＋y＝7，其中x0≠±2，

所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝7(x≠±2)．

P(2，)或P(2，－)或P(－2，)或P(－2，－)满足上式，综上，点P的轨迹方程为x2＋y2＝7.