初一数学上册秋季班培优讲义 第3讲 绝对值 教师版
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题型切片（5个） | 对应题目 | |
题型目标 | 的化简 | 例1；练习1 |
无条件的绝对值的化简 | 例2；练习2 | |
零点分段法 | 例3；练习3 | |
用绝对值的几何意义求两点间的距离 | 例4；练习4 | |
用绝对值的几何意义求代数式的最值 | 例5，例6；练习5 | |
1．绝对值：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作．
2．绝对值的性质：
⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；
⑵ ；
⑶ 若，则；若，则；
⑷ 若，则或；
⑸ .
⑹当时，；
当时，．（主要考察分类讨论）
【例1】 ⑴若均为非零的有理数，求的值.
⑵若均为非零的有理数，求的值.
【解析】 ⑴①当都是正数时，原式.
②当一个是正数，一个是负数时，原式=.
∴原式的值为.
⑵①当都是正数时，原式.
②当都是负数时，原式.
③当有两个正数一个负数时，原式.
④当有两个负数一个正数时，原式.
∴原式的值为.
针对例1进行拓展
1.已知，且都不等于，求的所有可能值
【解析】 或或
2.已知是非零整数，且，求的值.
【解析】 因为是非零有理数，且，
若中有一正二负，不妨设，则原式
.
若中有二正一负，同理原式=0
综上，原式=0
3. 若均为非零的有理数，求的值.
【解析】 .
老师可以继续下去，给学生们总结一下到n的规律.
【例2】 化简下列各式⑴; ⑵.
【解析】 ⑴当时，则；
当时，则，
∴.
⑵当时，则；
当时，则，
∴.
【例3】 阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·
⑴当时，原式.
⑵当时，原式.
⑶当时，原式.
综上讨论，原式.
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：.
⑴分别求出和的零点值；
⑵化简代数式.
【解析】⑴分别令和，分别求得和，所以和的零点值分别为和
⑵当时，原式；当时，原式
；当时，原式.
所以综上讨论，原式.
针对例3进行拓展
1.求的值．
【解析】先找零点，，，，解得，，．
依这三个零点将数轴分为四段：，，，．
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
2.化简：.
【解析】先找零点.，．，．
，，或，可得或者；
综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．
⑴ ，，，，；
⑵ ，，，，；
⑶ ，，，，；
⑷ ，，，，．
表示数轴上数与数两点之间的距离. 且.
【例4】 ⑴ 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．
① 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；
② 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；
则 ；
③ 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 ．
④ 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 ．
⑤ 当时，则 ．
⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别
为，，，．若，，，
则 ．
⑶ 不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，，，如果
，那么点，，在数轴上的位置关系是（ ）
A．点在点，之间 B．点在点，之间
C．点在点，之间 D．以上三种情况均有可能
【解析】 ⑴ ①，原点；；② ；③，，或；④，，或；⑤；⑵ ；⑶ B.
【点评】此题是对绝对值几何意义的考察．
【例5】 利用绝对值的几何意义完成下题：
已知，利用绝对值的几何意义可得；
若，利用绝对值的几何意义可得或．
已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得 ．
利用绝对值的几何意义求的最小值 ．
的最小值为 ．
的最小值 ．
的最小值 ．
归纳：
若，当 时，取得最
小值．
若，当满足 时，取得最
小值．
【解析】 或；；； ；；；．
【点评】 若，当时，取得最小值．
若，当满足时，取得最小
值．
【例6】 如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为、、、、、千米，而村庄正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
【解析】 因为村庄是的中点，所以村庄到城市的距离为千米，即村庄在村庄之间，个村庄依次排列为．设活动中心到城市的距离为千米，各村到活动中心的距离之和为千米，则：
因为，所以当时有最小值，所以活动中心应当建在处．
【选讲题】
【例7】 有理数、、在数轴上的位置如图所示：若，
则 ．
【解析】 由图可知，，∴，，，
.
【例8】 ①化简：
②求的最大值和最小值．
【解析】 ①当时，则
当时，则
当时，则
当时，则
②法一：根据几何意义可以得答案；
法二：找到零点，1，可以分为以下三段进行讨论：
当时，；
当时，；
当时，；
综上所得最小值为，最大值为．
训练1. 若a、b、c为整数，且，试求：的值.
（清华附中期中）
【解析】 法一：根据题意：，为非负整数，分类讨论：
①若，，则，此时原式；
②若，，则，此时原式．
法二：从总体考虑，、一个为，一个为，也就是、、有两个相同，另一个和它们相差．
故三者两两取差的绝对值应该有个和个，所以．
训练2. 已知，，都不等于0，则的值为
【解析】 4、0或.
训练3. 已知，求的最大值与最小值．
【解析】 法一：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；
当时，取最小值为．
法二：找到零点，. 结合可以分为以下两段进行分析：
当时，，有最值和；
当时，；
综上可得最小值为，最大值为．
训练4. 如图，数轴上两点分别表示
有理数2和5,我们用来表示
两点之间的距离.
(1)直接写出的值 ；
(2)若数轴上一点表示有理数m，则的值是______；
(3)当代数式∣n +2∣+∣n 5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置 ；
(4)若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍？
（昌平期末）
【解析】 (1) (2)
(3) 线段上（表示到之间的点,包括表示和两点） .
(4)设经过秒后点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.
第一种情况:
第二种情况:
答: 经过1或3秒后点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.
的化简
【练习1】 若、、都不为，求的值．
【解析】 或．
无条件的绝对值的化简
【练习2】 化简：.
【解析】 当时，则；
当时，则，
零点分段法
【练习3】 化简：.
【解析】 由题意可知：零点为.
当时，原式.
当时，原式.
当时，原式
用绝对值的几何意义求两点间的距离
【练习4】 （1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示的数是、，、两点之间的距离表示为，特别地，当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，则；
当、两点都不在原点时：
如图2，点、都在原点的右边，
；
如图3，点、都在原点的左边，
.
如图4，点、在原点的两边，
。
图1 图2
图3 图4
回答下列问题：
①数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____；
②数轴上表示数和的两点和之间的距离可表示为_____，如果，那么的值是_____；
（2）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____．
【解析】（1）① ；
②；或
（2）
用绝对值的几何意义求代数式的最值
【练习5】 如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台
机床到供应站的距离总和最小，供应站建在哪？最小值为多少？
【解析】 设供应站在数轴上所对应的数，则台机床到供应站的距离总和为
，当时，原式值最小为．
即供应站建在点处，这台机床到供应站的距离总和最小为．
“| |”符号的诞生
外尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm） 德国数学家。1815年10月31日生于德国威斯特伐 利亚小村落奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒於柏林。曾在波恩大学学习法律和财政，1838年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理 教授，1865年升为教授。
1841年外尔斯特拉斯首先引用“| |”为绝对值符号（Signs for absolute value），及後为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。
数字与汉字的美妙结合
（打一成语）； 72小时（打一字）； （打一成语）； 0000（打一成语）
解析：七上八下；晶（72小时=3天）；百里挑一；万无一失
