【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．若是虚数单位，，则实数
A． B． C．2 D．3
3．命题“对，都有”的否定为
A．对，都有 B．，使得
C．，使得 D．，使得
4．已知随机变量，，则
A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.68
5．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
y | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为
A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.2
6．已知向量和分别是直线和的方向向量，则直线与所成的角为
A． B． C． D．
7．设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
8．的展开式中，系数最小的项为
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
9．设函数定义如下表：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | 4 | 2 | 5 | 3 |
执行如图所示的程序框图，则输出的的值是
A．4 B．5 C．2 D．3
10．已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是
A． B．
C． D．
12．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.
14．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)
15．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.
16．在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:
甲说:我的成绩比乙高; 乙说:丙的成绩比我和甲的都高; 丙说:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是________.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数()=In(1+)-+(≥0)．
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间．
18．（12分）为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了人进行分析，得到如下列联表（单位：人）.
| 经常使用 | 偶尔使用或不使用 | 合计 |
岁及以下 | |||
岁以上 | |||
合计 |
(Ⅰ)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用共享单车的情况与年龄有关；
（Ⅱ）（i）现从所选取的岁以上的网友中，采用分层抽样的方法选取人，再从这人中随机选出人赠送优惠券，求选出的人中至少有人经常使用共享单车的概率；
（ii）将频率视为概率，从市所有参与调查的网友中随机选取人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
19．（12分）如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,∥,侧棱平面ABCD,且.
（I）求证:平面平面;
（II）求平面与平面所成二面角的余弦值.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.
21．已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.
（I）求曲线的参数方程；
（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D
8．C 9．B 10．D 11．C 12．D
13．0.1 14．30 15． 16．甲.
17．
（II）
当时，得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时得单调递增区间是.
当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是
18．（1）由列联表可知，，
，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用共享单车的情况与年龄有关；
（2）（i）依题意，可知所选取的名岁以上的网友中，
经常使用共享单车的有人，偶尔使用或不使用共享单车的有人.
则选出的人中至少有人经常使用共享单车的概率；
（ii）由列联表可知选到经常使用共享单车的网友频率为，
将频率视为概率，即从市所有参与调查的网友中任意选取人，恰好选到经常使用共享单车的网友的概率为.
由题意得，，.
19．（1）平面,平面,
,∥
平面
平面
平面平面
（2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,
如图:由
可得:,,,,,
由（1）知平面,
为平面的一个法向量,且；
设为平面的一个法向量,
则,,,,
,,,令,则,,
,设平面与平面所成的二面角为,
,平面与平面所成二面角的余弦值为.
20．（1）由的周长为，得到，即.
又因为，所以，故，所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，，，
把直线的方程代入，得，
则，，
因为，
而.
即．当直线与轴垂直时，，即，所以，即是定值.
21．(1) 由于，所以.
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
22．（Ⅰ），（为参数）．
（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，
，
且，，
所以，当（）时，取最大值，此时，
所以，，，
此时，，的普通方程为．
23．（1）依题意，得.
当时，由，得，即，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，即，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）依题意，得，即，所以.
所以在恒成立，所以
所以，所以实数的取值范围为.
