【三轮冲刺】高考数学（大题专练）02 数列（原卷版）

这是一份【三轮冲刺】高考数学（大题专练）02 数列（原卷版），共13页。试卷主要包含了记数列的前项积为，且，其中，已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且.，已知数列满足，记数列的前项和为，已知等差数列的前项和为，且，已知等差数列的首项，公差，设是等差数列，是等比数列，且等内容，欢迎下载使用。

数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求证：数列是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，．
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求．
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
（1）求数列的通项和数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，且．
（1）求 的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和;
（2）令，求的前9项之和．
题型四：错位相减法求数列的前n项和
（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求证：.
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列满足：.
（1）设，试证明为等比数列；
（2）设，试证明；
（3）设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）当时，设，求数列的前项和.
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
10．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
（2）奇偶并项求和：通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．