苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数精品导学案及答案

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6.1 幂函数








经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：


根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？





1．幂函数的概念


一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．


2．幂函数的图象和性质











3．在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：








1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )


(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )


(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )


[提示] (1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．


(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．


(3)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝ ．


3 [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,2n－4＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2，))m＋n＝3．]


3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝ ．


－8 [8＝2α，所以α＝3，


所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8．]








【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xeq \s\up12(eq \(\f(1,m2－1)))＋2n－3是幂函数，求m，n的值．


[思路点拨] 由幂函数的定义列式求解．


[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))


∴m＝－3，n＝eq \f(3,2)为所求．





1．幂函数y＝xα满足的三个特征


(1)幂xα前系数为1；


(2)底数只能是自变量x，指数是常数；


(3)项数只有一项．


2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α．





eq \([跟进训练])


1．下列函数是幂函数的有 ．(填序号)


①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－eq \f(1,x)；⑥y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))．


③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]


2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(100)＝ ．


eq \f(1,10) [由题知2α＝eq \f(\r(2),2)＝2eq \s\up12(－eq \f(1,2))，∴α＝－eq \f(1,2)．


∴f(x)＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))，


∴f(100)＝100eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,\r(100))＝eq \f(1,10)．]


【例2】 比较下列各组数中两个数的大小：


(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)；


(3)0.25eq \s\up12(－eq \f(1,4))与6.25eq \s\up12(eq \f(1,4))；(4)1.20．6与0.30．4；


(5)(－3)eq \s\up12(eq \f(2,3))与(－2)eq \s\up12(eq \f(5,3))．


[思路点拨] 可以借助幂函数y＝x2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．


[解] (1)∵y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))是[0，＋∞)上的增函数，且eq \f(1,3)>eq \f(1,4)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))．


(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，


且－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(－1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(－1)．


(3)0.25eq \s\up12(－eq \f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－eq \f(1,4))＝2eq \s\up12(eq \f(1,2))，


6.25eq \s\up12(eq \f(1,4))＝2.5eq \s\up12(eq \f(1,2))．


∵y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))是[0，＋∞)上的增函数，且2<2．5，


∴2eq \s\up12(eq \f(1,2))<2．5eq \s\up12(eq \f(1,2))，即0．25eq \s\up12(－eq \f(1,4))<6．25eq \s\up12(eq \f(1,4))．


(4)由幂函数的单调性，知1．20．6>10．6＝1,0．30．4<10．4＝1，从而0．30．4<1．20．6．


(5)由幂函数的奇偶性，(－3)eq \s\up12(eq \f(2,3))＝3eq \s\up12(eq \f(2,3))>0，(－2)eq \s\up12(eq \f(5,3))＝－2eq \s\up12(eq \f(5,3))<0，


所以(－3) eq \s\up12(eq \f(2,3))>(－2)eq \s\up12(eq \f(5,3))．





比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：


(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；


(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．





eq \([跟进训练])


3．比较下列各组中两个数的大小：


(1)3eq \s\up12(－eq \f(5,2))，3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2))；


(2)a1．5，(a＋1)1．5(a＞0)；


(3)(－0.88)eq \s\up12(eq \f(2,3))，0.89eq \s\up12(eq \f(2,3))．


[解] (1)因为函数y＝xeq \s\up12(－eq \f(5,2))在(0，＋∞)内是减函数，所以3eq \s\up12(－eq \f(5,2))＞3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2))．


(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，


所以(a＋1)1．5＞a1．5．


(3)函数y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，


所以(－0．88)eq \s\up12(eq \f(2,3))＝ 0．88eq \s\up12(eq \f(2,3))<0．89eq \s\up12(eq \f(2,3))．


【例3】 点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：


(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ．


∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，


∴α＝2，β＝－1，


∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1．分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，





(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；


(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；


(3)当x∈(0,1)时，f(x)




1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法


(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；


(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．


2．幂函数在第一象限的图象与性质


(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．


(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．


3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律


(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；


(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．





eq \([跟进训练])


4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )





A．d>c>b>a


B．a>b>c>d


C．d>c>a>b


D．a>b>d>c


(2)函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )





A B C D


(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．


在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．


(2)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B．]


[探究问题]


1．幂函数y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))的图象应该怎么作？


[提示] ①因为0

②函数y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))在第一象限的图象恒过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．


③利用偶函数的图象关于y轴对称，得到第二象限的图象．(图略)


2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？


[提示] ①先求定义域，判定函数的奇偶性；


②再看α，按α<0，α>0来分类确定在第一象限的图象的形状；


③结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．


3．作出y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,3))的图象(草图)，并说明若xeq \s\up12(－eq \f(1,3))>yeq \s\up12(－eq \f(1,3))时，x，y与0的大小关系有多少种？


[提示] y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,3))在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，





从图象可以看出，若xeq \s\up12(－eq \f(1,3))>yeq \s\up12(－eq \f(1,3))，则有以下情况：


①00>y．


【例4】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)eq \s\up12(－eq \f(m,3)) <(3－2a) eq \s\up12(－eq \f(m,3))的a的取值范围．


[思路点拨] eq \x(据题中条件)→eq \x(列出不等式组)→eq \x(求出m)→eq \x(利用幂函数的单调性)→eq \x(对底数分类讨论)→eq \x(得a)


[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，


∴3m－9<0，解得m<3．


又m∈N*，∴m＝1,2．


又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1．


∴有(a＋1)eq \s\up12(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up12(－eq \f(1,3))．


∵y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,3))在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，


∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得eq \f(2,3)

所以a的取值范围为(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))．





1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．


2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．


解决此类问题可分为两大步：


第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m的值或范围；


第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．





eq \([跟进训练])


5．已知x2>xeq \s\up12(eq \f(1,3))，则x的取值范围是 ．





(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y＝x2和y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))的图象(如图所示)，易得x<0或x>1．]








1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1．


2．简单幂函数的图象与性质的探究策略


(1)先求幂函数的定义域，若对称，判定其奇偶性(一定具有奇偶性)．


(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质


①α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)上是增函数．


②α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．


(3)结合幂函数的奇偶性，得到第三或第二象限的图象与性质，幂函数的图象一定不经过第四象限．





1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )


A．y＝x－3 B．y＝－x3


C．y＝2x3 D．y＝x3－1．


A [幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]


2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，eq \r(2))，则f(4)的值是 ．


2 [将点(2，eq \r(2))代入幂函数可得f(2)＝2α＝eq \r(2)，解得α＝eq \f(1,2)，即幂函数为f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，可得f(4)＝4eq \s\up12(eq \f(1,2))＝2．]


3．下列幂函数中，过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是 ．(填序号)


(1)y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3．


(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]


4．比较下列各组数的大小：


(1)3eq \s\up12(－eq \f(5,2))与3.1eq \s\up12(－eq \f(5,2))；


(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))，3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))，(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5))．


[解] (1)因为函数y＝xeq \s\up12(－eq \f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，


又3<3．1，所以3eq \s\up12(－eq \f(5,2))>3．1eq \s\up12(－eq \f(5,2))．


(2)4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))>1eq \s\up12(eq \f(2,5))＝1,0<3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))<1eq \s\up12(－eq \f(2,3))＝1，而(－1.9)eq \s\up12(－eq \f(3,5)) <0，所以4.1eq \s\up12(eq \f(2,5))>3.8eq \s\up12(－eq \f(2,3))>(－1．9)eq \s\up12(－eq \f(3,5))．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))的图象．(重点)


2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)


3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养．
价格/元
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
需求量/t
1.216
1.179
1.146
1.117
1.089
1.064
1.041
幂函数的概念
比较大小
幂函数的图象与性质的综合应用