【三轮冲刺】高考数学（大题专练）01 三角函数、三角恒等变换与解三角形（解析版）

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根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.
题型一：三角恒等变换与三角函数
（2024·福建福州·统考模拟预测）已知函数，是的零点．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【思路分析】
（1）根据函数的零点性质并结合范围求解；（2）利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.
【规范解答】
（1）由已知可得，解得，即，
又，可得．
（2）由，
可得，
其中，则当时，函数取得最小值，
当时，取得最大值2，
故函数的值域为．
1.（2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求方程的根.
【答案】（1）最大值为2，最小值为；（2）.
【分析】（1）求出函数有意义的取值，再由切化弦及辅助角公式化简函数式，利用正弦函数性质求解即得.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求解并验证即得.
【解析】（1）函数中，，即，
，显然，
由，得，则，即，
所以当，即时，函数的最大值为2；
当；即时，函数的最小值为.
（2）由，得，即或，，
解得或，，而，
所以方程的根是.
2.（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为T．若，且的图象关于直线对称.
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1），；（2）最小值为2，最大值为3
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间．
（2）由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可．
【解析】（1）∵，
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，所以，所以，
由，，得，
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，∴，，
由，∴当或时，，当时，
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
（2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）若，求的面积；
（2）若，求.
【思路分析】
（1）由已知结合正弦定理得，再利用余弦定理得，从而得解；
（2）由三角形内角和结合已知可得，化简可得：，再利用求解.
【规范解答】
（1）在中，，
由正弦定理可知：可化为：
故可得：，代入可得：
所以，故（*）
在中，由余弦定理可得：
代入数据和（*）式可得：
所以三角形面积为：，故三角形的面积为.
（2）因为且，故，所以，
代入可得：
因此
化简可得：，则，
因为，所以，所以，
所以可得：，化简可得：
在中，由正弦定理可得：.
1．（2024·山东日照·统考一模）在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且，
（1）求角B及边b的大小；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据正弦定理边换角即可得，再利用余弦定理即可得；
（2）利用余弦定理求得，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案.
【解析】（1）依题意，，
由正弦定理得，
由于锐角三角形中，所以，
而是锐角，所以.
由余弦定理得.
（2）由余弦定理得，而是锐角，
所以，所以.
.
2．（2024·江苏·高三统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，，求；
（2）点D在边上，，若，，求a．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出；
（2）在，中分别利用余弦定理列式可得，再由条件切化弦，
根据正、余弦定理化简得，运算求得.
【解析】（1）在中，，，
由余弦定理得，即，所以．
，
由正弦定理，得，所以．
（2）因为，，所以，．
在中，由余弦定理得，即，
在中，由余弦定理得，即，
所以，即①
因为，所以．又，由正弦定理得，
，即，则②
联立①②可得，所以．
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
（2024·山西晋城·统考一模）在中，，，．
（1）求A的大小；
（2）求外接圆的半径与内切圆的半径．
【思路分析】
（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.
【规范解答】
（1）由余弦定理得，
因为，所以．
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，，
由正弦定理得，则．
的面积，
由，得．
1．（2023·全国·模拟预测）锐角中，角的对边分别为，，其中．
（1）求角；
（2）过点作，且四点共圆，，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由余弦定理的推论和正弦定理进行角化边，得，将代入得；
（2）因为四点共圆，，所以是外接圆的直径，
由正弦定理可求得，在中，由正弦定理，可得，
最后由三角形面积公式可解.
【解析】（1）由余弦定理的推论和正弦定理得，整理得，
将代入得．
又因为角是锐角，所以角．
（2）因为四点共圆，，所以，
所以是外接圆的直径，
设外接圆的半径为，
则，得，即．
因为，所以．
在中，，所以．
又为锐角，所以，所以，
所以，所以．
2．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知中B为钝角，且．
（1）证明：；
（2）已知点在边上，且，求外接圆面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由已知利用辅助角公式化简可得，进而求得的关系证得结果；
（2）由可知可得，由，可得，
利用正弦定理可得，
从而可得通过函数性质计算求解即可.
【解析】（1）因为，
所以，即，
又，，所以，
所以，即，或，即（舍去），
又，所以，即；
（2）因为，所以，又，可得，
设外接圆半径为，
在中，，可得，
在中，，
因为中为钝角，所以，得，
所以，，
所以，即的取值范围为．
可得外接圆面积的取值范围．
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
【思路分析】
（1）通过，利用三角恒等变形公式计算即可；
（2）利用正弦定理，将用角表示出来，然后利用的范围求的取值范围．
【规范解答】
（1）因为与垂直，所以，
即，
即，即，即，
又，所以，所以，即；
（2）由正弦定理得
，
根据三角形是锐角三角形得，解得，
则，所以，
所以，则，
则的取值范围为.
1．（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得，
由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可.
【解析】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以，所以的取值范围为.
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；
（2）根据，结合基本不等式运算求解.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，且，所以.
（2）由（1）可知：，整理得，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，可得，即，
所以周长的最大值为.
题型五：解三角形中面积的最值范围
（2024·四川德阳·统考模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的面积范围.
【思路分析】
（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；
（2）设的外接圆半径为，得到，再由求解.
【规范解答】
（1）因为，，所以，
因为，所以，则，
因为，所以，
又，则，所以.
（2）设的外接圆半径为，则，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，则，所以，
所以的面积范围.
1．（2024·陕西安康·高三统考开学考试）在中，角的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题设条件求得，即得，在三角形中即可求得角；
（2）由（1）和可利用正弦定理将边分别用的三角函数表示，运用三角形面积公式，
经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.
【解析】（1）由可得：，
则.
由，
又因，故得：.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，
则，
记的面积为，则
，
因，则，故，所以，面积的最大值为.
2．（2024·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）设的内角的对边分别为，且.
（1）求角;
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理化简得到，进而得到，即可求解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求得，进而求得面积的最大值.
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
即，所以，
因为，可得，所以，
显然，所以，
又因为，所以.
（2）因为，由余弦定理
可得，
所以，当且仅当时取到号，
故面积的最大值为.
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
（2024·广东·高三统考期末）已知中，角所对的边分别为，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点在边上，且平分，求的长度.
【思路分析】
（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可；
（2）结合（1）问，求出，利用，计算出的长度即可.
【规范解答】
（1）因为，由正弦定理可得：，
因为，所以，即，
由余弦定理可得，
在中，,所以.
（2）由（1）问可知,，
所以，解得，
设，由平分，所以,
即，解得：，故的长度为.
1．（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.
（1）求的大小;
（2）若,求的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）因为是的角平分线,所以,
在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小.
（2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到，
从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.
【解析】（1）因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得
所以，则,
因为,所以.
（2）因为,所以,
在中,由正弦定理得,
在四边形中,,
所以,
则.
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，
利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长.
【解析】（1）由正弦定理可得，所以，
即，又，
所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，
所以为钝角，所以由，解得，
由正弦定理可得，
又，所以，
设的中点为，则，
所以，
所以边上的中线长为.
1．（2024·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）最小正周期，图象的对称轴方程为；（2）最大值，最小值
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法求出函数的对称轴方程；（2）整体法求出函数的最值.
【解析】（1）因为
，
所以函数的最小正周期，
令，解得
故图象的对称轴方程为．
（2）因为，所以，
所以当，即时，取最大值，
当，即时，取最小值．
2．（2024·辽宁大连·高三统考期末）已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角函数的性质建立并解方程，可得答案；
（2）利用三角函数恒等式整理函数解析式，根据复合型三角函数的单调性，可得答案.
【解析】（1）选条件①
由题设.所以.
因为，所以.所以.所以.
选条件②.
由题设.
，，
，，，
整理得.
因为，所以.所以.所以.
（2）由（1）.
令，
所以在单调递增，在单调递减，
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值.
又，即时，.
所以的取值范围是.
3．（2024·浙江宁波·高三统考期末）在中，内角所对的边分别为．已知．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面积公式求出答案.
【解析】（1）由，结合正弦定理，得，
即，
即，即，
因为，所以，即．
（2）因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．
4．（2024·广东·高三校联考开学考试）在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，是边的中点，求的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用正弦函数性质及诱导公式计算即得.
（2）由（1）的结论，借助向量数量积及运算律计算即得.
【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，
而，则，由，知，
因此，解得，所以角的大小为.
（2）由（1）知，由是边的中点，得，
所以.
5．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可；（2）根据正弦定理得，从而化边为角，
结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围.
【解析】（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
因为，解得，得，
所以，得．
6．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.
（1）若，求的长度；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据余弦定理求得的长，利用三角函数的恒等式，结合正弦定理，可得答案；
（2）设出未知角，表示出边长，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，
根据三角函数恒等式以及二次函数的性质，可得答案.
【解析】（1）因为，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，解得.
由正弦定理得，即，解得，
所以.
可得
.
在中，由正弦定理得，
则，解得，所以.
（2）设，则，由于，则.
在中，由正弦定理得，解得.
过点作的垂线，交于点，设的面积为.
则.
所以，所以.
所以
，
即面积的最小值为.
1．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，
而，所以都为锐角，
因此，，
．
2．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；
方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；
方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
有，则，，
过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，
而，于是，所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，
而，于是，所以.
3．（2004·全国·高考真题）已知锐角中，，
（1）求证：；
（2）设，求AB边上的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理计算即得；（2）利用同角公式求出，再结合（1）的结论及和角的正切求出即可列式计算得解.
【解析】（1）由，
得，即，两式相除得，
所以.
（2）在锐角中，，，
则，，即有，
将代入上式并整理得，
而，解得，，
设边上的高为，则，
由，得，所以边上的高等于
4．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求，
再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【解析】（1），，即，
又，
，
，，即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
5．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
6．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，
最后由同角三角函数基本关系可得；
（2）由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
7．（2023·北京·统考高考真题）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，
根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；
把的值代入的解析式，由和即可求出的值；
若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，
则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【解析】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，
所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
因为，所以.所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcs α (S2α)；cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。
利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理。
1、常用三角形的面积公式：
（1）；
（2）；
（3）（为三角形内切圆半径）；
（4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。
2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。
1、解三角形角平分线的应用
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
（2）内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2，整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分线长公式）
2、解三角形中线的应用
（1）中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
（2）向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.
3、解三角形垂线的应用
（1）分别为边上的高，则
（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。