北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程第1课时达标测试

这是一份北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程第1课时达标测试，共9页。

知识点 1 几何图形的面积与二次函数


1．如图2－4－1，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )


A．60 m2 B．63 m2


C．64 m2 D．66 m2


图2－4－1


图2－4－2


2．[2016·衢州] 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图2－4－2)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.





图2－4－3


3．如图2－4－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．


4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图2－4－4)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.


(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．


(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？





图2－4－4





知识点 2 二次函数与抛物线形问题


5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图2－4－5所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－eq \f(1,25)x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )





图2－4－5


A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m


6．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图2－4－6.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第( )


A．3 s B．3.5 s C．4 s D．6.5 s


图2－4－6 图2－4－7


7．如图2－4－7，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面2.2 m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3 m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得( )


A．比开始高0.8 m B．比开始高0.4 m


C．比开始低0.8 m D．比开始低0.4 m








图2－4－8


8．如图2－4－8，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m.


9．[2016·内江] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边由长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图2－4－9所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.


(1)若苗圃的面积为72 m2，求x.


(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．


(3)当这个苗圃的面积不小于100 m2时，直接写出x的取值范围．





图2－4－9


10．如图2－4－10，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．


(1)求抛物线的函数表达式；


(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函数表达式h＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，禁止船只通行的时间是多少？





图2－4－10




















11．有这样一个例题：有一个窗户形状如图2－4－11①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，才能使其透光面积最大？


这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.


我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2－4－11②，材料总长仍为6 m．利用图2－4－11③，解答下列问题：


(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；


(2)与例题比较，改变窗户的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．








图2－4－11




















详解详析


1．C [解析] 设BC＝x m，则AB＝(16－x)m，矩形ABCD的面积为y m2，


根据题意，得y＝(16－x)x＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，


当x＝8时，y最大＝64，


则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.


故选C.


2．144 [解析] 如图，设总占地面积为S(m2)，CD的长度为x(m)，





由题意知AB＝CD＝EF＝GH＝x，


∴BH＝48－4x.


∵0＜BH≤50，CD＞0，


∴0＜x＜12，


∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144，


∴x＝6时，S可取得最大值，最大值为144 m2.


3．3 [解析] 设P，Q同时出发后，经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，


则有S＝S△ABC－S△PBQ＝eq \f(1,2)×12×24－eq \f(1,2)×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.


∵4＞0，


∴当t＝3时，S取得最小值．故答案为3.


4．[解析] (1)由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即可得出y与x之间的函数关系式；


(2)利用配方法将二次函数关系式由一般式变形为顶点式，进而即可得出结论．


解： (1)∵四边形ABCD为矩形，BC＝x m，


∴AB＝eq \f(40－x,2) m.


根据题意，得y＝AB·BC＝eq \f(40－x,2)·x＝－eq \f(1,2)x2＋20x(0＜x≤25)．


(2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋20x＝－eq \f(1,2)(x－20)2＋200，


∴当x＝20时，绿化带的面积最大．


5．C [解析] 根据题意，得点A，B的纵坐标为－4，


把y＝－4代入y＝－eq \f(1,25)x2，得x＝±10，


∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m.


即这时水面宽度AB为20 m.


故选C.


6．C [解析] 由题意可知当t＝2和t＝6时，h的值相等，则函数h＝at2＋bt的对称轴为直线t＝eq \f(6＋2,2)＝4，故在第4 s时，小球的高度最高．故选C.


7．A [解析] 由题意可得，球出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，


∴球出手的位置距地面的高度应为3 m.


∵3－2.2＝0.8(m)，


∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8 m．故选A.


8．0.5 [解析] 以左边树与地面的交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，


由题意可得A(0，2.5)，B(2，2.5)，C(0.5，1)．


设函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.


把A，B，C三点的坐标分别代入函数表达式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝2.5，,4a＋2b＋c＝2.5，,0.25a＋0.5b＋c＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－4，,c＝2.5.))


∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5.


∵2＞0，∴当x＝1时，y最小值＝0.5.


即绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.








9．解：(1)苗圃与墙平行的一边长为(30－2x)m.依题意可列方程，得


x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0.


解得x1＝3(不合题意，舍去)，x2＝12.


即x的值为12.


(2)依题意，得8≤30－2x≤18，解得6≤x≤11.


面积S＝x(30－2x)＝－2(x－eq \f(15,2))2＋eq \f(225,2)(6≤x≤11)．


①当x＝eq \f(15,2)时，S有最大值，S最大＝eq \f(225,2) m2；


②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88(m2)．


(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0.


解得x1＝5，x2＝10.


∴x的取值范围是5≤x≤10.


10．解：(1)依题意可得，顶点C的坐标为(0，11)，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋11.


由抛物线的对称性可得，点B的坐标为(8，8)，


∴8＝64a＋11，解得a＝－eq \f(3,64)，


∴抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(3,64)x2＋11.


(2)当水面到顶点C的距离不大于5 m时，h≥6，把h＝6代入h＝－eq \f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)，得t1＝35，t2＝3.


∴禁止船只通行的时间为|t1－t2|＝32 h.


答：禁止船只通行的时间为32 h.


11．解：(1)由已知得AD＝eq \f(5,4) m，


∴此时窗户的透光面积为eq \f(5,4) m2.


(2)设AB＝x m，则AD＝(3－eq \f(7,4)x)m.


∵3－eq \f(7,4)x>0，


∴0

设窗户的透光面积为S，由已知得


S＝AB·AD＝x(3－eq \f(7,4)x)＝－eq \f(7,4)x2＋3x＝－eq \f(7,4)(x－eq \f(6,7))2＋eq \f(9,7).


∵x＝eq \f(6,7)在0

∴当x＝eq \f(6,7)时，S最大值＝eq \f(9,7) m2>1.05 m2，


∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．