高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.3 三角函数的图象和性质优质第2课时2课时导学案

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第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质








用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简图如何取点？函数y＝sin x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sin x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象又有什么影响？





函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质





1．最大值为eq \f(1,2)，周期为eq \f(π,3)，初相为eq \f(π,4)的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．


y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,4))) [由题意可知A＝eq \f(1,2)，eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)，∴ω＝6，又φ＝eq \f(π,4)，故其解析式可以为y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,4)))．]


2．已知f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝eq \f(π,12)时，取得最大值2；当x＝eq \f(7π,12)时，取得最小值－2，则f(x)＝________．


2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) [由题意可知，A＝2，又eq \f(T,2)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,12)＝eq \f(π,2)，


∴T＝π，∴ω＝eq \f(2π,π)＝2，


∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．]








【例1】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．





[思路点拨] 观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．


[解] 法一：(逐一定参法)


由图象知振幅A＝3，又T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝2．


由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，得－eq \f(π,6)×2＋φ＝kπ，


得φ＝kπ＋eq \f(π,3)，


又∵|φ|

∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．


法二：(待定系数法)


由图象知A＝3，又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)·ω＋φ＝π，,\f(5π,6)·ω＋φ＝2π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＝2，,φ＝\f(π,3)，))


∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．





若设所求解析式为y＝Asinωx＋φ，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.


1由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.


2由函数图象与x轴的交点与其对称轴确定T，由T＝eq \f(2π,|ω|)，确定ω.


3确定函数y＝Asinωx＋φ的初相φ的值的三种方法


①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.


②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：


“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；


“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；,


“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；


“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；


“第五点”为ωx＋φ＝2π.


③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.








eq \([跟进训练])


1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．





[解] 法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3)，又A>0，∴A＝eq \r(3)．


由图象知eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2．


又eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(5π,6)))＝eq \f(7π,12)，∴图象上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，\r(3)))，


∴eq \r(3)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(7π,12)＋φ))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)＋φ))＝1，则eq \f(7π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，φ＝－eq \f(2π,3)＋2kπ，可取φ＝－eq \f(2π,3)，


∴函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))．


法二：(五点对接法)由图象知A＝eq \r(3)，又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)·ω＋φ＝0，,\f(5π,6)·ω＋φ＝π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＝2，,φ＝－\f(2π,3).))∴函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))．


法三：(图象变换法)由图可知A＝eq \r(3)，eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，


∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2．


∴该函数的图象可由y＝eq \r(3)sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到，


∴所求函数的一个解析式为y＝eq \r(3)sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，


即y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))．





[探究问题]


1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？


[提示] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．


2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？


[提示] 由ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，求对称轴方程；由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．


3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻根之间呢？


[提示] 均相差半个周期．


【例2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5))，求函数的解析式．


[思路点拨] 由图象过Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))和离P最近的最高点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5))可求A，ω，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5))是最高点及|φ|

[解] ∵图象最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5))，


∴A＝5．


∵eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)－eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)，∴T＝π，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．


代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5))，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝1，


∴eq \f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．


∴φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z．


又∵|φ|

∴y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．





1．(变结论)本例条件不变，指出函数的单调增区间．


[解] ∵函数的单调增区间满足2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


∴2kπ－eq \f(π,3)≤2x≤2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，


∴kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．


∴函数的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．


2．(变结论)本例条件不变，求使y≤0的x的取值范围．


[解] ∵5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤0，


∴2kπ－π≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，


∴kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)．


故所求x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．





有关函数y＝Asinωx＋φ的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.


提醒：熟知y＝Asinωx＋φ的图象和性质是解决y＝Asinωx＋φ类综合题的关键.





eq \([跟进训练])


2．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )


A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称


B．关于直线x＝eq \f(π,4)对称


C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称


D．关于直线x＝eq \f(π,3)对称


A [由T＝eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，


则该函数图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称．]


3．(多选题)函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是( )


A．图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称


B．图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称


C．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数


D．由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C


BC [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－\f(π,3)))＝0，故A错，B正确；令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))的图象，故D错．故选BC．]








1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．


(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|．


(2)因为T＝eq \f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T．


(3)从寻找“五点法”中的第一个零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．


2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．





1．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，正确的是( )


A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数


B．存在φ，使f(x)是偶函数


C．存在φ，使f(x)是奇函数


D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数


BC [当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数；当φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cs x，是偶函数．故选BC．]


2．(一题两空)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________．





eq \f(11,6) eq \f(π,6) [∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))在函数图象上，∴sin φ＝eq \f(1,2)．


又∵|φ|

又∵点(π，0)在y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))上，且该点是“五点”中的第五个点，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πω＋\f(π,6)))＝0，∴πω＋eq \f(π,6)＝2π，∴ω＝eq \f(11,6)．]


3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的一条对称轴方程是________．


x＝eq \f(π,8)(答案不唯一) [由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，令k＝0，得x＝eq \f(π,8)．]


4．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)， \r(2)))，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)π，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))．


(1)试求这条曲线的函数表达式；


(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．


[解] (1)由题意知A＝eq \r(2) ，


T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)π－\f(π,8)))＝π，


ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝eq \r(2)sin(2x＋φ)．


又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×2＋φ))＝1，


∴eq \f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


∴φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，


又∵φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴φ＝eq \f(π,4)，


∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))．


(2)列出x，y的对应值表：


描点、连线，如图所示：





学 习 目 标
核 心 素 养
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)


2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和数学运算的核心素养．
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝eq \f(2π,ω)
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调增区间可由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得到
由图象求三角函数的解析式
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
x
－eq \f(π,8)
eq \f(π,8)
eq \f(3,8)π
eq \f(5,8)π
eq \f(7,8)π
2x＋eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
y
0
eq \r(2)
0
－eq \r(2)
0